中考数学专项复习：勾股定理与几何综合

专题2.3勾股定理与几何综合

典例精析

【典例1】如图，△4BC中，“=90。，AB=10cm,BC=6cm,若动点尸从点C开始，按C

的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为，秒.

备用图1

U)出发2s后，求△ABP的周长；

(2)求出/为何值时，ABCP为等腰三角形；

(3)当点尸运动到aABC任意一条角平分线上时(不与顶点/、B、C重合)，直接写出f的值.

【思路点拨】

(1)利用勾股定理得出AC=8cm,进而表示出AP的长，由勾股定理求出P8,进而得出答案；

(2)利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案；

(3)分三种情况讨论，当点P恰好在乙48c的角平分线上时，利用角平分线的性质以及勾股定理得出方程，

PRQ

解方程即可；当点P恰好在乙4cB的角平分线上时，利用面积法求得言=；,据此可求解；当点P恰好在NB2C

的角平分线上，同理利用角平分线的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可.

【解题过程】

⑴解：:NC=90。AB=10cm,BC=6cm,

由勾股定理得AC=4102—62=8(cm),

由题意得，出发2秒后，贝IJCP=2cm,那么ZP=6cm.

•••zC=90°,

•••由勾股定理得PB=2V10cm.

；.△A8P的周长为：AP+PB+AB=6+10+2V10=(16+2V10)(cm)；

(2)解：若尸在边ac上时，

BC=CP=6cm,

此时用的时间为6s,故t=6s时△BCP为等腰三角形;

若尸在边上时，有三种情况：

①BP=CB—6cm,

此时力P=4cm,P运动的路程为12cm,

所以用的时间为12s,故t=12s时△BCP为等腰三角形;

②若CP=8C=6cm,过C作斜边48的高CD,

11

根据面积法，-X6x8=-x10xCD,

.,.CD=4.8cm,

根据勾股定理求得8。=“62—4.82=3.6(cm),

所以。运动的路程为18—2X3.6=10.8(cm),

所以用的时间为10.8s,故t=10.8s时△BCP为等腰三角形;

③若BP=CP时，

贝此PCB=NPBC,

■：/-ACP+^BCP=90°,NPBC+NC4P=90°,

：.Z.ACP=Z.CAP,

.-.PA=PC,

.t.PA=PB=5cm,

:.P的路程为13cm,

所以时间为13s,故t=13s时ABCP为等腰三角形.

:.t为6s或10.8s或12s或13s时△BC尸为等腰三角形；

(3)解：点尸恰好在乙4BC的角平分线上时，

如图所示，过点P作尸G1ZB于点G,

：.PG=PC.

在RSBPC与RgBPG中，｛^pBP

・・・Rt△BPC=Rt△BPG(HL),

：.BG=BC=6cm,

.t.AG=10—6=4cm.

设PC=久，贝!jP4=(8-x),

在RtAAPG中，PG2+AG2=PA2,

即/+42=(8—x)2,

解得：%=3,

.•.当t=3s时，点尸恰好在乙48c的角平分线上;

当点尸恰好在乙4cB的角平分线上时，

作PE14C于E,PF1BC于尸.

•••PC平分N2C8,

：.PE=PF,

.SABCPPB}BGPF_BC_6_3

"'S^APC~PA-^-AC-PE―4C—8-4’

■■PA=^AB=y,

.-p的路程为%m,

二当t=养时，点P恰好在“BC的角平分线上；

当点尸恰好在NB4C的角平分线上，过P作PH1AB,

•:点尸恰好在N84C的角平分线上,

且=90°,AB=10cm,BC=6cm,AC=8cm,

；,CP=HP,

.'./\ACP=AAHP,

：.AH=AC=8cm,BH=10-8=2(cm).

设CP=a,贝！|8P=6-a,PH=a,

・•.RtABHP中，BH2+PH2=BP2,

即22+Q2=(6—Q)2,

解得a=2

.M的路程为24-?=竽(cm),

.•.当t=券时，点尸恰好在AB"的角平分线上;

综上所述，满足条件的t的值为3s或半s或与s.

学霸必刷

1.（2023春・浙江•九年级专题练习）已知△4BC与△4BD在同一平面内，点C,。不关于AB对称，

zXBC=zXBD=30°,AB=2,AC^AD=y[2,贝iJCD长为（）

A.2或g-lB.2或历

C.V3-1^V3+1D.2或仃+1

【思路点拨】

分类讨论，①当点。和点C在直线4B同侧时，过点/作4E18D于点£.②当点。和点C在直线48异

侧时，过点/作于点“，4F1BC交8c延长线于点尸，过点C作CN1BD于点N.分别根据含30

度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解.

【解题过程】

解：分类讨论，①当点。和点C在直线同侧时，如图，过点/作AELBD于点E.

•.•乙4BC=30°,乙4EB=90°,

.-.AE=^AB=1.

