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专项素养综合练(八)新定义试题类型一实数中的新定义1.定义新运算“@”的运算法则为x@y=

,例如:1@2=

=

,那么4@8=

.6解析∵x@y=

,∴4@8=

=6.2.在实数范围内定义一种新运算“⊕”,其运算规则为a⊕b=

-2ab,例如:1⊕5=-2×1×5=-10,则

⊕

=

.-2解析由题意得

⊕

=-2×

×

=-(

)2=-2.3.定义一种新运算:对于任意实数m、n,都有m◎n=m2-mn-5,

等式右边是通常的减法、乘法及乘方运算.例如:2◎3=22-2×

3-5=4-6-5=-7,求

◎4的值.解析

◎4=(

)2-

×4-5=5-4

-5=-4

.类型二坐标与函数中的新定义4.定义新运算:a&b=

例如:3&4=3×4=12,3&(-4)=-3×(-4)=12,则函数y=2&x(x≠0)的图象大致是

(

)

ABCDC解析由题意得y=2&x=

故选C.5.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联

数”.若“关联数”为[3,m-2]的一次函数是正比例函数,则点

(1-m,1+m)在第

象限.二解析∵“关联数”为[3,m-2]的一次函数是正比例函数,∴y

=3x+m-2是正比例函数,∴m-2=0,解得m=2,则1-m=-1,1+m=3,

故点(1-m,1+m)在第二象限.类型三几何图形中的新定义6.(2024山东烟台黄渤海新区期末)对角线互相垂直的四边形

叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形

ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4,则AB2+CD2=

.17解析∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,

由勾股定理得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+

DO2+BO2+CO2,∴AB2+CD2=AD2+BC2,∵AD=1,BC=4,∴AB2+

CD2=12+42=17.类型四一次函数与几何图形中的新定义7.在平面直角坐标系中,过一点分别作x轴、y轴的垂线,若与

坐标轴围成的长方形的周长C与面积S的数值相等,则这个点

叫做和谐点.(1)请判断点M(1,3),N(3,6)是不是和谐点,并说明理由.(2)若和谐点P(a,3)在直线y=x+3b(b为常数)上,求a、b的值.

解析

(1)点M不是和谐点,点N是和谐点.理由:过点M(1,3)分别作x轴、y轴的垂线,与坐标轴围成的长

方形的周长C为(1+3)×2=8,面积S为1×3=3,∵8≠3,∴M(1,3)不是和谐点.过点N(3,6)分别作x轴、y轴的垂线,与坐标轴围成的长方形

的周长C为(3+6)×2=18,面积S为3×6=18,∵18=18,∴N(3,6)是和谐点.(2)∵P(a,3)是和谐点,∴(a+3)×2=3a或(-a+3)×2=-3a,解得a=6或a=-6.当a=6时,P的坐标为(6,3),将P(6,3)代入y=x+3b,得3=6+3b,解

得b=-1;当a=-6时

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