中考数学专项复习：二次函数与一元二次方程重难点题型专训（6大题型）（解析版）

专题02二次函数与一元二次方程重难点题型专训(6大题型)

旨【题型目录】

题型一求抛物线与X、y轴的交点坐标

题型二由二次函数解一元二次方程

题型三由二次函数的图象求不等式的解集

题型四抛物线交点问题的综合

题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况

题型六求x轴与抛物线的截线长

【知识梳理】

知识点：二次函数与一元二次方程

1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，J.-_4,I,,方程有两个不相等的实根。

2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，匕=-—、纪=口，方程有两个相等的实根。

3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，=.“汇v口，方程没有实根。

二次函数y=a?+乐+c的图象与x轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③

有两个公共点，这对应着一元二次方程+bx+c=0的根的三种情况：

①有实数根，此时△<();②有两个相等的实数根，此时△=();③有两个不相等的实数根，此时△>().

(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母

的影响，据此可求图象经过的定点坐标.

(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用

三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.

知识点：二次函数与不等式

。〉0

判别式抛物线y=ax2+Zzx+c与不等式ax2+bx+c<0的解

不等式+bx+c〉0的解集

X轴的交点集

△>0X<再或X>%2xr<x<x2

F

有两个交点

b

△=0X（或XW%2）无解

oxi(x2)r

有一个交点

r/

△

<0一全体实数无解

*

无交点

41经典例题一抛物线与x、y轴的交点坐标】

1.(2023秋•河北邯郸•九年级邯郸市第二十三中学校考阶段练习)抛物线＞=-(2x-l)(x+3)与x轴的两个

交点之间的距离是()

7

A.-B.2C.vD.4

22

【答案】A

1117

【分析】由k-(2x-l)(x+3)=-2(x-])(x+3),得两个交点为(5,0),(-3,0),求得距离为「(-3)=^.

【详解】解：y=-(2x-l)(x+3)=-2(x-；)(x+3),

••・抛物线与x轴的两个交点为(；,0),(-3,0).

.17

••.两个交点之间的距离为--(-3)

故选:A

【点睛】本题考查二次函数两点式解析式，二次函数与方程的联系，数轴上两点间的距离；理解方程与函

数的关系是解题的关键.

2.(2023秋・安徽宣城•九年级校考阶段练习)如图，点48的坐标分别为(-4,4)和(-1,4),抛物线

y=a(x-”)2+〃的顶点在线段48上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于C、。两点(C在。的左侧，

且两点间距4个单位长度)，点C的横坐标最小值为-6,则点。的横坐标最大值为()

A.-3B.1C.5D.8

【答案】B

【分析】当抛物线经过A点时，与x轴的交点C的横坐标是最小值，所以把A点坐标和C(-6,0)代入可以

a,再把B点坐标代入，求出与x轴的交点就是。点的横坐标的最大值.

【详解】：抛物线y=a(x-机＞+〃过A(-4,4)点时，与x轴的交点C的横坐标是最小值-6,

，0=。(-6+4＞+4,

..d——1f

•••抛物线y=-(x-m)2+〃过8(-1,4)点时，与X轴的交点。的横坐标是最大值，

，0=-(x+iy+4,

..X]—1,X]~—3,

的横坐标是1,

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是通过数形结合观察到图象过A点时，C的横坐标是最

小值，过点3时，D的横坐标是最大值.

3.(2023秋•河北沧州•九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线＞=ax(x-4)(aW0)与x轴相交

于A,B两点，且点A在点B的左侧.

(1)点3的坐标为;

(2)当-24xV4时，抛物线＞=""-4)(0*0)的最小值为_4,则。的值为.

【答案】(4,。)1或-]

【分析】(1)令y=0,且结合以及点A在点B的左侧即可作答；

(2)分。＞0和a＜0两种情况进行谈论，得出最小值且结合题意，解方程即可列式作答求解.