•.•在RtZkAEC中，AC=42

.■.EC=S4C2一4u=1.

同理在中，可求DE=1,

.•.CD=EC+OE=2；

②当点。和点C在直线异侧时，如图，过点/作力M1BD于点M,4F1BC交2c延长线于点尸，过点

C作CN1BD于点N,

由作图可知4力FB=Z.AMB=90°,/.ABC=乙ABD=30°,

.-.AF=AM=^AB=1,BF=BM=^AB=5

•.,在RtaADM中，AD^y[2

：.DM=yjAD2-AM2=1,

:.BD=DM+BM=1+^3.

同理可求CF=1,

:.BC=BF-CF=W-\.

■.■ACBA+^ABD=60°,即“BN=60。，NCNB=90。

.-.BN=CN=争C=a?T)=

：.DN=BD-BN=1+VS-^1=

22

在Rt△(7£)%中，CD=>JCN2+DN2=(呼=遍.

综上可知CD长为2或痣.

故选B.

2.（2023春•八年级课时练习）如图，在AIBC中，48=/C=6,NA4c=120。，过点”作4D1A4交2C

于点。，过点。作。E18C交NC于点E,则4E的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】

根据等腰三角形的性质可得NB=/C,根据含30。角的直角三角形的性质可得4D的长，再求出EC的长，即可

确定4E的长.

【解题过程】

解：-：AB=AC=6,ABAC=120°,

4B=NC=30°,

■.■ADIBA,

•­•/.BAD=90°,

设=则BD=2x,

根据勾股定理，可得62+/=（2x）2,

解得汽=2百或汽=一2仃（舍去），

•••AD=2V3,

•・・皿1。=120。-90。=30。，

•••Z.C=Z.DAC,

•••DC=AD=2V3,

DE1BC,

・••4EDC=90。，

设ED=TH,则EC=2m,

2

根据勾股定理，得血2+（2遍）=（2m）2,

zn=2或m=-2（舍去），

・•.EC=2m=4,

ZE=6-4=2,

故选：B.

3.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，三角形纸片/3C中，点。是8c边上一点，连接ND,把小台。

沿着直线翻折，得到△/££>,DE交4c于点G,连接BE交AD于点?若DG=EG,4F=4,48=5,

A4EG的面积为，贝舫。2的值为（）

A.13B.12C.11D.10

【思路点拨】

首先根据S/S证明△A4五三△及4尸可得/尸根据三角形的面积公式求出AD,根据勾股定理求出AD即

可.

【解题过程】

解：由折叠得，AB=AE,4BAF=4EAF,

在ABAF和中，

(AB=AE

]/.BAF=/.EAF,

IAF^AF

:ABAF三△EAF(SAS),

：.BF=EF,

•••AFLBE,

又以尸=4,AB=5,

■-BF=V4B2-AF2=3,

在A4DE中，EFVAD,DG=EG,设边上的高线长为力，

•••S/viOE=夕。•"=初•/l+湖•h,

即S/i/DG+=3。,EF,

19

•••S/VIEG=5,GE,%=5，S^ADG=S^AEG,

99

•••S"0G+^AAEG=5+5=9，

.•.9=9。-3,

:.AD—6,

.­.FD=AD-AF=6-4=2,

在RtABDF中,BF=3,FD=2,

:.BD2=BF2+FD2=32+22=13,

故选：A.

4.（2023春•八年级单元测试）如图，在等腰"△ABC中，N4=90。，BD平分〃BC,BE平分乙DBC,M、

N分别为射线BE、8c上的动点，若BD=8,贝UCM+MN的最小值为（）

C.8D.10

【思路点拨】

如图，作N关于8E的对称点N，，则MN=MM,当C,M,M三点共线时最短即CM,当CM1BF时最短，过点C

作CF1BD,交BD的延长线于点F,即N，与尸点重合时最短，过点。作DG1BC于点G,根据等面积法求得CF,

即可求解.

【解题过程】

解：如图，作N关于BE的对称点N一过点C作CF1BD,交BD的延长线于点F,过点。作DG1BC于点G,

.-.MN=MN',当三点共线时CM+MN最小即CM,当CM1BF时最短，CF即为所求,

"DG1BC,RtaABC是等腰直角三角形，

.•.△DGC是等腰直角三角形，

.'.DC=V2OG

•••8。平分44BC,

.'.DA=DG

-AC=AB,

设=a,贝！J/B=AC=(1+V2)tt

在RtZkABO中，BD=8,AD=a,AB=(1+V2)a

-：BD2=AD2+AB2

.-.82=a2+[(1+V2)a]2

解得小=32-16立

：.BC=V2i4C=(V2+2)a

♦S△BDC—xDG=^BDxCF

.炉_BCXDG_(V2+2)axa_(V2+2)x(32-16V2)

，，Cr-BD~8-8

=(V2+2)(4-272)

=4V2—4+8—4^2

=4

故选A.

