鲁教版七年级数学上册专项素养综合练(四)利用勾股定理解题的五种常见题型练方法课件

专项素养综合练(四)利用勾股定理解题的五种常见题型类型一利用勾股定理求三角形中的线段长1.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12,BD=9.(1)求BC的长.(2)求△ABC的面积.(3)判断△ABC的形状.解析

(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=CD2+BD2=122+92=225=152,

∴BC=15.(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=202-122=256=162,∴AD=16.∵BD=9,∴AB=AD+BD=16+9=25,∴△ABC的面积=

AB·CD=

×25×12=150.(3)∵AC=20,BC=15,AB=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.2.(方程思想)(2024山东淄博周村期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处.(1)当∠B=28°时,求∠CAE的度数.(2)当AC=6,AB=10时,求线段DE的长.

解析

(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,∴∠BAC=90°-28°=62°,∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处,∴∠CAE=

∠CAB=

×62°=31°.(2)在Rt△ABC中,AC=6,AB=10,∴BC2=AB2-AC2=102-62=64=82,∴BC=8.∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处,∴AD=AC=6,CE=DE,∴BD=AB-AD=4,设DE=x,则BE=BC-CE=BC-DE=8-x,∵在Rt△BDE中,DE2+BD2=BE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,即DE的长为3.类型二利用勾股定理证明线段相等3.如图,在四边形ABFC中,BC为对角线,∠ABC=90°,CD⊥AD,

AD2=2AB2-CD2.求证:AB=BC.证明∵在△ABC中,∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.∵在△ACD中,CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2,∴AB2+BC2=AD2+CD2,∵AD2=2AB2-CD2,∴AB2+BC2=2AB2-CD2+CD2,即AB2=BC2,∴AB=BC.类型三利用勾股定理求四边形中的线段长4.(构造法)在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,

四边形的周长为32,求BC和CD的长.

解析如图,连接BD.∵AB=AD,∠A=60°.∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=AD=8,∠1=60°.∵∠ADC=150°,即∠1+∠2=150°,∴∠2=90°.设BC=x,则CD=32-8-8-x=16-x,由勾股定理得x2=82+(16-x)2,解得x=10,16-x=6,∴BC=10,CD=6.类型四利用勾股定理解动点问题5.(方程思想)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点A出发,沿着三角形的三边,先运动到点C,再运动到点B,最后运动回到点A,vP=2cm/s,设点P的运动时间为ts.(1)当t为何值时,点P恰好在AB的垂直平分线上?(2)当t为何值时,点P在BC上,且恰好在∠BAC的平分线上?解析

(1)当点P在AC上时,如图,连接PB,

由勾股定理得AC2=AB2-BC2=102-62=64=82,所以AC=8.∵点P恰好在AB的垂直平分线上,∴PA=PB=2t,∴PC=8-2t,∴在Rt△BCP中,(8-2t)2+62=(2t)2,解得t=

.当P在AB上时,PA=PB=5,∴点P运动的路程为8+6+5=19,∴t=

,∴当t为

或

时,点P恰好在AB的垂直平分线上.(2)当P在BC上,且恰好在∠BAC的平分线上时,如图,过点P作

PF⊥AB于点F,则PF=PC=2t-8,BP=14-2t,AF=AC=8,∴BF=2.在Rt△BPF中,由勾股定理得(2t-8)2+22=(14-2t)2,解得t=

,∴当t为

时,点P在BC上,且恰好在∠BAC的平分线上.类型五利用勾股定理求路线最短问题6.(化曲为直法)如图所示的是一个三级台阶,它的每一级的

长、宽、高分别为20分米、3分米、2分米,A和B是这个台阶

的两个端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则

它所走的最短路线的长度为

.25分米解析如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为20分米,宽

为(2+3)×3分米,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此

长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路

程为x分米,由勾股定理得x2=202+[(2+3)×3]2=252,解得x=25.故

答案为25分米.

7.如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12cm、8

cm、30cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬

到C处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?

解析将长方体盒子的前面和右面展开在同一平面,展开图

如图,连接DC,则DC的长就是从D处爬到C处的最短路程,

在Rt△DAC中,AD=12+8=20(cm),AC=

×30=15(cm),由勾股定理得DC2=202+152=625=252,所以DC=25cm,即从D处爬到C

处的最短路程是25cm.8.如图,A,B是直线l同侧的两点,且点A,B到l的距离分别为4.5,

10.5,垂足C,D间的距离为8,若点P是l上一点,求PA+PB的最小

值.

解析

如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于

点P,连接PA,则线段A'B的长即为PA+PB的最小值,过点A'作A

'E⊥BD,交BD的延长线于点E,易知四边形A'EDC为长方形,则

A'C=DE,CD=A’E.因为