【详解】解：(1)由题意得：令y=o,

贝”0=ox(x-4)(aw0),

解得：玉=0,%=4,

,・,点A在点B的左侧，

.,.点3的坐标为(4,0)；

(2)由(1)知点A的坐标为(0,0),点8的坐标为(4,0)；

••・抛物线的对称轴为直线无=守=2,

当。>0时，抛物线开口向上，当x=2时，最小值为2ax(2-4)=-40,

•:当-24xV4时,抛物线y=ax(x-4)(aW0)的最小值为-4,

•••-4a=-4,

，a=1；

当”。时，抛物线开口向下，当工=2有最大值，

•.-2-(-2)=4,4-2=2,且4>2；

.•.当x=-2时，离对称轴较远，

故在x=-2时，抛物线y^ax(x-4)(a^0)取得最小值，

即-2ax(-2-4)=-4,

解得。=-：；

所以。的值为1或-;.

故答案为：(4,。)；1或

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的对称轴和最值问题，二次函数的图象性质，正

确掌握相关性质内容是解题的关键.

4.(2023秋•吉林长春•九年级长春市解放大路学校校考阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线

j=*+26x+3(6为常数)经过点/(TO)且与y轴交于点8,点C在该抛物线上，横坐标为2加-1,将

该抛物线8,C两点之间(包括8,C两点)的部分记为图象G.

n

Aid\x

(1)求此抛物线对应的二次函数表达式；

(2)当-24x43时，二次函数的最大值是，最小值是;

(3)图象G的最大值与最小值的差为3时，求加的值；

(4)抛物线>=-X2+26X+3。为常数)与x轴的另一交点为。，若点M在抛物线上，且在x轴下方，点、N

为x轴上一动点，当以8,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点N的坐标.

【答案】(1)?=7+2》+3

(2)4,-5

(3)机=。或加=2+"

2

(4)N、(-2-V7.0),3(-2+V7,0)

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据>=-/+2》+3=-(工-1『+4,可得当无=1时，了取最大值，最大值为4,再根据二次函数图象和

性质可得，当-2«x<3时，］=-2时，y取最小值，即可求解；

(3)设c(2m-l,-4/+8〃z),分类讨论当2加-1<0,当0<2加-1<1时，当1<2加-1<2时，当2旭-1>2

时，分别进行求解即可；

(4)先求出。(3,0)、8(0,3),设河(。,-/+2。+3),N(b,0),利用中点坐标公式列方程组，进行求解即

可.

【详解】(1)解：将点，(T,。)代入y=f2+26x+3得，-1-26+3=0,

解得6=1,

••・抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解：,.,y=-x2+2x+3=+4,

・•・对称轴为x=l,

.•.当x=l时，.y取最大值，最大值为4,

当x=-2时，J；=-（-2-1）2+4=-5,

当-24x43时，二次函数的最大值是4,最小值是-5,

故答案为：4,-5：

（3）解：设c（2加-1,一4加2+8加），

当2m-1<0,即〃，（,时，

2

.-.3-（-4"/+8机）=3,

解得叫=0,m2=2（舍），

当0<2m-1<1时，则一（加<1,

2

•••—4m2+8m—3=3,

A=ft2-4ac=64-4x4x6=-32<0，

方程无解，

3

当1<2m一1<2时，贝口<加<5，

-4m2+8加一3=3,

△=/—4QC=64—4X4X6=—32<0,

3

当2加一1>2时，则机〉一，

2

4-（-4m2+8加）=3,

解得/=^^+1,m2--^-+1（舍），

1222

综上所述，加=0或加=2+百；

2

（4）解：••・抛物线对称轴为x=T,4-1,0）,

,红3]

2，

・•・XD=3,

.•・。（3,0）,

当x=0时，歹=3,

・•・5（0,3）,

设Af(q,—/+2Q+3),N(b,O),如图,

0+Q=6+3

3—/+2a+3=0+0

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的图象与性质、

平行四边形的性质及中点坐标公式，用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

41经典例题二由二次函数解一元二次方程】

1、（2023秋・山东淄博•九年级校考期末）己知二次函数y="x+左（a,k,均为常数）的图象与x轴

的交点的横坐标分别为-2和5,则关于x的一元二次方程。（x+左+2）2+6=0的两个实数根分别是（）

A.X]=-4,%=3B.匹=3,X?=7C.=0,x?=7D.=0,%=3

【答案】A

【分析】设二次函数必=a（x+左+2『+3根据二次函数的平移规律可得了向左平移2个单位长度得到必，即

可得出必与x轴的交点横坐标，即可进行解答.