5.(2023春•八年级课时练习)如图，在等腰RN4BC中，zC=90°,48=8,点。和E分别是BC和48上两

点，连接DM将沿DE折叠，得到△夕DE,点夕恰好落在4：的中点处，DE与BB交于点F,则折痕DE

A.2V2B.V10C.理D.平

62

【思路点拨】

在RtABCB'中，求出BB'=2V10,设BD=x,贝i|CD=4V2-x,B'D=x,在Rt△CDB'中，

由勾股定理得/=(4&—Jef+(2V2)\求得BD=乎，在Rt^BDF中，求出。?=当，过点

作B'GIAB于点G,贝!|AG=B'G=2,设BE=y,则GE=6-y,B'E=y,在RtAB,GE中，G

E2+B'G2=B'E2,可求BE=彳，在RfABEF中,EF2=BE2-BF2,可求EF=^-,则

ED=DF+EF=^-.

6

【解题过程】

解：由折叠可知，BD=B'D,BF=B'F,DF1BF,

v等腰放△ABC中，NC=90。，AB=8,

BC—AC—4V2,

-B'是AC的中点，

・•・CB1=2V2,

在RtABCB'中，BB,-VBC2+B'C^=J(4V2)2+(2V2)2=2V10,

BF=V10,

设BD=x,则CD=4V2-X,B,D=x,

在Rt△CDB'中，B'D=y/CD2+B'C2,

22

.・.x2=(4V2—%)+(2V2)

._5V2

••Av---,

2

...BD=岁，

在RtABDF中，DF=y/BD2-BF2=J(|V2)2-(V10)2^

AG=B，G

•••w=2V2

:.AG=BfG=2,

设BE=y,则GE=6—y,B/E=y,

在RtAB'GE中，GE2+B'G2=B'E2,

(6—%)2+4=x2

在RtABEF中，EF2=BE2-BF2,

•••EF2=(y)-(V10)2=Y>

EF=孚

ED=DF+EF=—+—=

236

故选:C.

6.(2023春•八年级课时练习)如图，在纸片2MBe中，A8=2C=12,zB=30°,折叠纸片，使点8落在2C

的中点。处，折痕为EF,贝MDEF的面积为()

A.等B.10V3C.11V3D.警

【思路点拨】

过点。作的垂线，垂足为G,过。作CP的垂线，垂足为H,过/作2C的垂线，垂足为N,分别求

1

出和△。尸。的面积，利用员QEF=]X(S^ABC—SQEA—SQFC)可得结果.

【解题过程】

解：过点。作45的垂线，垂足为G,

FNH

^^BAC=nO0,

••ZG/C=60°,NG£U=30°,

：.AG=\AD==3,DG=7AD2—AG2=3V3,

设AE=x,则BE=\1-x^DE,

在MADGE中，DE2=GE2+GD2,

即(12T)2=(X+3)2+27,

解得：x=y,

：.SAADE=^DGXAE=^Xyx3V3=^/3,

过。作C尸的垂线，垂足为H,过/作BC的垂线，垂足为N,

MB=30°,

.•.AN=^AB=6,SJV=V122-62=6V3,

•••BC=12V3,

设DF=y,

则CF=12V3-y,

DH=1CD=3,CH=7CD2—DH2=3后

22

贝ij有D"2+FH2=DF2,即32+(12V3-y-3V3)=y,

解得：？=喈

则SADFC=^DH-CF=1X3X(12V3-喈)=11V3,

1

：.SADEF=-x(SAABC-SADEA-SADFC)

-1x(--BC•

2.2

Ix(1x12V3x6-yV3-llV3)

故选/.

7.（2023秋•浙江宁波•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0,2）,3是X轴上一

点.以4B为腰，作等腰直角三角形ABC,AABC=90°,连接。C,则AC+OC的最小值为

【思路点拨】

如图所示，过点C作CDlx轴于。，设点8的坐标为(m,o)(m>0),证明△40B三△BDC,得到

BD=CM=2,CD=OB=m,进而求出点。的坐标为(巾+2,m),利用勾股定理得到。C+AC=

V(m+2)2+m2+7(m+2)2+(m-2)2,贝函+OC的最小值即为点(一1,1)到点(0,-2)的距离的五倍,

由此求解即可.

【解题过程】

解：如图所示，过点C作CDlx轴于。，设点8的坐标为(?n,0)(m>0),

,•,点N的坐标为(0,2),

.'.OA=2,

・・・△/BC是等腰直角三角形，乙4BC=90。，

.'.^OBA+Z.OAB=90°=乙DBC+/.OBA,AB=BC,

：.Z-OAB=2DBC,

AXOB=ABDC(AAS),

；.BD=OA=2,CD=OB=m,

：.0D=OB+BD=m+2,

•••点。的坐标为(TH+2,m).

