2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷7.2 与三角形有关的角 同步测控优化训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷7.2与三角形有关的角同步测控优化训练(含答案)7.2与三角形有关的角一、课前预习(5分钟训练)1.如图7-2-1,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，下列结论错误的是（）A.图中有三个直角三角形B.∠1=∠2C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A图7-2-1图7-2-2图7-2-32.填空：已知△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如图7-2-2，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为BE∥AC，所以∠A=∠EBD（），∠C=∠CBE（）.又因为∠ABC+∠CBE+∠EBD=180°（），所以∠A+∠ABC+∠C=180°．3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_____________.4.如图7-2-3所示，已知∠A=60°，∠B=45°，可知∠α的度数吗？二、课中强化(10分钟训练)1.下列说法正确的是（）A.在一个三角形中最多有两个锐角B.在一个三角形中最多有两个钝角C.在一个三角形中最多有两个直角D.在一个三角形中最少有两个锐角2.三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则该三角形的各角的度数是（）A.45°，45°，90°B.30°，60°，90°C.36°，72°，72°D.25°，25°，130°3.在△ABC中，∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,则∠B=___________.4.如图7-2-4所示，∠1+∠2+∠3+∠4=_______________.图7-2-45.已知三角形的三个内角的度数之比为1∶3∶5,求这三个内角的度数.6.如图7-2-5所示，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角,求∠BAF+∠CBD+∠ACE的度数.图7-2-5三、课后巩固(30分钟训练)1.已知在△ABC中，∠B=∠C=2∠A，则∠C等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°2.已知在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°，则∠B等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°3.如图7-2-6所示，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55°，则∠2的度数为（）图7-2-6图7-2-7A.35°B.45°C.55°D.125°4.如图7-2-7所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A.180°B.360°C.540°D.720°5.如图7-2-8所示，在△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点E，若∠A=40°，则∠E=_____________.图7-2-8图7-2-9图7-2-106.如图7-2-9所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____________.7.如图7-2-10，已知AB∥CD,∠A=55°,∠C=20°,则∠P=_________.8.如图7-2-11,已知P是△ABC内一点，试说明：∠BPC＞∠BAC.图7-2-119.如果三角形的三个外角的比为3∶4∶5，那么这个三角形是什么形状的三角形？试说明理由.10.如图7-2-12，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数.图7-2-12参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图7-2-1,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，下列结论错误的是（）图7-2-1A.图中有三个直角三角形B.∠1=∠2C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A解析：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴图中有三个直角三角形.∴∠1+∠2=90°，∠1+∠A=90°,∠2+∠B=90°,∠A+∠B=90°.∴∠2=∠A,∠1=∠B.但是∠1不一定等于∠2.答案：B2.填空：已知△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如图7-2-2，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．图7-2-2因为BE∥AC，所以∠A=∠EBD（），∠C=∠CBE（）.又因为∠ABC+∠CBE+∠EBD=180°（），所以∠A+∠ABC+∠C=180°．解析：根据平行线的性质以及平角的定义可得.答案：两条直线平行，同位角相等两条直线平行，内错角相等平角的定义3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_____________.