【详解】解：设二次函数必=。卜+左+2『+力，

y-a^x+ky+h,

■■■y向左平移2个单位长度得到必，

・••二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为-2和5,

二二次函数必的图象与x轴的交点的横坐标分别为-4和3,

・•・一元二次方程«(X+^+2)2+A=0的两个实数根分别是再=-4,%=3,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次

函数的平移规律'左加右减，上加下减”，以及二次函数与x轴交点的横坐标的值等于所对应一元二次方程的

根.

2.(2022秋・湖北武汉•九年级湖北省水果湖第一中学校考期中)抛物线了=。/+/+。的图象经过点

4(-1,0),5(3,0),则关于x的一元二次方程a(x-l>+c=6-云的解是()

A.石=0,x2=4B.再=-2,x2=2C.占=0,x2=2D.西=一2,x2=4

【答案】A

【分析】由抛物线歹=尔+及+。经过点4(-1,0),8(3,0)两点可得，方程办2+队+C=0的解为一1或3,整

理a(x—iy+c=6—乐可得Q(X—l)2+b(x—l)+c=0,进而得至Ijx—1=—1或3,求出x的值即可的解.

【详解】解：由题意可知，抛物线y=a、2+bx+c与x轴的交点为/、8两点，

・,・方程ax2++c=0的解为-1或3,

整理关于x的一元二次方程a(x-+c=b-bx可得，

—I)?+b(x-1)+c=0,

x—1=—1或3,

解得芭=0，%=4,

故选A.

【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将a(x-l)2+c=b-及变形为

〃(x-1)2+b(x-1)+。=0后得至|Jx—1=—1或3.

3.(2023・吉林长春・统考一模)在平面直角坐标系中，抛物线>=办2一4"—1经过点(2,7).若关于x的一元

二次方程如2一4办-1-/=0”为实数)在g<x<4的范围内有实数根，贝V的取值范围为.

【答案】-1<?<7

【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程a--4ax-lT=0的实数根可以看作

了="2-4办-1与函数y=，的有交点，结合图象，在g<X<4的范围确定y的取值范围即可求解.

［详解】•••抛物线y=ax2-4ax-1经过点（2,7）,

7—4a—8〃—1,

解得：a=-2,

••・抛物线解析式为y=—2x2+8x—1.

一元二次方程一_4QX_1T=0的实数根可以看作""2_4办-1与函数y=，的有交点，如图，

•••方程在;<x<4的范围内有实数根，即函数了=，的图象在g<x<4的范围内与了="2-4"-1的图象有交

点，

-1<E«7.

故答案为：

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，

从而借助数形结合解题是关键.

4.（2023・湖北黄石•统考一模）阅读材料：

YYlri

材料1.已知实数机、〃满足用2_机_1=0,1-1=0且机。，求1的值.

nm

解：由题意知冽、〃是方程/一1_1=0的两个不相等的实数根，得加+〃=1,mn=-\

.mn_m12+n2_(m+H)2-2mn_1+2_

nmmnmn-1

材料2.如图，函数y=2/+x-2的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当x=0时，^=-2<0；当x=l

时，y=l>0.可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间.

所以方程2/+x-2=0的一个根为所在的范围是0〈再<1.

(1)已知实数加、〃满足2/—2加一1=0,2n2—2n—l=09且加。几，求—I■—的值.

mn

(2)已知实数小q满足，p2=3p+2,2q2+3q=l,且pq#1,求丝土女里的值.

P

(3)若关于x的一元二次方程2/+〃a-4=0的一个根大于2,另一个根小于2,求加的取值范围.