••・0C=J(m+2)2+m2,AC=J(m+2)2+(m—2)2,

：.OCAC=4-2)2+m2+y/(jn+2)2+(m—2)2

=V2m2+4m+4+V2m2+8

=V2(7(m4-1)2+1+Vm2+4),

.•.ac+oc的最小值可以看做在x轴上的一点到点(-1,1)和到点(o,-2)的距离之和的最小值的四倍，

..AC+。。的最小值=V2x7(-1-0)2+[1-(-2)]2=2V5,

由对称性可知，当加＜0,同理可证2C+0C的最小值=2店，

故答案为：2V5.

8.(2023春•八年级课时练习)如图，长方形力BCD中，48=5/D=6,点P是射线力。上一点，将△ABP

沿BP折叠得到△48P,点4恰好落在BC的垂直平分线Z上(直线Z也是2D的垂直平分线)，线段AP的长为

【思路点拨】

设直线2与AD、BC交于点E、F,分两种情况讨论：当点P在线段4E上时，设，设4P=4P=x,PE=3-x；

当点P在射线4。上时，设4P=4P=y,PE=y—3,分别利用勾股定理求解即可.

【解题过程】

解：根据题意，四边形力BCD为长方形，直线1是BC、4。的垂直平分线，

则4B=CD=5,AD=BC=6,BC1l,AD11,AE=jAD=3,

设直线l与a。、8c交于点E、F,可分两种情况讨论：

①如下图，当点P在线段2E上时，设2P=4P=x,PE=3—X,

在RtZkBF4中，

■.-BF=^BC=3,BA'=BA=5,^BFA'=90°,

■.FA'=、BA'2-BF2=V52-3Z=4,

\'EF=AB=5,

・・.4E=5—4=1,

・•・在中，可有4P2=PE2+4£*2,

即有%2=（3一%）2+#,解得％=1|,

即2P=|;

②如下图，当点P在射线4。上时，设4P=4P=y,PE=y—3,

在RtaBfA中，

■.■BF=^BC=3,BA'=BA=5,^BFA'=90°,

：.FA'=y/BA'2-BF2=V52-32=4,

vEF=AB=5,

・・.4E=5+4=9,

・•・在中，可有4P2=p£2+/石2,

即有y2=(y-3)2+92,解得y=15,

即4P=15.

综上所述，线段ZP的长为|或15.

故答案为：!或15.

9.(2023春•八年级课时练习)如图，在AABC中，BD平分N2BC,乙力=3NC,4B=6,BC^10,则

AD=.

【思路点拨】

作出如图的辅助线，证明三△EBD(SAS),推出NE4C=NC,AE=EC,再证明BD是4E垂直平分线，利

用勾股定理和面积法求得BG和4F,再求得2C的长，再利用面积法求得笠据此求解即可.

/ICO

【解题过程】

解：在BC上取点E,使8E=4B,作4F1BC于点尸，连接4E交80于点G,如图，

A

.-.Z.ABD=4EBD

又•:BE=AB,BD=BD,

.•.△ABD三△EBD(SAS),

■■.AD=ED,乙BAD=zJBED=3乙C,Z.BAE=Z.BEA=Z.EAC+zC,

：.Z-BAC=乙BAE+Z-EAC=Z-EAC+乙C+Z-EAC=2（EAC+Z.C,

.-.3Z.C=2/.EAC+zC,即乙EZC=NC,

：.AE=EC,

-AB=6,BC=10,

"E=EC=10-6=4,

•・・80平分448C,BE=AB,

・・・BO是ZE的垂直平分线，

：.AG=EG=2,

：.BG=y/AB^-AG2=4a,

■：^AExBG=^BExAF,

..4F=挈，EF=yjAE2_AF2=if

：.CF=CE+EF=^-,

■.AC=7CF2+旃=竽

••・BD平分N4BC,

.•.点D至IJAB和BC边上的距离相等，

SRABDAB63ADi4Z>3

•.•码=就=而=^=而，nn即就=]

=（X呼=V6.

o3

故答案为：V6.

10.（2023春•八年级课时练习）如图，长方形ABC。中，4。=3,=5,点£为射线DC上一动点（不与。

重合），将△力DE沿/£折叠得到△D2E,连接。B,若△力B。为直角三角形，则4E=

【思路点拨】

分两种情况讨论：①当点£在线段CD上时，三点共线，根据5%£=/8〃。=骸小4。可求得

BE=5,再由勾股定理可得=薜二万四=4,进而可计算DE=0E=1,在中，由勾股定理

计算力E的值；②当点E在射线8上时，设CE=x,则。E=DE=%+5,BE=x+l,由勾股定理可解得

x=4,进而可计算DE=9,在RtaADE中，由勾股定理计算4E的值即可.

