湖北省武汉市洪山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖北省武汉市洪山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件是（）A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定2．“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下列大学校徽的主体图案是中心对称图形的是（）A．北京体育大学 B．华中师范大学C．清华大学 D．武汉大学3．如图，若⊙O的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l34．把方程x2−6x+3=0化为(x+m)2A．7 B．3 C．5 D．−35．将二次函数y=−2x2−4x+1A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（）A．1轮后有(x+1)个人患了流感B．第2轮又增加x(x+1)个人患流感C．依题意可以列方程(x+1)D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染7．若一元二次方程x2−4x−3=0的两个不相等的实数根为x1A．−34 B．34 C．−8．已知一个圆心角为240°，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（）A．6 B．3π C．6π D．12π9．如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为3，则AB的长为（）A．22 B．2 C．4 D．10．抛物线y=mx2+4mx−4上有(1，y1)，(2A．m≤13 B．m<45 C．二、填空题11．在平面直角坐标系中，点P(3，12．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞50条鱼.如果在这些鱼中有10条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为．13．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．其中长为步．14．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm．15．已知二次函数y=ax2+2ax+c（a，c为常数且a<0）经过(1，m)，且mc<0，下列结论：①c>0；②a<−c3；③若关于x的方程a其中一定正确的有.（填序号即可）16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，过A，C两点的⊙O交线段AB于D点，AE∥BC交⊙O于E点，DE交AC于F，则AFFC的最大值为三、解答题17．已知关于x的一元二次方程x218．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE（1）判断△BEE'的形状为（2）若AE=2，BE=4，CE=6，求∠BE19．某班数学兴趣小组进行如下活动：组长从一副扑克牌中选取六张分给两位同学，小明分到的三张扑克牌分别是方块6，8，10；小亮分到的是方块5，7，9．两人将分到的牌随机放在桌上（数字一面朝下），然后各自从对方的牌中抽一张进行比较，抽牌数字较大的人当“小老师”，给全班同学讲一个关于数学家的故事．（1）若小亮从对方的扑克牌中抽一张，则抽到方块10的概率是；（2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明能当“小老师”的概率．20．菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，O在线段AC上.图1图2（1）如图1，若AB是⊙O的切线，求∠ADC的大小；（2）如图2，若AB=26，AC=8，AB与⊙O交于点E，求BE21．如图，在12×9正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.B，C为格点，以线段BC为直径的⊙O交纵向格线于A点，连接AB，AC.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）在图1中作出圆心O；（2）在图1中作AD平分∠BAC交⊙O于D点：（3）在图1中作AB绕D点顺时针旋转90°后的线段；（4）在图2的⊙O中作弦AM=AB.22．在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为b（单位：m/s），实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为（1）在小伟同学的一次投掷中，测得a=6m/s，①写出x与t的函数关系式为▲；y与t的函数关系式为▲；根据以上关系，可得y与x的函数关系式为▲（不用写出x的取值范围）；②求出本次实心球的投掷距离．（2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远，改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a=b，求实心球在投掷过程中的最大高度．23．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为平面内一点.图1图2（1）当D在线段BC上时，将线段AD绕点A顺时针旋转90°至AE，连接BE，请你在图1中完成作图，并直接写出BE和BC的位置关系▲；（2）在（1）的条件下，连接ED交AB于G，过点C作AC的垂线交ED延长线于点F，试判断线段FG与AD的数量关系并证明；（3）如图2，点D位于△ABC上方，且∠ADC=45°，△BDC的面积为9，直接写出CD的长度.24．已知直线l：y=kx+b(k>0)与抛物线C：y=ax2(a>0)有唯一公共点P，直线l图1图2图3（1）如图1，当a=1，k=1时，求b的值；（2）如图2，当a=12时，过点A作直线l的垂线交y轴于点T，求（3）如图3，当k=1时，平移直线l，使之与抛物线C交于M，N两点，点P关于y轴的对称点为Q，求证：∠MQP=∠NQP．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：