【答案】(1)-2

⑵-1

(3)m<-2

【分析】(1)仿照材料1的方法，利用一元二次方程根与系数的关系进行即可；

23

(2)由/=3p+2变形得不+—-1=0,仿照材料1的方法，利用一元二次方程根与系数的关系进行即可

PP

(3)考虑二次函数歹=2一+加］一4,由题意知当％=2时，y<0,即可求得冽的取值范围.

【详解】⑴解：由题意知冽、〃是方程2/_2x-1=0的两实数解，

••冽+〃=1,mn=,

2

11m+n1小

—+—=----=—=-2

mnmn_J_;

~2

23

(2)解：由p2=32+2,得不+——1=0,

PP

由2q2+32=1,得2q?+3q—1=0,且pq。1

则,与9为方程2/+3x-1=0的两实数解，

P

13

・•・一+乌=一彳，

P2

pq+2p+l1―c3“1

pp22

(3)解：•・•一元二次方程2/+加％—4=0的一个根大于2,另一个根小于2,

•••令y-2x2+mx-4,

・•.当％=2时，y=2x22+2m-4<0,

解得，m<-2.

【点睛】本题是材料问题，考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解不

等式，求代数式的值等知识，理解题中材料解决问题的方法是问题的关键.

41经典例题三由二次函数的图象求不等式的解集】

1、(2022•内蒙古呼和浩特•校考一模)已知关于x的一元二次方程G2+bx+c=0的一个根为-1,二次函数

»="2+云+。的图象的顶点坐标为(1,4),则关于x的不等式加+c>(2-b)x-l的解为()

A.x<-l或x>3B.尤<-2或x>2C.-l<x<3D.-2<x<2

【答案】D

2

【分析】首先设抛物线的表达式为：y=a(X-hy+k=a(x-\)+4,把x=-l代入，即可求得抛物线的表达式,

再由不等式得分+bx+c>2x-l,联立y=-『+2x+3和y=2x-l并解得》=±2,根据函数图象即可求得.

22

【详解】解:设抛物线的表达式为：y=a(X-h)+k=a(X-l)+4,

由题意知，当x=-l时，0解得：a=-l,

故抛物线的表达式为：y=-(^-l)2+4=-x2+2x+3,

将不等式ax2+c>(2-b)x-1整理为：ax1+bx+c>2x-\,

联立V=--+2x+3和J=2x-l并解得：x=±2,

故-2<x<2时，函数了在之上，即分2+bx+c>2x-l,

故选：D.

【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（（组））和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图

象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解.

2.（2023•山东东营•统考一模）如图，抛物线y=a/+6x+c和直线歹=h+6都经过点（-1,0）,抛物线的对称

轴为x=l,那么下列说法正确的是（）

A.ac>0B.b1-Aac<0

C.k=2a+cD.x=4是不等式办2+6x+c<丘+6的解

【答案】D

【分析】由图象可得信息。<0,c>0,A>0,k>0,直接可以判断A和B是错误的；由y=ax2+fcv+c

和直线广h+b都经过点（TO）,得到6=左，"6+c=0,可以判断C是错误的；由对称轴为x=l,k=-2a,

13

当尤=4时，ax2+{b—k^x+c=——k,可以判断D正确；

【详解】解：由图象可知〃<0,c〉0,

/.ac<Q,故A错误；

由图象得知抛物线与x轴有两个不同的交点，

.•.△>0,故B错误；

・•・y="2+袅+。过点（-1,0）,

•••Q—b+c=0,

••・尸奴+6过点（一1,0）,

b—k,

：.k=a+c,故C错误；

•・・对称轴为x=l,

・-2=i

2a'

b=-2a,

**•k——2。，

：.k=b=-2a=a+c,

•*•c——3a,

当x=4时,ax2+(6—k)x+c=16a+c=13a—13x1——kI——3k

由图象可知，k>0,

---k<k,gpax2+(b-k^x+c<b-

故D正确;

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象；熟悉二次函数图象的特点，能够通过图象直接获取信息，结合题中给

出条件进行推断.

3.Q023•上海普陀•统考二模）抛物线>=«?+云+。开口向上，且过下列结论中正确的是

（填序号即可）.