【解题过程】

解根据题意，四边形/8CO为长方形，4D=3,AB=5,将△4DE沿4E折叠得到△D71E,贝此D=

A=90°,AD=BC=AD'=3,AB=CD=5,

图1

•：Z-ED'A=ZD=Z-AD'B=90°,

・・B。万三点共线，

•.62BE=/B-AD=[BE-AD',

:.BE=AB=5,

•；BD'=7AB2—AD2=452—32=4,

.-.DE=D'E=BE-BD'=5-4=1；

.•.在RtZXADE中，AE=VXD2+DE2=V32+I2=V10；

②如图2,当点£在射线CD上时，

•••4D'B=48CE=90°,aD=BC=AD'=3,ABCD5,

■.BD,=7AB2-AD，2=4,

设CE=x,则。E=£）E=x+5,

.,.BE=D'E—BD'=x+1,

-：CE2+BC2=BE2,即/+32=（%+i）2,

解得x=4,

:.DE=CD+CE=5+4=9,

.•.在Rt△ADE中，AE=y/AD2+DE2=V32+92=3V10.

综上所述，/E的值为06或3V15.

故答案为：V1U或3aU.

11.（2023秋•浙江杭州•八年级校联考期末）如图，△4BC中，AB=AC,4£>18。于点。，DE平分N&DC,

交力C与点£,EF14B于点R且交力LT于点G,若4G=2,BC=12,则4尸=.

【思路点拨】

过点8作BH14C于"，过点。作DK14C于K,过点E作EMLCD于初，ENLAD于N,连接BE,先证得

△DEG^△DEC,运用勾股定理可得AB=10,利用面积法可求得：DK=g,BH聋,EM=EN=与,

AE=9,EF=詈，再运用勾股定理即可求得答案.

【解题过程】

解：如图，点2作BHL4C于〃，过点。作DKLAC于K,过点E作于M,5可14。于"，连接

BE

...BD=CD=却=：x12=6,/.BAD+=90°,乙ABC=AC,

■：EFLAB,

.-./.BAD+AAGF=90°,

：.Z.ABC—Z.AGF=Z-C,

,：Z-AGF=乙DGE,

.t.Z.DGE=zC,

・・・OE平分4ZOC,EM1CDfEN1AD,

.-.EM=EN/EDG=乙EDC,

在△DEG和△函;中，

(Z.DGE=乙C

、人EDG=^EDC,

(DE=DE

AZ)EG=AZ)EC(AAS),

：.DG=CD=6,

'.'AG=2,

：.AD=AG+DG=2+6=8,

在RtZkABO中，AB=y/AD2+BD2=V82+62=10,

.t.AC=AB=10,

♦；AC,DK=AD,CD,

・・・10OK=8X6,

・・.DK=g,

-AC-BH=BC-ADf

・・.10BH=12x8,

48

：.BH=y,

'•'^AADE+S^CDE=S"C。，

：^AD•EN+^CD•EM=^AD-CD,

MEN+3EM=24,

-EN=EM,

・・・7EN=24,

；.EN若,

24

.-.EM=EN=—,

•・・DK・AE=AD,EN,

.•.争E=8Xy,

：.AE=y,

-AB•EF=AE,BH,

4048

：A0EF=—x—f

LL192

在RtzXAEF中，4F=7AE2-EF2=/（竺/一严『

\K77v3575

故答案为：

12.（2023秋•吉林长春•八年级统考期末）如图，在△48C中，AB=50cm,BC=30cm,AC=40cm.

(1)求证：ZJCS=90°

(2)求N8边上的高.

(3)点。从点5出发在线段48上以2c%/s的速度向终点/运动，设点。的运动时间为f(s).

@BD的长用含t的代数式表示为.

②当△BCD为等腰三角形时，直接写出t的值.

【思路点拨】

(1)运用勾股定理的逆定理即可证得NACB=90。；

(2)运用等面积法列式求解即可；

(3)①由路程=速度x时间，可得BD=2t；②分三种情况进行求解，即可完成解答.

【解题过程】

证明：(1)v5C2+^C2=900+1600=2500cw2,AB2=2500cm2,

：.BC2+AC2=AB2,

■■■^ACB=90°,

・•.A43c是直角三角形；

(2)设N8边上的高为和以，

由题意得以/3。=等=等竺,

解得h=24.

■'-AB边上的IWI为24cm；

(3)①•.•点D从点B出发在线段N3上以2cm/s的速度向终点A运动，

■■.BD=2t；

故答案为：2f；

②如图］,若BC=BD=30cm,则-司=15s,

图1

如图2,若CD=BC,过点C作CEL48,

图2

由(2)可知：CE=24cm,

■■.BE=VBC2-CE2=V900-576=18cm,

■：CD=BC,HCEVBA,

:.DE=BE=18cm,

••.BD=36cm,

・"=m=185,

若CD=DB,如图2,

222

-CD=CE+DEf

,・CD2=(CD-18)2+576,

.-.CZ)=25,

25

综上所述：当f=15s或18s或卷时，△BCD为等腰三角形.

