中考数学专项复习：图形规律问题

专题2.2图形规律问题

典例精析

【典例1】国庆节期间，人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽

被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…,

以此类推.请观察图形规律，解答下列问题：

(1)第10层有个盆栽，前5层共有个盆栽；

(2)观察图计算1+3+5+7+-+17=；

(3)拓展应用：求51+53+55+…+2023的值.

【思路点拨】

(1)后面一层比前面一层多2个盆栽，结合图形，根据规律可求出其值；

(2)图形刚好构成正方形的面积，求面积即可；

(3)先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和,再求它们的差即可.

【解题过程】

(1)解：根据题意可得，2x(10—1)+1=19,

13第10层有19个盆栽，

5x5=25,

团前5层共有25个盆栽，

故答案为：19；25.

(2)解：观察图形可得，第9层盆栽数量为：2x9—1=17,

01+3+5+7+•••+17=92=81,

故答案为：81.

(3)解：根据题意可得，第1012层盆栽数量为：2x1012—1=2023,

01+3+5+•-■+49+51+53+55+•■■+2023=10122,

第25层盆栽数量为：2x25-1=49,

01+3+5+…+49=252,

051+53+55+•••+2023=(1+3+5+…+51+53+55+…2023)-(1+3+5+■•-+49),

=10122-252=1023519,

051+53+55+•••+2023的值为1023519.

学霸必刷

1.（2022秋•江苏•七年级期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图

…按此规律第6个图形中共有点的个数是（）

61D.64

2.（2022秋•浙江•七年级阶段练习）如图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3

个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0,1,2）上；先让原点与圆周上。所对应的点重合，再

将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,...

所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.若数轴绕过圆周99圈后,

数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是（）

A.297B.298C.299D.300

3.（2023春・全国•七年级开学考试）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左

A.2020B.2021C.2022D.2023

4.（2022秋・湖南•七年级期末）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由

1个正方形组成，共用的木条根数y=4,第二个图案由4个正方形组成，共用的木条根数邑=12,第三个

图案由9个正方形组成，共用的木条根数$3=24,以此类推…那么第100个图案共用的木条根数0仞为（）

□

图1

A.19600B.20400C.20200D.20000

5.（2023秋•贵州毕节•七年级校联考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点4、C同时沿正

方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行.若甲的速度是乙的速度的3倍，则

它们第2022次相遇在边（）上.

C.ABD.BC

6.（2022秋•湖南娄底•七年级统考期中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第42个图中小圆点

的个数为

n=ln=2n=3n=4

7.（2023秋・全国•七年级课堂例题）观察并找出如图图形变化的规律，则第2025个图形中黑色正方形的数

量是个.

1=18=181=1811=18181=

(1)(2)(3)C4)(5)

8.（2022秋•浙江杭州•七年级期末）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为CI3,第（2）

个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a“依此类推，由正〃边形“扩展”而来的多边形的边数记为

a（n>3）,当工+上+工+…+工的结果是9时，〃的值为

‘‘a3a4a5%2022

(1)

9.（2022秋•全国•七年级期中）正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为

第一列第二列第三列第四列

第一行12510

I4141

第二行4———3611

I1

▼

第三行9««-——8———712

I

第四行16———15一——14———13

10.（2023•全国•七年级假期作业）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

图1图2图3图4

（1）图5有多少颗黑色棋子？

（2）若第5+2）个图形比第"个图形中多2021颗棋子，试求〃的值.

11.（2022秋•安徽合肥•七年级校联考期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小

正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的.

（1）根据规律，第4个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个.

（2）第n个图形中，白色小正方形共有个.（用含n的式子表示，ri为正整数）

（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出门的值；如果不可能，请说明理

由.

12.（2023秋•安徽六安•七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭图形.

（1）按图示规律完成下表:

图形12345

火柴棒根数

5913—

（2）按照这种方式搭下去，搭第〃个图形需要根火柴棒.（用含"的代数式表示）

（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第

几个图形？如果不可能，请说明理由.

13.（2022秋・安徽滁州•七年级校考阶段练习）以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白

色等边三角形排列而成，观察图案，如图1,当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2,当正方形有2个

时，等边三角形有7个；以此类推……

部有M趣r

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

（1）第5个图案中正方形有个，等边三角形有个.

（2）第九个图案中正方形有个，等边三角形有个.

（3）若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？

14.（2023秋・安徽合肥•七年级统考期末）下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的.观察

图形.回答下列问题:

।rm11ir

③④

(1)按上述规律排列，第□幅图中，图形的周长为；

(2)按上述规律排列，第〃幅图中.图形的周长为;

(3)按上述规律排列，是否存在第〃幅图形的周长为60,请说明理由.

15.(2023春•四川成都•七年级成都外国语学校校考开学考试)某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种

摆放方式:

第一种

(1)有4张桌子，用第一种摆设方式，可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？

(2)用含有〃的代数式表示：有〃张桌子，用第一种摆设方式可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少

人？

(3)一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大

桌子.若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由.

16.(2023・全国•七年级假期作业)如图，某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径

为1cm,按这种连接方式，完成下面各题.

2节”节

（1）2节链条的总长度为cm；3节链条的总长度为cm；4节链条的总长度为cm；

（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）

（3）一根链条的总长度能否为73cm?若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由.

17.（2022秋・全国•七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规

律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是一，第〃项是「

（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式.请观察下图，用二算

法推导出1+3、1+3+5、1+3+5+7的计算结果，猜测1+3+5+7++（2«—1）的计算结果；

（3）由（2）推导出2+4+6++2"的结果.

18.（2022秋・广西北海•七年级统考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三

角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.

图1

【观察思考】

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：

图2

（1）当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有块（如图3）；

（2）以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；

（3）【规律总结】若一条这样的人行道一共有71（71为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块

数为（用含n的代数式表示）.

（4）【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多

少块？

19.（2023春•四川自贡•七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）用火柴棒按图中的方式搭图形:

m①②③

(1)按图示规律填空:

图形编号①②③④⑤

火柴棒根数712

(2)按照这种方式搭下去，请写出搭第几个图形需要的火柴根数;

(3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生多少个

正方形？

20.(2022秋・北京通州•七年级统考期末)现有一个长方形4BCD的宽为1,长为a(a>l)的纸片，先剪去

一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此

类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）

剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值.

备用图备用图备用图备用图

21.（2022秋•安徽滁州•七年级校考阶段练习）图□是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最

上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了〃层，将图□倒置后与原图拼成图1所示

的形状，这样我们可以算出图□中所有圆圈的个数为1+2+3+…+几=血及，如果图□-□中各有11层.

2

第1层

第2层■III•••・•・