“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到第56页”这个事件是随机事件故答案为：A【分析】根据事件的可能性大小即可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：第一个是中心对称图形，符合题意；

第二个不是中心对称图形，不符合题意；

第三个不是中心对称图形，不符合题意；

第四个不是中心对称图形，不符合题意.故答案为：A【分析】将一个图形沿某一个点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3

∴直线与圆相交故答案为：B【分析】根据直线与圆的位置关系即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：x即x-32=6

∴m=-3，n=6

∴m+n=3【分析】根据配方法进行化简，求出m，n值，再代入代数式即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

y=−2x2−4x+1=-2x+12+3

∴将函数图象向右移动1个单位，向下移动3个单位才能得到6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

每轮传染中平均一个人传染了x个人

∴1轮后有(x+1)个人患了流感，A正确

第2轮又增加x(x+1)个人患流感，B正确

由题意可得：1+x+xx+1=36，即(x+1)2=36，C正确

解得：x1=5，x2=-7（舍去）

∴故答案为：D【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1轮后有(x+1)个人患了流感，第2轮又增加x(x+1)个人患流感，根据题意建立方程，解方程可得x值，再求出三轮后感染人数即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2−4x−3=0的两个不相等的实数根为x1，x2故答案为：C【分析】根据二次方程根与系数的关系可得x18．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠AOB=360°-240°=120°

∴∠ABO=30°

∴圆心O旋转的长度为2×60π×3180=2π故答案为：C【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABO=30°，根据旋转性质，结合弧长公式即可求出答案.9．【答案】A【解析】【解答】解：设AB的长为2x

由题意可得：∠ACB=90°，∠ACD=30°，∠BCE=60°

∴∠DCE=180°

∴D，C，E三点共线，点C是半径为2x的半圆弧AB的一个三等分点

∴AC⏜所对的圆心角为180°3=60°

∴∠ABC=30°

∵AB是直径

∴∠ACB=90°

∴AC=12AB=x，BC=AC·cos30°=3x

BE=BC·cos30°=32x，CE=DC=32x，AD=12x

∵四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠

∴S阴影=S梯形10．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

抛物线的对称轴为直线x=-4m2m=-2

当m>0时

∵-2+3--2=-2--2-3<1--2<2--2

且y1，y2，y3，y故答案为：D【分析】求出抛物线对称轴，分情况讨论：当m>0时，当m<0时，根据抛物线性质，结合题意即可求出答案。11．【答案】（-3，4）【解析】【解答】解：点P(故答案为：（-3，4）.

【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征：x，y都是其相反数直接写出即可.12．【答案】500条【解析】【解答】解：设鱼塘中鱼的条数为x

由题意可得：1050=故答案为：500条【分析】设鱼塘中鱼的条数为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.13．【答案】36【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为x＋12步由题意可得：xx+12=864

解得：x＝24

∴长为36步【分析】设宽为x步，则长为x＋12步，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.14．【答案】4【解析】【解答】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为120×6π180=4∴圆锥的底面半径为2，故圆锥的高为62−2

【分析】解决扇形卷圆锥问题的关键点：根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列出方程，从而求出半径，再根据勾股定理求出圆锥的高。15．【答案】①②③【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+c（a，c为常数且a<0）经过(1，∴3ac+c2=cm

∵mc<0

∴3ac+c2<0

∴0≤c2<-3ac

∵a<0

∴c>0，①正确

∴c<-3a

∴a<−c3，②正确

∵c>0，mc<0

∴m<0

∴点(1，m)在x轴的下方

∵抛物线的对称轴为直线x=-2a2a=-1，a<0，c>0

∴抛物线与直线y＝p(p>0)交点的横坐标为整数的有-2，-1，0三个

∴若关于x的方程ax2+2ax=p−c(p>0)有整数解，则符合条件的p值有2个，③正确

【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.16．【答案】12【解析】【解答】解：取FC的中点G，连接EG，EC，故点G作GH⊥AE于点H