13.(2023春•八年级课时练习)如图，AABC中，乙4c8=90。，AB=10cm,8c=8cm,若点P从点4出发,

以每秒2cM的速度沿折线4-B-C-4运动，设运动时间为t秒(t>0).

备用图1备用图2

(1)点P运动结束，运动时间1=；

(2)当点尸到边48、4C的距离相等时，求此时t的值；

(3)在点尸运动过程中，是否存在/的值，使得44cp为等腰三角形，若存在，求出f的值，若不存在，

请说明理由.

【思路点拨】

(1)根据勾股定理定理求出AC长，从而根据时间=路程+速度计算即可得到答案；

(2)当点P恰好在乙4BC的角平分线上，点尸到边/2、/C的距离相等时，设PD=PC=y,则AP=3-y,

在RtAADP中，依据AD2+p£)2=ap2,列方程求解即可得到t的值；

(3)分四种情况：当P在48上且4P=CP时，当P在力B上且力「=乙4=3时，当P在4B上且AC=PC时，当P

在BC上且"=PC=3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值.

【解题过程】

(1)解：中，NZCB=90。，AB=10cm,BC=8cm,

••・AC=V102—82=6cm,

*'•C4ABe~ZB+BC+AC

=6+8+10

=24cm,

•・•点P从点”出发，以每秒2m的速度沿折线/—B—C—Z运动,

二点P运动结束，运动时间t=g=12(秒)，

故答案为：12；

(2)解：如图，过P作PD14B于。，

•••8P平分N28C,“=90。，

•••PD=PC,BC=BD=8,

AD=10—8=2,

设PD=PC=y,则4P=6—y,

在RtAADP中，AD2+PD2=AP2,

•1-22+y2=(6—y)2,解得y=3

■-CP=1，

AB+BC+CP10+84--31

・"=一2一=丁^=三；

当点P与点B重合时，点P也在N4BC的角平分线上，此时，t=掾=5；

综上所述，点P恰好在乙48c的角平分线上，t的值为当或5；

(3)解：根据题意，可分四种情况：

①如图，当P在上且4P=CP时，

A

/LA=/.ACP,而z_4+NB=90°,/ACP+N8cp=90°,

・•・乙B=Z-BCP,

:・CP=BP,

・•.P是4B的中点，即4P=/B=5,

AP5

t——=一:

22'

②如图，当P在4B上且4P=C4=6时,

③如图，当P在4B上且4C=PC时，过C作CD14B于D,则

rnACBC24

-1o

RtAACD中，AD^—,

：.AP=2AD=y,

工AP18

••-t=T=T;

④如图，当P在BC上且4C=PC=6时，BP=8—6=2,

A

AB+PB,

，t=---=6.

综上所述，当±=?或3或装或6s时，A4CP为等腰三角形.

14.（2023•全国•八年级专题练习）如图，在△A8C中，AB=AC=5,BC=6,动点P从点C出发，按C-N-8-C

的路径运动（回到C点停止），且速度为每秒3个单位，设出发时间为/秒.

（1）求2c边上的高线NE的长与/C边上的高线AD的长；

（2）当CP14B时，求f的值；

（3）若aACP是等腰三角形，直接写出所有满足条件的f的值.

【思路点拨】

（1）如图，根据等腰三角形的性质可得BE,然后再运用勾股定理可求得4E,然后再根据S^BC=^BC•AH=

/LB。即可求得BD；

（2）如图：过C作CFL4B于凡先求得CF=g,进而求得力C+4F,最后根据速度、路程和时间的关系

即可解答；

（2）分①C/=CP.②C/=4P,③4尸=PC三种情形，分由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可.

【解题过程】

（1）W：■.AB=AC=5,BC=6,3C边上的高线/E

.-.BE=EC=匏。=3

在Rt△ABE中，AE=7AB2-BE2=<32-32=4

■,■|BCXAE=^ACxBD

.•.6x4=58。,解得：50=y.

(2)解：如图：过C作CF14B于F

同(1)的方法可得即=葛

^RtAAFC^p,了尸=V4C2-CF2=J52-停)2=)

7

.•.当CP1AB时，点尸走过的路程为g+5=6.4

6.432

(3)解：①当4C=CP=5时且在42上，如图：过点C作CE14P于点E,

■■■AC=CP=5

■.■CELAB,BD1AC,

.•・由(2)可得，CF=g

7

由勾股定理可得：AF=^

：.AC+AP=AC+2AF=54-2.8=7.8

当4C=CP=5时且在8c上，则有4C+2B+BP=11

②如图，当24=AC时，即点P与点8重合,

③如图，当2P=PC时，点尸在BC上，过点4作4H1BC于〃

:.AHLBC

■，BH=CH=3,

由(1)可知：AH=4,

・・・点产在BC上

••.PC=16-33PH=13-3t,

71

.-.(13-3t)2+42=(16-3t)2,解得t=奇

综上所述，满足条件的的值为2.6或装或当或需

□31o

15.(2023秋•湖南衡阳•八年级校考期末)如图1,在△力8c中，42。8=90。/8=5,8。=3,点尸从点/

出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线a-CrBf4运动.设点P的运动时间为f秒.