①若抛物线过（3,0）,则b+2a=0；

②若b=-4a,贝!|不等式办+6x+c<c的解为0<x<5；

③若3a<c,M（X],%）、N（%,%）为抛物线上两点，则一2<X2<X]时外>%；

④若抛物线过（见0）,且加>3,则抛物线的顶点一定在^=-4。的下方.

【答案】①③④

【分析】①由抛物线过（-1,0）和（3,0）,则对称轴为直线x=l,故-，=1,6=-2。，①对;②由6=-4a得，

2a

抛物线对称轴为直线x=2,抛物线过（O,c）和（4,c）,由图象得不等式++6x+c<c的解为0<x<4,②错;

③设抛物线与x轴的另一个交点为（当，。），由为<c得（>3,-1-X3>3,得X3<-3,则对称轴在直线X=-2

（/\2、

加一1—CL（加+1）

左边，由-2<%<占，可得以>%，③对;④由>=a（x+l）（xT"）得顶点坐标为—*—,由加>3

得，P,④对；

4

【详解】解：•・・抛物线经过（TO）和（3,0）,

二抛物线对称轴为直线X=三士=1,

2a

b=-2a,即b+2。=0,故①正确；

•・•b=-4a,

••・抛物线对称轴为直线无=-二b=-=—4吗(2=2,

2a2a

抛物线经过(O,c)和(4,c),

,•,抛物线开口向上，

.•.当0<x<4时，抛物线的函数图象在直线y=c的函数图象下方，即止匕时办+6X+CVC,故②错误;

设抛物线与x轴的另一个交点为(9，0)，

••・抛物线开口向上，

•••Q〉0,

3。<。，

.-.->3,

a

x3<-3,

・•・抛物线对称轴在直线x=-2左边，

,,,一2〈<匹，

•••%>%，故③正确；

•••抛物线经过(丸0),(-1,0),

YY)—1

••・抛物线对称轴为直线X=气」，抛物线解析式为y=a(X+1)(x-加),

(/\2、

p一,m-\-a(m+l)

・•・顶点坐标为”一，---------，

,/m>3,

/.m+1>4,

.-(m+1)2

,,--------<—4，

4

-aim+1),

---------------<—4Q，

4

抛物线的顶点一定在了=-4”的下方，

故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关

键.

4.（2023・广东深圳•深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：

x~—2x—3<0.

解：设犬-2x—3=0,解得：X]=-1,x2=3,

则抛物线产，-2x-3与x轴的交点坐标为（-1,0）和（3,0）.

画出二次函数j=x?-2x-3的大致图象（如图所示）.

由图象可知：当-l<x<3时函数图象位于x轴下方，

此时"0,HPX2-2X-3<0.

所以一元二次不等式/一2X-3<0的解集为：-l<x<3.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和（只填序号）

①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.

（2）用类似的方法解一元二次不等式：-无2+2X>0.

（3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数>=-仁-1乂国-3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下,

请补充完整：

①自变量x的取值范围是；x与y的几组对应值如表，其中加=.

X4-3-2-101234

y50-3m-3010-3

②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整.

③结合函数图象，解决下列问题：

解不等式：-3W-（X-D（|X|-3）W0

V八

-5-4-3-2-1O

-1

-2

【答案】⑴①，③

(2)0cx<2

（3）①全体实数；一4；②见解析；③-3WxW-2或OWxVl或34x44

【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；

（2）依照例题，先求得-Y+2x=0的解，再画出y=-必+2》的草图，观察图象即可求解；

（3）①当x=-l时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解.

【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；

故答案为：①，③

（2）解：-x2+2x>0，

^-X2+2X=0,解得：为=0,X,=2,

则抛物线y=-f+2x与X轴的交点坐标为（0,0）和（2,0）.

画出二次函数y=-，+2x的大致图象（如图所示）.

由图象可知：当0<x<2时函数图象位于x轴上方，

止匕时歹>0,即一无2+2X>0.