解析：由三角形的内角和等于180°，可得∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-90°=60°.答案：60°4.如图7-2-3所示，已知∠A=60°，∠B=45°，可知∠α的度数吗？图7-2-3解析：依据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠α=∠A+∠B=60°+45°=105°.答案：105°.二、课中强化(10分钟训练)1.下列说法正确的是（）A.在一个三角形中最多有两个锐角B.在一个三角形中最多有两个钝角C.在一个三角形中最多有两个直角D.在一个三角形中最少有两个锐角解析：根据“三角形的内角和等于180°”来判断.当一个三角形中有两个钝角或直角时，一个三角形的内角和要超过180°,所以在一个三角形中最多有一个钝角或直角，至少有两个锐角，也可以三个角都是锐角.答案：D2.三角形的一个外角等于与它相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则该三角形的各角的度数是（）A.45°，45°，90°B.30°，60°，90°C.36°，72°，72°D.25°，25°，130°解析：设与这个外角相邻的内角为x，则x+4x=180°，∴x=36°.∴另外两个内角中有一个角为=72°.∴第三个内角为180°-36°-72°=72°.答案：C3.在△ABC中，∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,则∠B=___________.解析：由题意得∠A=∠B-10°,∠C=∠A-25°,∴∠C=∠B-10°-25°.根据三角形的内角和为180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.∴∠B-10°+∠B+∠B-10°-25°=180°.∴∠B=75°.答案：75°4.如图7-2-4所示，∠1+∠2+∠3+∠4=_______________.图7-2-4解析：利用外角的知识把这些角转到同一个三角形中，过程如下：因为∠2+∠3=∠5，所以∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠5+∠4=180°.也可以把这些角转到另一个三角形中，过程如下：因为∠1+∠4=∠6，所以∠1+∠2+∠3+∠4=∠6+∠2+∠3=180°.答案：180°5.已知三角形的三个内角的度数之比为1∶3∶5,求这三个内角的度数.解：由题意可设三角形三个内角分别为x、3x、5x,所以由三角形的内角和可得x+3x+5x=180°,解得x=20°,所以这三个内角分别为20°,60°,100°.6.如图7-2-5所示，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角,求∠BAF+∠CBD+∠ACE的度数.图7-2-5解：因为三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，所以∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2.所以∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.三、课后巩固(30分钟训练)1.已知在△ABC中，∠B=∠C=2∠A，则∠C等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°解析：利用设未知数列方程的方法，设∠A=x°,则∠B=∠C=2x°，由三角形内角和定理，得x+2x+2x=180,解得x=36,所以∠C=72°.答案：C2.已知在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°，则∠B等于（）A.45°B.36°C.72°D.144°解析：由三角形内角和定理可以得到∠A+∠B+∠C=180°，即∠B+∠C=75°，所以可列方程组为解得∠B=45°,∠C=30°.答案：A3.如图7-2-6所示，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55°，则∠2的度数为（）图7-2-6A.35°B.45°C.55°D.125°解析：∵a∥b，∴∠2=∠CAB（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠ACB（对顶角相等），∴∠ACB=55°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠CAB=180°-90°-55°=35°.∴∠2=35°.答案：A4.如图7-2-7所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）图7-2-7A.180°B.360°C.540°D.720°解析：∠A,∠E,∠C是△AEC的内角，∠D,∠F,∠B是△DFB的内角，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.答案：B5.如图7-2-8所示，在△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点E，若∠A=40°，则∠E=_____________.图7-2-8图7-2-9解析：由三角形的内外角的关系可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，由角平分线的定义可得∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，所以∠E=∠ECD-∠EBC=∠ACD-∠ABC=∠A=20°.答案：20°6.如图7-2-9所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____________.解析：通过作辅助线完全可以把它转化为三角形的问题.