∵CD⏜∴∠DEC=∠BAC=90°

∵FG＝CG

∴GF=GC=12FC

∵AE∥BC

∴∠HAG＝∠ACB＝30°

∴GH=12AG=12AF+FG=12AF+12FC

∵GH⊥AE

∴GH≤FG

∴12【分析】取FC的中点G，连接EG，EC，故点G作GH⊥AE于点H，根据圆周角定理可得∠DEC=∠BAC=90°，再根据直线平行性质可得∠HAG＝∠ACB＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得GH=117．【答案】解：把x=3代入x29−3(解得m=6，把m=6代入原方程得x2∴(x−3)(x−4)=0，∴x1即方程的另一个根为4【解析】【分析】将x＝3代入方程得到关于m的方程，解方程可得m值，再根据十字相乘法进行因式分解，解方程即可求出答案.18．【答案】（1）等腰直角三角形（2）解：∵旋转，∴△ABE≌△CBE∴CE∵△BEE∴∠BE'E=45°∵EE∴∠EE∴∠B【解析】【解答】解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置

∴∠EBE'＝90°，BE＝BE'

∴△BEE'的形状为等腰直角三角形

【分析】（1）根据旋转性质可得∠EBE'＝90°，BE＝BE'，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.

（2）根据旋转性质可得△ABE≌△CBE'，则CE19．【答案】（1）1（2）解：根据题意列表如下：小明小亮5796(5(7(98(5(7(910(5(7(9由表可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中小明取出的牌比小亮大的结果有(7，6)，(9，6)，∴P（小明能当小老师）=3【解析】【解答】解：（1）∵小亮分到的是方块5，7，9，

∴抽到方块10的概率是13，

故答案为：13

【分析】（1）直接根据等可能事件的概率即可求解；

（2）先列表，进而得到所有可能出现的结果共有20．【答案】（1）解：如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO=90°，即∠BAC+∠AOB=90°；∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠OCB，∠ADC=∠ABC；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠OBC=∠BAC，∴∠AOB=2∠OCB=2∠BAC，∴∠OBC+2∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ADC=∠ABC=∠ABO+∠OBC=120°；（2）解：如图，连接OB、OE，过点B作BF⊥AC于F，过点O作ON⊥BE于N；∵四边形ABCD是菱形，BF⊥AC，∴AF=1由勾股定理得BF=A设圆的半径的r，则OF=4−r，在Rt△BFO中，由勾股定理得：(2解得：r=3，∴OA=AC−OC=5；∵S△AOB∴ON=OA⋅BF在Rt△OBN中，由勾股定理得：BN=O∵OB=OE，ON⊥AB，∴BE=2BN=2【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线性质可得∠ABO=90°，即∠BAC+∠AOB=90°，再根据菱形性质可得∠BAC=∠OCB，∠ADC=∠ABC，由等边对等角可得∠OCB=∠OBC，则∠OCB=∠OBC=∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.

（2）连接OB、OE，过点B作BF⊥AC于F，过点O作ON⊥BE于N，根据菱形性质可得AF=12AC=4，根据勾股定理可得BF，设圆的半径的r，则OF=4−r，在Rt△BFO中，根据勾股定理建立方程，解方程可得r=321．【答案】（1）解：见解析；如图1所示，点O即为所求，理由如下：由网格的特点可知，点O和点G分别是所在矩形的对角线交点，也是所在格线的中点，∴GO垂直平分BC，∴BO=CO=1∴点O即为所求圆心（2）解：见解析；如图1所示，AD即为所求，理由如下：∵GO⊥BC，BC是直径，∴BD=∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC交⊙O于D点（3）解：见解析；如图1所示，线段CE即为所求，理由如下：∵OD垂直平分BC，∴CD=BD，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴点B绕D点顺时针旋转90°后的对应点为点C，连接AO并延长交⊙O于点H，∴AH是⊙O的直径，∴∠ADH=90°，延长DH交AC的延长线于点E，由（2）可知，∠BAD=∠CAD=1∴∠AED=90°−∠CAD=45°，∴AD=ED，∴点E即为点A绕D点顺时针旋转90°后的对应点，连接CE，CE即为所求（4）解：如图所示，AM即为所求，理由如下：由（1）可知，点A和点N关于直线OG轴对称，∴OG垂直平分AN，∴BC∥PA，则∠APB=∠PBR=∠ARB=90°，∴四边形APBR是矩形，∴点Q是AB的中点，∴OQ⊥AB，∵AR⊥BO，∴点T为△ABO三条高的交点，连接BT，延长BT交⊙O于点M，∴OA⊥BM，∴AM=AB【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合网格特点即可求出答案.