所以一元二次不等式-X2+2X>0的解集为：0<x<2；

(3)解：①自变量x的取值范围是全体实数；

当x=_］时，y=-(x-l)(|x|-3)=-(-1-1)(|-1|-3)=-4,即优=一4

列表；

X-4-3-2-101234

y50-3-4-3010-3

故答案为：全体实数；-4；

②描点,连线,函数尸-(X-1乂国-3)图象如图:

■>

x

③由图象可知；由图象可知：当-3WxW-2或0<x<l或3WxW4时函数y=-(x-D(国-3)的图象位于-3

与0之间，此时一3”W0,即一3W-(x-l)(W-3)W0.

一元二次不等式-3忘-(》-1乂卜|-3户0的解集为：-3忘工忘-2或0工无工1或3"44.

故答案为：-3<x<-2或OVxVl或3VxW4.

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅

读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键.

A【经典例题四抛物线交点问题的综合】

1.(2023秋•湖北武汉•九年级校考阶段练习)已知函数>=(加-2)/+2工+1与x轴有交点，则机的取值范

围是()

A.m<3B.m>3C.冽«3且加w2D.m<3

【答案】C

【分析】利用二次函数的定义和判别式的意义得到加-2w0且A=2?-4(加-2)20,然后求出两个不等式的

公共部分即可.

【详解】解：根据题意得，”-220且A=2?-4(机一2)20,

解得加W3且加。2.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数了="2+云+4。♦0),抛物线与x轴交点

个数由△决定A=/-4M>0时，抛物线与x轴有2个交点A="_4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点

△=62-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

2.(2022春・湖南益阳•九年级校考自主招生)二次函数y=/+6x+c的图象与x轴的两个交点为(-1,0)与

(2,0),函数产衰+\+c+d的图象与x轴的两个交点为Q0)与(A0),若。<-1,则()

A.d>0,夕<2B.d>0,P>1C.d<0,夕<2D.d<0,£>2

【答案】D

【分析】由交点式二次函数关系可求得J=x2+6x+c+d=x2-x-2+4,进而可求得a=l-£,d=a/3-2,

结合a<T,可求解.

【详解】解：，•・二次函数了=f+6无+c的图象与x轴的两个交点为(T,。)与(2,0),

・•・歹=0+1)0-2)

=x2-x-2，

y=x2+bx+c+d

=x—%—2+d,

•.・函数y=ff_2+d的图象与X轴的两个交点为(a,0)与(夕,0),

:.y=j^-x-2+d=(x-a)(x-fi)=x2-(a+P)x+a[3,

-1,a/3=d—2,即cc=\—/3,d=cc/3—2

,/a<-l,

">2,

a/3<0,

:.d<0,

故选：D.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据抛物线与x轴的交点求解函数关系式是解题的关键.

3.（2023春・广东深圳•九年级深圳中学校考自主招生）若抛物线》=/+（20+1b+2“+：的图象与x轴仅一

个交点，贝。4一/一0+io。的值为.

【答案】101

【分析】由抛物线>=/+（20+1）》+20+：的图象与x轴仅一个交点，可得尤2+（2。+1"+2。+：=0,贝

222

A=（2a+l）-4xlx^2a+|^=4（a-a-l）=0,解得：a-a=l,然后根据

--/—q+100=/—。）_。+IOO=d—+100,‘十算角军即nJ.

【详解】解：••・抛物线尸/+（2°+1"+20+：的图象与x轴仅一个交点，

/.%2+（2a+1）x+2a+—=0,

.•.△=（2a+l）2-4xlx^2a+|^|=4（a2-a-l）=0,

解得：a2-a=1>

<74-<7,-u+100=a~（矿-a）-。+100=cr-a+100=1+100=101,

故答案为：101.

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，一元二次方程根的判别式，代数式求值.解题的关

键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

4.（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级统考阶段练习）已知关于x的二次函数夕=/^2-（〃?+2口+2（加W0）.

（1）求证：此抛物线与x轴总有交点；

（2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，加是正整数，求加的值.