方法一：如图，延长CB到D，则由三角形内外角的关系可得∠DCE=∠4+∠5，∠CDE=∠1+∠2，所以由三角形内角和可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠DCE+∠CDE+∠3=180°.方法二：如图，延长CB到D，则由三角形内外角的关系可得∠ACD=∠CDE+∠3，∠CDE=∠1+∠2，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠CDE+∠3+∠4+∠5=∠ACD+∠4+∠5=180°.其中方法一是把五个角转到了△CDE中，方法二是把五个角转到了△ABC中.答案：180°7.如图7-2-10，已知AB∥CD,∠A=55°,∠C=20°,则∠P=_________.图7-2-10解析：∵AB∥CD，∴∠A=∠DOP=55°.∵∠DOP=∠P+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠P=55°-20°=35°.答案：35°8.如图7-2-11,已知P是△ABC内一点，试说明：∠BPC＞∠BAC.图7-2-11解：如图，连结AP并延长交BC于点D.因为∠BPD＞∠BAD,∠DPC＞∠DAC,所以∠BPD+∠DPC＞∠BAD+∠DAC.故∠BPC＞∠BAC.9.如果三角形的三个外角的比为3∶4∶5，那么这个三角形是什么形状的三角形？试说明理由.解：三角形是直角三角形.理由：因为三角形三个外角之比为3∶4∶5，所以可设三个外角分别为3x°、4x°、5x°，根据三角形的外角和等于360°可得3x+4x+5x=360,解得x=30,所以三个外角分别为90°、120°、150°.所以与之对应的三个内角分别为90°、60°、30°.故原三角形为直角三角形.10.如图7-2-12，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数.图7-2-12分析：已知∠D=20°，∠COD=90°，∴利用三角形的内角与外角的关系可以求出∠ACB，再利用三角形的内角和定理可求得∠B.解：∵BC⊥ED，∴∠COD=90°.又∵∠D=20°，∴∠ACB=∠COD+∠D=110°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）.∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的内角和是180°），∴∠B=180°-27°-110°=43°.7.2与三角形有关的角A1.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（）A.450B.600C.900D.12002．己知△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，则∠A的度数是（）．A．90°B．30°C．（）°D．45°3.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形4．如图1，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（）．A．2对B．3对C．4对D．5对7.2与三角形有关的角（一）◆回顾归纳图11．如图1所示，△ABC中，∠A+∠B+∠C=______，即三角形的内角和为_____．图12．三角形内角和定理证明的基本思路是运用______思想，把三个角转移到一起，形成一个______角．◆课堂测控知识点三角形的内角和1．（动手操作题）亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影，请看图2，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______．”图2图3图42．在△ABC中，若∠A=78°36′，∠B=57°24′，则∠C=______．3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A=____，∠B=_____，∠C=____．4．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=5∠A，则此三角形一定有一个内角为_______度．5．如图3所示，将一副三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=_______．6．如图4所示，△ABC中，∠C是直角，则∠A与∠B的关系为_____，上述结论用语言叙述为_______．◆课后测控1．（经典题）具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠CB．∠A=∠B=∠CC．∠A=90°-∠BD．∠A-∠B=90°2．如图5所示，，的度数分别为（）A．30°，50°B．40°，80°C．40°，40°D．60°，40°图5图6图73．如图6所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，∠A=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是（）A．31°B．35°C．41°D．76°4．如图7所示，AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，则∠E是（）A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定5．（教材变式题）如图所示，在直角△ABC中，∠C=90°，∠ABC=2∠A，BD是角平分线，求∠A，∠CDB的度数．6．如图所示，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15°方向上，试求△ABC内角的度数．7．