（2）根据垂径定理即可求出答案.

（3）根据旋转性质作图即可求出答案.

（4）根据弦长性质作图即可求出答案.22．【答案】（1）解：①x=6t；y=−5t2+3t+2；y=−536x2+1解得：x=6，x=−12∴本次实心球的投掷距离为6m（2）解：由题意得x=at，y=−5t消去t得：y=−5∵小伟投出了8m的最佳成绩，∴当x=8时，y=−5即a2即y=−5配方得：y=−5当x=165【解析】【解答】解：（1）①当a=6时，则x=6t

当b=3时，则y=−5t2+3t+2

∵x=6t

∴t=x6

∴y=−5t2+3t+2=-5x62+3x6+2=−536x23．【答案】（1）解：补充作图如下：

BE⊥BC（2）解：FG=证明如下：如图，在线段BA上截取BH=CF，连接EH；∵CF⊥AC，∠ACB=45°，∴∠DCF=45°；由（1）知∠EBH=45°，∴∠EBH=∠DCF；由（1）知BE=CD，∵BH=CF，∴△EBH≌△DCF，∴EH=DF，∠BEH=∠FDC=∠BDE；∵∠EHG=∠EBH+∠BEH=45°+∠BDE，∠EGH=∠AGD=∠ABD+∠BDE=45°+∠BDE，∴∠EHG=∠EGH，∴EH=EG，∴EG=FD；∵AD=AE，∠DAE=90°，∴DE=2∴FG=FD+DG=EG+DG=DE=2（3）解：3【解析】【解答】解：（1）连接DE

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°

∵线段AD绕点A顺时针旋转90°至AE

∴AE=AD，∠EAD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠EAB=∠DAC

在△EAB和△DAC中

AE=AD∠EAB=∠DACAB=AC

∴△EAB≌△DAC（SAS）

∴∠EBA=∠ACD=45°

∴∠EBC=∠EBA＋∠ABC=90°

∴EB⊥BC

故答案为：EB⊥BC

（3）过点A作AN⊥AD交CD于点N，连接BN

∵AN⊥AD

∴∠DAN=90°

∵∠ADC=45°

∴∠AND=∠ADC=45°

∴AD=AN

∵∠DAN=∠BAC=90°

∴∠DAC=∠NAB

∵AB=AC，AN=AD

∴△ABN≌△ACD(SAS)

∴BN=CD，∠ANB=∠ADC=45°

∴∠BND=∠ANB＋∠AND=90°

∵△BDC的面积为9

∴12CD2=9

解得：CD=32

【分析】（1）根据旋转性质作图即可，连接DE，根据等腰直角三角形性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AE=AD，∠EAD=90°，则∠EAB=∠DAC，根据全等三角形判定定理可得△EAB≌△DAC（SAS），则∠EBA=∠ACD=45°，即∠EBC=∠EBA＋∠ABC=90°，再根据垂直判定即可求出答案.

（2）在线段BA上截取BH=CF，连接EH，根据等腰三角形性质可得∠DCF=45°，由（1）知∠EBH=45°，则∠EBH=∠DCF，由（1）知BE=CD，则BH=CF，根据全等三角形判定定理可得△EBH≌△DCF，则EH=DF，∠BEH=∠FDC