【答案】（1）见解析

(2)1

【分析】（1）令y=o,使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中判别式△的值，即可证明结论；

（2）令>=o,使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个

交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数%的值.

【详解】（1）证明：

A=(机+2)2-4mx2=机？+4机+4—8m=(m—2)2>0.

・•・此抛物线与x轴总有交点；

(2)解：令》=0,贝|(x-l)(mx—2)=0,

所以工-1=0或加X-2=0,

2

解得石=1,工2=一，

m

因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，加是正整数

所以m为1.

【点睛】本题考查的是抛物线与％轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标.

41经典例题五根据二次函数图象确定相应方程根的情况】

1.(2023秋・北京•九年级北京市陈经纶中学校考阶段练习)二次函数+6x+c的图象如图所示，下列

说法正确的个数有()

①a+b+c>0②a6>0

(3)b+2a=0④方程ox?+6x+c=5有两个不相等的实数根.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】特殊点判断①；抛物线的开口方向，对称轴，判断②和③；图象法判断④.

【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向上，

-,-a>0,

图象与x轴的两个交点坐标为(TO),(3,0),

・••对称轴为直线x=l,

2a

・•.b=-2a<0,

.■.ab<0,2a+b=0;故②错误，故③正确；

当x=l时，y=a+b+c<0,故①错误：

如图，y=+6x+c与直线》=5有两个交点,

二方程办?+6x+c=5有两个不相等的实数根，故④正确；

综上，正确的是③④，共2个；

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，

是解题的关键.

2.（2023秋・浙江台州•九年级校考阶段练习）已知二次函数>="2+云+4。70）的图象经过（-1.5,0）与

（2.5,0）两点，关于x的一元二次方程办2+瓜+。=。5<0）有两个不同的实数根，其中一个根是

x=加（加<-1.5）.如果关于x的方程ax2+bx+c^q（q>0）有两个不同的整数根，则这两个整数根可能是

（）

A.无i=-l,%2=0B..»1=0,x,=2C.X]=-l,x,=2D.xl=-2,

x2=3

【答案】c

【分析】根据题意可得，抛物线开口向下，对称轴为X=g,则关于x的方程G2+6x+c=4（q>0）的两个根

必须在-1.5和2.5之间，两根且和为1,求解即可.

【详解】解：二次函数昨以2+法+°（"0）的图象经过（T.5,0）与（2.5,0）两点,

抛物线的对称轴为无=;,

关于的一元二次方程以2+/+。=。（0<0）有两个不同的实数根，其中一个根是x=m（加<-1.5）

m<-1.5,2<0

可得，在对称轴的左侧，y随工的增大而增大，即抛物线开口向下，

x=0,y=c>0

于X的方程ax2+bx+c=q（q>Q）有两个不同的整数根，

可得两个整数根在-L5和2.5之间，且和为1,

结合选项，只有C选项符合，

故选：C

【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二

次函数的有关性质.

3.（2023秋・天津河西•九年级校考阶段练习）已知关于x的方程2x2-3x+加=0的一个根大于_2且小于,

另一个根大于2且小于3,则m的取值范围是.

【答案】-9<m<-5

【分析】根据抛物线与x轴交点关系，结合不等式的性质求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

方程2/-3x+m=0的两个根满足：—2<西<-1,2<x2<3,

ry=2x?-3x+/w抛物线开口向上，

33

・•.x<W时V随x增大而减小，x>a时夕随x增大而增大，

8+6+m>0

2+3+机<0

8-6+m<0'

18-9+别>0

-9<m<-5,

故答案为：—9<m<—5；

【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是将根转换成函数与x轴交点问题结合函数

性质列不等式.

4.（2023秋•内蒙古呼和浩特•九年级校联考阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数歹=，-2国-3的图像和

性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：

(1)自变量X的取值范围是全体实数，X与y的几组对应值如下:

_55

X-3-2-10123

~22

_7_7

y0m-3-30

~4-4-4~4

其中，冽=;

(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象

的另一部分；

(3)观察函数图象，写出两条函数图象的性质；

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程无2一2恸-3=0有个实数根；

②函数图象与直线夕=-3轴有个交点，所以对应的方程--2国-3=-3有个实数根;

③关于x的方程*-2国-3=a有4个实数根时，a的取值范围是；

④不等式X2-2|X|>3的解集是.