（阅读理解题）说明△ABC内角和等于180°，教材上的证明过三角形顶点作对边的平行直线，下面还有两种方法：[解答]方法一：如图所示，已知△ABC，延长BC至D，过C作射线CE，使CE∥AB．∵AB∥CE（已作）∴∠1=______（）∠2=______（）∵∠BCD=180°（）∴∠ACB+____+_____=180°（平角定义）∴∠ACB+____+_____=180°（等量过程）方法二：过边BC上一点P，作PM∥AC，PN∥AB，如图7．2-11所示，完成以上证明．8．（经典题）张大伯有一块大型模板如图所示，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数来检验模板是否合格？◆拓展创新9．（探索题）如图△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠BOC．（2）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？答案:回顾归纳1．180°；180°2．化规；平课堂测控1．180°2．44°3．40°60°80°4．30°5．180°6．∠A+∠B=90°；直角三角形两锐角互余课后测控1．D2．C3．C4．B5．∠A=30°，∠CDB=60°6．∠CAB=30°，∠ABC=105°，∠C=45°解题规律：利用三角形内角和，方位角综合求解．7．方法一：∠A；两直线平行内错角相等；∠B；两直线平行同位角相等；平角的定义；∠1；∠2；∠A；∠B方法二：∵PM∥AC（已作）∠1=∠A又∵PN∥AB（已作）∴∠1=∠2∴∠A=∠2又∵PN∥AB∴∠4=∠B又∵∠BPC=180°∴∠2+∠3+∠4=180°∴∠C+∠B+∠A=180°解题规律：这是两种证明三角形内角和定理的方法，从中得到分式，构建平角是关键．8．分别测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，只有∠B+∠C=150°，∠D+∠C=160°模板才合格．思想点拨：分别测量四个角的度数，当BA，CD相交成30°时，∠B+∠C=180°-30°=150°，同理推出∠D+∠C=160°9．（1）∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（40°+80°）=180°-×120°=120°（2）∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A解题技巧：运用三角形内角和定理及角平分线性质．图1图2图35.已知，如图2，△ABC中，∠A＝54°，∠ABC＝48°，BD⊥AC，则∠DBC的度数（）．A．48°B．54°C．36°D．12°6．如图3，已知∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，则∠DBA＋∠ACE等于（）．A．180°B．180°－∠AC．180°＋∠AD．以上答案都不对7.如图4，在△ABC中，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，∠1与∠2的大小（）.A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不确定EACEACDBF12图4图5图68.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为()A.90°B.110°C.100°D.120°9.已知：如图5，∠A＝25°，∠CED＝95°，∠D＝40°，求∠B的度数（）．A.20°B.160°C.120°D.65°10.如图6所示,在△ABC中(∠C>∠B),AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,∠EAD、∠C、∠B的关系是（）A.∠EAD=(∠C+∠B)B.∠EAD=(∠C-∠B)C.∠EAD=∠C-∠BD.∠EAD=∠C+∠B11.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC等于（）A.70°B.60°C.50°D.40°12.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BOC的度数（）.A.115°B.135°C.125°D.110°7.2与三角形有关的角B1．一个三角形的三个内角中，至少有（）．A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角2．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，则∠A的度数是（）．A．90°B．80°C．20°D．60°3.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4．已知，如图1，DB、EC交于点A，∠B＝∠E＝90°，∠C＝42°，则求∠D的度数（）．A．48°B．42°C．84°D．58°OO图1图2图35．如图2，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝600，∠C＝450，则∠ADE的度数（）．A．37.5°B．52.5°C．62.5°D．75°6.如图3所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是()A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠47．如图4，P是△ABC内一点，判断∠BPC和∠A的大小关系是（）．A.∠BPC＞∠AB.∠BPC=∠AC.∠BPC＜∠AD.不确定ABABDCE12图4图5图68．如图5,三角形一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于和它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数是（）．A．45°、45°、90°B．