(i)ac=；当点P在ac上时，CP=(用含/的代数式表示)；

(2)如图2,若点P在乙4BC的角平分线上，求才的值；

(3)在整个运动过程中，当aBCP是等腰三角形时，求才的值.

【思路点拨】

(1)利用勾股定理求出4C,利用CP=4C—4P,求出CP；

(2)过点P作PD14B,交4B于点D,利用勾股定理列式求解即可；

(3)分BC=CP,BP=CP,BC=BP,三种情况进行讨论求解即可.

【解题过程】

(1)解：•.•N4CB=90°/B=5,BC=3,

.•.AC-7AB2—BC2=4；

•••点P从点/出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线a-c-B-a运动，

.•.当点尸在AC上时，AP=t,

.-.CP=AC-AP=4-t；

故答案为：4,4—t；

(2)解：点P作PD14B,交AB于点D,贝U：/.PDA=/.PDB=90°,

,点尸在“BC的角平分线上，4ACB=9。。,

.-.AACB=乙PDB=90°,PD=PC,

又,：BP=BP,

.•・索四三△PBC(HL),

.,.BD=BC=3,

.-.AD=AB—BD-2,

由(1)知AP=t,CP=4-t,

：.PD=PC=4-t,

在Rt/XADP中，AP2=PD2+AD2,即：t2=(4-t)2+22,

解得：t=|;

(3)解：P点运动的总时间为：(5+4+3)+1=12秒,

当△BCP是等腰三角形时：

①当BC=CP,点P在4C上时：如图，

此时：4T=3,解得：t=l；

当BC=CP,点P在上时：如图，过点C作CE14B,交AB于点E,

贝lj：BP=t-AC-BC=t-7=2BE,

■.■SAABC=|XC-BC=^AB-CE,即：4x3=5CE,

.•.CF=y,

_9

■■BE=7BC2—CE2=

[R

:，BP=t-7=—,

•••t=—；

②当BP=CP时，如图:

由①可知：BE=l，BP=t-7,CE=^

9

：.PE=t-7--fCP=t-7,

在RtZkPEC中，CP2=PE2+CE2,即：（t—7）2=+（学2,

解得：t=9.5；

③当BC=BP时，如图:

此时：BP=t-7=3,解得t=10；

综上：当△BCP是等腰三角形时，t的值为：1或1或9.5或10.

16.(2023秋・山东烟台•七年级统考期末)在RtaaBC中，^ACB=90°,CB=CA=2近,点。是射线48

上一点，连接CD,在CD右侧作NDCE=90。，且CE=CD,连接己知4E=1.

图1图2

(1)如图1,当点。在线段45上时，

①求NC4E的度数；

②求线段CD的长；

(2)当点。在线段的延长线上时，其他条件不变，请在图2中画出图形，并直接写出NC/E的度数和

CD的长.

【思路点拨】

(1)①先证明△BCD三△4CE(SAS),得到=即可求解；

②先利用勾股定理求出2B=山1C2+BC2=4,再证明ND4E=NB4C+NC4E=90。，最后利用勾股定理即

可求解；

(2)先证明△BCD三△ACE(SAS),再得到NCBD=135。，即可求出NQ4E=135。，利用勾股定理即可求出

CD的长.

【解题过程】

(1)①•.•乙4cB=90。，Z£)CE=90°,

••Z-ACB—Z-ACD=Z.DCE—Z-ACD,

：.Z-BCD—Z.ACE,

(BC=AC

在△BCD和△4CE中，\/-BCD=Z.ACE,

ICD=CE

••.△BCO三△4CE(SAS),

^Z.B=Z-CAE,

•・•乙4c3=90。，AC=BC,

••23=45。，

・・ZC/E=45。；

②连接DE,如图1,

R

图1

•.24CB=90°,CB=CA=272,

."=NB"=45。，

在中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2

■■AB=7AC2+BC2=4,

△BCD三△ACE,

：.Z.B=Z.CAE=45°,BD=AE=1,

：./.DAE=Z.BAC+Z.CAE=90°,AD=AB-BD=4-1=3,

由勾股定理得：DA2+AE2=DE2

•.•ZDCE=9O°,

由勾股定理得：DC2+CE2=DE2

.-.DA2+AE2=DC2+CE2

■：CE=CD,

.-.32+1=2CD2

-'-CD—V5

(2)画图见图2,NC4E=135°,CD=V13.