【答案】⑴-3

(2)见解析

⑶①函数图像关于y轴对称，②当x>l时，y随x的增大而增大.

(4)(J?)2；2；(2)3,3；(3)—4<tz<—3；3或x>3

【分析】(1)把x=-2代入函数解释式即可得加的值；

(2)描点、连线即可得到函数的图像；

(3)根据函数图像得到函数》=-—2国-3的图像关于夕轴对称；当x>l时，y随x的增大而增大;

(4)①根据函数图像与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据-2忖-3的图像与直线尸-3的交

点个数，即可得到结论；③根据函数的图像即可得到。的取值范围.④由图象可知，当x<-3或x>3时,

y>0,即可得到答案.

【详解】(1)当x=-2时，y=(-2)2-2x|-2|-3=-3,

m=—3,

故答案为：-3.

(2)根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示：

(3)观察函数图像，可得出：①函数图像关于夕轴对称，②当尤>1时，了随x的增大而增大.

(4)①观察函数图像可知：当》=-3、3时，y=0,

;该函数图像与x轴有2个交点,

即对应的方程了=/-2国-3有2个实数根.

故答案为:2；2.

②观察函数图像可知：函数y=/-2|x|-3的图像与>=-3只有3个交点，所以对应的方程--2国-3=-3

有3个实数根；

故答案为：3,3.

③观察图像可知：关于x的方程，-2忖-3=。有4个实数根时，。的取值范围是-4<。<-3.

故答案为：-4<a<-3.

④由图象可知,当尤<一3或x>3时，y>0,则f-2国一3>0,即一一2国>3,

二不等式一一2同＞3的解集是》＜一3或x＞3.

【点睛】本题为函数图像探究题，考查了根据函数图像判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决

方程、不等式问题.

j［经典例题六求x轴与抛物线的截线长】

1.（2023•广东梅州・统考一模）已知抛物线y=与一次函数了=2x+6交于48两点，则线段的长

度为（）

A.2072B.2073C.4073D.20

【答案】A

【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到9/一2工-6=（）,利用根与系数的关系，再运用两点距离公

4

式变形求出长度即可得到答案.

【详解】解：•.・抛物线y=与一次函数y=2x+6交于48两点，

［12

y—__x］

联立厂4,消元得二，一2工-6=0,

c「

y=2x+64

x{+x2=8,x1x2=-24,

二.=为一乃『

-"）+［（2再+6）_（2%2+6）］

，（占一%）2+（2玉一2工2）2

=20无

故选：A

【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关

系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公

式是解决问题的关键.

2.（2023秋・全国•九年级专题练习）已知二次函数y=a无?+4尤+1（。＞0）的图像与x轴分别交于/、2两点,

图像的顶点为C,若NACB=90°,则a的值为（）

A.3B.2&C.2D.V2

【答案】A

【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得的长，且求得顶点C的坐标，根据抛物线的对称性,

A48c是等腰直角三角形，则顶点C到x轴的距离等于48的一半，即可求得。的值.

(详解】令y=#+4x+1=0,

hjz/日一2+"V4-ci-2一■y4—a/八

解得：X[=--------------，X=------------------(0<fl<4),

a2a

M.I.-2+14—a—2—J4—a2J4——

KOA.B—Xy—%2----------------------------------------------，

aaa

2“I(2丫4-a

•••y=ax+4x+1=ax+—-----，

Ia)a

••・顶点c的坐标为1-2,-j],

VaaJ

■-A,8两点关于抛物线的对称轴对称，且//C2=90。,

・•.A48c是等腰直角三角形，

二顶点C到无轴的距离等于AB的一半，

解得：a=3或a=4（舍去）,

经检验是方程的解且符合题意,

即a=3.

故选:A.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质等知识,

根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半建立方程是解题的关键.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，平移抛物线了="2+弧+°,使顶点在线段48