30°、60°、90°C．36°、72°、72°D．25°、25°、130°9.一个零件的形状如图6所示，按规定，∠BAC=900,∠B=210,∠C=200,检验工人量得∠BDC=1300,就断定这个零件不合格，请你运用所学知识说明是否合格.A．合格B.不合格10．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的内角平分线，CE是∠ACB的外角平分线，BE、CE交于E点，试探究∠E与∠A的大小关系．（）A.∠E=180°-∠AB.∠E==90°-∠AC.∠E=90°-∠AD.∠E＝∠A11.如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系（）A.∠1-∠2=∠CB.∠1+∠2=∠CC.∠1-∠2=2∠CD.∠1+∠2=2∠C12．如图，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线相交于D，∠A＝40°．则∠BDC的度数（）．A.70°B.80°C.90°D.100°参考答案7.2与三角形有关的角A1.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（）A.450B.600C.900D.1200知识点：三角形内角和定理知识点的描述：三角形三个内角的和为1800答案：B详细解答：一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于600，否则每个角都大于600，那么内角和就大于1800，这是不可能的。2．己知△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，则∠A的度数是（）．A．90°B．30°C．（）°D．45°知识点：三角形内角和定理知识点的描述：三角形三个内角的和为1800答案：A详细解答：因为∠A＝2∠B＝2∠C，所以设∠B＝∠C＝x°，∠A＝2x°，因为三角形三个内角的和为1800，所以2x°+x°+x°=1800，解得x=45，所以∠A＝90°3.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形知识点：三角形按角分类知识点的描述：三角形按角分类可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三类。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角为钝角的三角形是钝角三角形，有一个角为直角的三角形是直角三角形，答案：C详细解答：假设∠A-∠B=∠C，那么∠A=∠B+∠C ，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠A=180°，从而得∠A=90°，所以这个三角形是直角三角形。4．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（）．A．2对B．3对C．4对D．5对知识点：认识“双垂图”知识点的描述：“双垂图”是一个重要的图形，从图形中找到互余的角要抓住图形中的直角，一般有：组成直角的两个锐角互余，直角三角形的两个锐角互余。答案：C详细解答：Rt△ABC中，∠B和∠C互余；Rt△ABD中，∠B和∠BAD互余；Rt△ADC中，∠C和∠DAC互余；因为∠BAC＝90°，所以∠BAD和∠CAD互余。共四对。5.已知，如图，△ABC中，∠A＝54°，∠ABC＝48°，BD⊥AC，则∠DBC的度数（）．A．48°B．54°C．36°D．12°知识点：三角形内角和定理的应用知识点的描述：三角形内角和定理的一个重要应用就是求一个角的度数，一般把这个角放在一个三角形中，作为三角形的内角或外角，利用三角形的内角和定理。答案：D详细解答：在△ABD中，因为∠ADB＝90°，∠A＝54°，又因为∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝36°，又因为∠ABC＝48°，所以∠DBC＝48°－36°＝12°．另一种解法：△ABC中，已知两个内角的大小，根据三角形内角和定理可求出∠C，这样在△BCD中，又知道了∠C和∠CDB的大小，就可以求出∠DBC的度数．注：运用三角形内角定理求一个角必须先搞清楚这个角在哪个三角形中，这个三角形的三个内角中，已知哪些角．6．如图，已知∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，则∠DBA＋∠ACE等于（）．A．180°B．180°－∠AC．180°＋∠AD．以上答案都不对知识点：三角形的外角性质知识点的描述：三角形的外角等于和他不相邻的两个内角的和答案：C详细解答：∠DBA是△ABC的外角，则∠DBA=∠A+∠ACB;∠ACE是△ABC的外角，则∠ACE=∠A+∠ABC;则∠DBA＋∠ACE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°＋∠AEACDBF12EACDBF12A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不确定知识点：三角形的外角的性质知识点的描述：三角形的外角大于任何一个和他不相邻的内角答案：C详细解答：因为∠2是△ABC的外角，所以∠2＞∠BAC;因为∠BAC是△AFE的外角，所以∠BAC＞∠1所以∠1＜∠28.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为()A.90°B.110°C.100°D.120°知识点：三角形的外角与相邻内角的关系知识点的描述：三角形的外角和与他相邻的内角互补答案：C详细解答：三角形的三个外角的度数比为2:3:4,所以可以假设三角形的三个外角度数分别为2k、3k、4k，因为三角形的外角和为3600，所以2k+3k+4k=3600，解得k=40°，因此三角形的最小外角为80°，则它的最大内角的度数为100°。