图2

VZ.ACB=90°,Z.DCE=90°,

工人ACB一乙BCE=^DCE—乙BCE,

：.Z.BCD=Z.ACE,

(BC=AC

在△3C0和△4CE中，］/-BCD=/.ACE,

ICD=CE

・•.△BCD三(SAS),

，乙CBD=cCAE,

•・•乙4CB=90。，AC=BC,

・・ZCB4=45。，

,480=135。

・・ZC4E=135。；

连接QE,

•・2CBD=NG4E=135。，BD=AE=1,

：,Z.DAE=^CAE-/,BAC=90°,AD^AB+BD=4+1=5,

由勾股定理得：DA2+AE2=DE2

•・・4OCE=90。,

由勾股定理得：DC2+CF2=DE2

.-.DA2+AE2=DC2+CE2

•：CE=CD,

.-.52+l=2CZ)2

•'-CD=VT3

17.(2023秋•福建莆田•八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，点/在y轴上，点、B、C在x轴上,

^ABO=30°,AB=2,OB=OC.

(1)如图1,求点AB、C的坐标；

(2)如图2,若点。在第一象限且满足AD=AC,ND4c=90。，线段BD交＞轴于点G,求线段BG的长；

(3)如图3,在(2)的条件下，若在第四象限有一点E,满足NBEC=NBDC.请探究BE、CE、4E之间的

数量关系.

【思路点拨】

(1)根据心力8。=30。，AB=2,在RtZkAB。中，有：AO=^AB=1,进而有B。=Vd/—4。=722T=

V3,问题随之得解；

(2)求出ac=，ao2+oc2=2,^AB=AC,可得=接着求出NBAG=120。，证明

△BAOmACA。,即有NBA。=60°=NG4。，可得NG4D=1800-NLMC-NOAC=30°,得出

/.BAD=/.BAG+Z.GAD=150°,进而有zABD=44。8=15°,可得NGB。=Z7180+NAB。=45°,即有

乙GBO=乙BGO=45°,问题随之得解；

(3)由(2)可矢［1Z.ADB=15°,=^ADB+Z.ADC=60°,进而有4BEC=N8DC=60。，延长EB

至尸，使BF=CE,连接AF,过/点作4MLEF于〃点，根据NtMB=NtMC=60。，即有N84C=120。，进

一步有NB4C+NBEC=180°,即可证明N4BF=N4CE,接着证明△力BF三△ACE(SAS),问题随之得解.

【解题过程】

(1)-.-/.ABO=30°,48=2,

.•.在RtZkABO中，有：40=/B=1,

■.BO=7AB2-AO2=422—12=V3,

■.■OB=OC,

■■.OB=OC=V3,

”(0,1),B(-V3,0),c(返0)；

(2)*-'OC=V3,AO=1,

22

・••在Rta/CO中，AC=y/AO+OC=29^AB=AC,

-AD=AC,

.*.AD=2,

•\AD=2=AB,

：.Z.ABD=Z.ADB,

••2480=30。，44。8=90。，

・""。=60。,即484G=120。，

•：OB=OC,AB=AC=2,AO=AO,

ABAO=ACAO,

・44。=60。=4乙4。，

•・2£MC=90。，

.-./.GAD=1800-ADAC-/.0AC=30°,

•：/.BAG=120°,

••/BAD=乙BAG+Z-GAD=150°,

・•・乙4BD=N4DB=15。，

.・Z4BO=30。，44。8=90。，

：/GBO=乙ABD+Z.ABO=45°,

・・・4GBO=4BGO=45。，

；.BO=OG,

,:BO=V3,

••.BO=OG=V3,

・•.在△BOG中，BG=y/BO2+OG2=V6；

(3)BE+CE=6AE,理由如下：

由(2)可知：乙4OB=15。，

-AD=AC,N£MC=90。，

.'^ADC=Z.ACD=45°f

：.Z.BDC=Z-ADB+Z-ADC=60°,

：./.BEC=^BDC=60°,

延长EB至R使=连接4尸，过4点作/MlEF于M点，如图,

•・2。48=4。4c=60。，

.4/C=120。，

/.Z^C+ZFEC=180°,

.・Z4CE+44BE=180。，

-/.ABF+/.ABE=180°,

：.Z-ABF=乙4cM

又“8=ZC,BF=CE,

:,AABF=AACE(SAS),

：,AF=AE,乙BAF=^CAE,

,^FAE=ABAC=120°f

・・ZF=Z.AEF=30°,

-AM1EFfAF=AE,

.-.AM=^AE,ME=|£F,

：.ME=y/AE2-AM2=争E

■■.FE=y/3AE,

：.BE+CE=BE+BF=FE=WAE,

即BE+CE=d^4E.

18.（2023秋•山东济南•八年级统考期末）已知乙4OB=/COD=90。，OA=OB=10,OC=OD=8

B