9.已知：如图，∠A＝25°，∠CED＝95°，∠D＝40°，求∠B的度数（）．A.20°B.160°C.120°D.65°知识点：求角度的问题、三角形的外角性质与内角和定理的综合知识点的描述：求一个角的度数往往是把这个角作为一个三角形的内角或作为一个三角形的外角，利用三角形的内角和定理和三角形的内外角的关系来求；三角形的外角等于和他不相邻的两个内角的和，三角形的内角和为180°。答案：A分析：∠ACB既是△ABC的内角，又是△CDE的外角，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，可求出∠ACB，再根据三角形内角和定理可求出∠B．详细解答：在△CED中，因为∠ACB＝∠CED＋∠D，又因为∠CED＝95°，∠D＝40°，所以∠ACB＝95°＋40°＝135°，在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，又因为∠A＝25°，∠ACB＝135°，所以∠B＝180－（25°＋135°）＝20°点评：∠ACB既是△ABC的内角，又是△CDE的外角，通过它，我们能把这两个三角形中的一些角联系起来，同样，∠DCE既是△CDE的内角，又是△ABC的外角，也能联系两个三角形中的一些角．我们在分析角的数量关系，应从不同的角度分析图中各角所处的位置，然后选择适当的关系式加以运用．10.如图所示,在△ABC中(∠C>∠B),AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,∠EAD、∠C、∠B的关系是（）A.∠EAD=(∠C+∠B)B.∠EAD=(∠C-∠B)C.∠EAD=∠C-∠BD.∠EAD=∠C+∠B知识点：应用三角形的内外角定理探求几个角之间的关系知识点的描述：探求几个角之间的关系，可先通过特殊值猜测几个角之间的关系，再应用三角形的内外角定理探求并证明这种关系答案：B详细解答：∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∴∠BAD=90°-∠B,又∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C),∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-90°+∠B+∠C=∠C-∠B=(∠C-∠B).11.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC等于（）A.70°B.60°C.50°D.40°知识点：综合利用角平分线、平角、三角形的内外角定理解决有关的几何计算、论证、探求问题知识点的描述：只要正确理解有关的概念，正确的用几何语言描述这些概念，综合起来就可以得到题目的结论，如，AD是△ABC的角平分线，则∠DAC＝∠BAC；AE是△ABC的外角平分线，则∠EAC＝∠FAC.答案：A分析：∠FAC是△ABC的外角，∠FAC和∠BAC是邻补角，AE、AD分别是这两个角的角平分线，所以有AD⊥AE，已知∠DAC的度数，就容易求出∠EAC的度数了．解：因为∠BAF是平角，所以∠BAC＋∠FAC＝180°，因为AD是平分∠BAC，AE是平分∠FAC，所以∠DAC＝∠BAC，∠EAC＝∠FAC，所以∠DAC＋∠EAC＝∠BAC+∠FAC=×180°=90°，又因为∠DAC＝20°，所以∠EAC＝70°．点评：三角形的外角和它相邻的内角是邻补角，这两个角的和是180°．12.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BOC的度数（）.A.115°B.135°C.125°D.110°知识点：综合利用角平分线、平角、三角形的内外角定理解决有关的几何计算、论证、探求问题知识点的描述：只要正确理解有关的概念，正确的用几何语言描述这些概念，综合起来就可以得到题目的结论.答案：C详细解答：在△ABC中,∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°已知BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°在△OBC中,∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°7.2与三角形有关的角B1．一个三角形的三个内角中，至少有（）．A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角答案：B详细解答：一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角，如果没有两个锐角就必然会是两个直角或两个钝角或是一个直角和一个钝角，那么内角和就大于1800，所以没有两个锐角是不可能的，所以一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角。2．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，则∠A的度数是（）．A．90°B．80°C．20°D．60°答案B详细解答：因为∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，所以设∠A＝4x°，∠B＝2x°∠C＝3x°，因为三角形三个内角的和为1800，所以4x°+2x°+3x°=1800，解得x=20，所以∠A＝80°3.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案：B详细解答：因为∠A=∠B=∠C，所以假设∠A＝x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x°+2x°+3x°=1800，解得x=30，所以最大角∠C=90°，所以这个三角形是直角三角形。4．已知，如图，DB、EC交于点A，∠B＝∠E＝90°，∠C＝42°，则求∠D的度数（）．A．48°B．42°C．84°D．58°答案：B详细解答：Rt△ADE中，∠D和∠DAE互余;Rt△ABC中，∠C和∠BAC互余；又因为∠DAE=∠BAC，所以∠D＝∠C＝42°.5．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝600，∠C＝450，则∠ADE的度数（）．A．37.5°B．52.5°C．62.5°D．75°答案：B详细解答：在△ABC中，∠B＝600，∠C＝450，所以∠BAC=180°－∠B－∠C＝180°－600－450=75°,又AD是△ABC角平分线，所以∠DAE=×75°=37.5°,在△ADE中,∠AED=900，所以∠ADE=180°－900-∠DAE=180°－900-37.5°=52.5°6.如图所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是()A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4OO答案：C详细解答：A.∠BOC=∠2+∠BEC=∠2+∠6+∠A;B.∠5=∠2+∠A,所以∠2=∠5-∠A;D.∠1是△BEC的外角，当然有∠1=∠ABC+∠4；只有C.∠5=∠1+∠4不能成立7．如图，P是△ABC内一点，判断∠BPC和∠A的大小关系是（）．A.∠BPC＞∠AB.∠BPC=∠AC.∠BPC＜∠AD.不确定答案：A详细解答：延长BP交AC于D因为∠BPC是△PDC的外角，所以∠BPC＞∠PDC;因为∠PDC是△ABD的外角，所以∠PDC＞∠A所以∠BPC＞∠A8．三角形一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于和它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数是（）．A．45°、45°、90°B．30°、60°、90°C．36°、72°、72°D．25°、25°、130°答案：C详细解答：如图，不妨设∠DAB=4∠BAC=2∠B，若∠BAC=x°，则∠DAB=4x°，x°+4x°=180°，解得x°=36°，所以三角形的三个角为36°、72°、72°。ABDCE129.一个零件的形状如图所示，按规定，∠BAC=900,∠B=210,∠C=20ABDCE12A．合格B.不合格答案：B点拨：把实际问题转化为三角形的知识来解，关键是通过转化建立起数学模型.详细解答：依据三角形内角和定理的推论，连结AD并延长到点E，则∠CDE=∠C+∠1,∠BDE=∠B+∠2,∴∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2,即∠CDB=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格，则有∠BDC=900+200+210=1310,而量得∠CDB=1300,∴零件不合格.10．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的内角平分线，CE是∠ACB的外角平分线，BE、CE交于E点，试探究∠E与∠A的大小关系．（）A.∠E=180°-∠AB.∠E==90°-∠AC.∠E=90°-∠AD.∠E＝∠A答案：D证明：∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD＝∠ACD＝（∠A＋∠ABC）（角平分线的定义），∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC（角平分线的定义）∵∠ECD是△BCE的外角，∴∠E＝∠ECD－∠EBC＝（∠A＋∠ABC）-∠ABC=∠A11.如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系（）A.∠1-∠2=∠CB.∠1+∠2=∠CC.∠1-∠2=2∠CD.∠1+∠2=2∠C答案：D解:∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+∠CFE)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C.12．如图，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线相交于D，∠A＝40°．则∠BDC的度数（）．A.70°B.80°C.90°D.100°答案：A详细解答：∵∠ECB=∠A+∠CBA，∠FBC=∠A+∠ACB，∴∠ECB+∠FBC=∠A+∠CBA+∠A+∠ACB=∠A+（∠CBA+∠A+∠ACB）=∠A+180°=40°+180°=220°∵BD、CD分别平分∠FBC和∠ECB,∴∠DBC+∠DCB=（∠ECB+∠FBC）=×220°=110°，在△DBC中,∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-110°=70°7.2与三角形有关的角（二）◆回顾归纳1．如图1所示，把△ABC的一边延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，三角形的一个外角就是三角形一个内角的________．图1图22．三角形的一个外角等于______的和，如图2所示，∠BCD=_____________；三角形的一个外角大于________，如图2所示，∠BCD>______，∠BCD>_______．◆课堂测控知识点一三角形外角的概念1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，如图3所示，则∠ABC=_____，∠ABD=_____．图3图42．如图4所示，∠ADB是△_____，△_____的外角，∠AEC是△ABE，△_____的外角．3．（教材变式题）如图5所示，已知△ABC中，∠ABC=28°，∠BCA=52°，画出△ABC所有的外角，并求出各外角的度数．