中考数学复习：勾股定理中的最短路线与翻折问题 专项训练

专题2.3勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练

勾股定理中的最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下:

BF

展开L一一十一I

ADE

丙

圆柱长方体

阶梯问题将军饮马问题

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾

股定理求解。

题型1.圆柱有关的最短路径问题

【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最

短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需

要用底面圆周长的一半进行计算。

要点总结：

1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算；

2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。

例1.（2022•山东青岛•八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫从下底点

N处爬到上底8处再回到/处，则小虫所爬的最短路径长是（）（左取3）

B.40cmC.30cmD.20cm

【答案】A

【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股

定理就可以求出其值.

【详解】解：展开圆柱的侧面如图，

根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.

由题意，得40=3x16+2=24,

在用A48C中，由勾股定理，得

AB=y/AC2+BC2=V242+182=30cm.

,•,一只小虫从下底点/处爬到上底3处再回到/处，

二最短路径长为60cm.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用.在解答时将圆

柱的侧面展开是关键.

24

变式1.（2022•吉林长春•八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径N8=—cm,高8C=10cm,在

71

8c的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可.

【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：

AB

底面周长=；x%x一=12(cm),BP=3BC=5(cm),

2272

所以4P=,122+52=13（cm）,

故蚂蚁从/点爬到P点的最短距离为13cm,

故答案为：13.

【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解

方法.

4

变式2.（2022•浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为一cm,高为18cm,点/、8分别是圆柱两底面

圆周上的点，且/、8在同一母线上，用一根棉线从/点顺着圆柱侧面绕3圈到8点，则这根棉线的长度

最短为（）

A.24cmB.30cmC.2V21cmD.4^/97cm

【答案】B

【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段

最短解答.

【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从/顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：

AC-CD-DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，/沿着3个长方形的对角

__4__4

线运动到2的路线最短；•.,圆柱底面半径为一cm,.,.长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2兀义一=8cm；

nTC

又,圆柱高为18cm，，小长方形的一条边长是6cm；

根据勾股定理求得/C=CO=D3=10cm；：.AC+CD+DB=30cm；故选：B.

---------

/

A

【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长

方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面

为平面”，用勾股定理解决.

题型2.长方体有关的最短路径问题想

【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短

结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。

要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；

2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。

例2.（2021•陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4,棱2C长为3,棱2厂长为2,P为HG的中点,

一只蚂蚁从点/出发，沿长方体的表面爬行到点P处吃食物，那么它爬行的最短路程是.

I

/B

【答案】5

【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可.

【详解】解：分三种情况：如图1，HP?=（2+3/+2?=29,

如图2,AP2=（2+2）2+32=25,：.AP=5,如图3,AP2=（2+3+4）2+22=85,

■■•25<29<85,它爬行的最短路程为5,故答案为：5.

BC

图3

【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出

是解题关键.

变式L（2022・重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm,高是6cm,如果用一根细线从点

/开始经过4个侧面缠绕一圈到达5,那么用细线最短需要（）

A.12cmB.10cmC.13cmD.11cm

【答案】B

【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理

求出所需结果.

【详解】解：如图，将长方体展开，连接/、B',则44，=1+3+1+3=8（cm）,A'B'=6cm,

根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB'2=AA'2+A（S，2=82+62=102cm,所以NH=10cm.故选：B.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直

角三角形运用勾股定理解决.

变式2.（2022・陕西咸阳•八年级期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱/E上的尸处的蚂蚁想

沿长方体表面爬到容器G处吃糖浆，已知容器长48=5cm,宽4D=4cm,高/£=4cm,AP—1cm,那么蚂

蚁需爬行的最短距离是cm.（结果保留根号）

【答案】V74

【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.

【详解】解：•••/E=4cm,I尸=lcm,•••PE=3cm,如图1,

如图2,.・.PG=ylPF2+FG2=7(3+5)2+42=厢(cm)；

如图3：.PG=J(5+4)2+42=历(cm),

故蚂蚁需爬行的最短距离是Mem.故答案为：V74.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解

答即可.

题型3.阶梯中的最短路径问题

【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。

要点总结：展开一定点一连线一勾股定理

例3.(2021・重庆八年级期末)如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8而、3dm、2dm,/和2是

这个台阶上两个相对的端点，点/处有一只蚂蚁，想到点8处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到

点8的最短路程为dm.

B

A8

【答案】17

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8而，宽为（2+3）x3加，

则蚂蚁沿台阶面爬行到8点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到2点最短路程为x加,

由勾股定理得：X2=82+[（2+3）X3]2=172,解得X=17.故答案为：17.

S

【点睛】本题考查了平面展开一最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和

宽即可解答.

变式1.（2022•山西八年级期末）如图所示，/BCD是长方形地面，长48=20,宽40=10,中间整有一

堵成墙高MV=2,一只蚂蚁从/点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）

A.20B.24C.25D.26

【答案】D

【分析】将题中图案展开后，连接NC,利用勾股定理可得ZC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长

度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求.

【详解】解：展开如图得新矩形，连接/C,则其长度至少增加2儿W,宽度不变，

由止匕可得：48=20+4=24,AD=10

根据勾股定理有：AC=y/AB2+BC2=A/242+102=7676=26D.

【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平

面展开图.

题型4.将军饮马与最短路径问题

【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。

要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾

股定理求解。

例4.（2022•重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm,底面周长为24cm,已知蚂蚁在外壁/处（距杯子上

沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm）,则蚂蚁从/处爬到8处的最短距离为（）

C.20D.1272

【答案】C

分析：将杯子侧面展开，建立《关于斯的对称点©，根据两点之间线段最短可知©8的长度即为所求.

【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作/关于小的对称点4，

连接，氏则，8即为最短距离，A'B=y/A'D2+BD2=7122+162=20（cm）故选C.

点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出“关于郎的对称点

，是解题的关键.

变式1.（2022•山东荷泽•八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的。型池，该。型池可以看作是

一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘

AB=CD=20m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则

他滑行的最短距离约为（）江（兀取3）

A.30B.28C.25D.22

【答案】C

【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于N3的对称点凡连接。R根据半圆的周长求得5C,根

据对称求得C斤=23C,在RfACDE中,勾股定理求得。下.

【详解】其侧面展开图如图：作点C关于的对称点尸，连接。R

,•,中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，

.,-5C=7tT?=2.57t=7.5cm,AB=CD=20cm,CF=2BC=15cm,

在MZiCDF中，DF=y/cF2+CD2=V152+202=25cm,故他滑行的最短距离约为25cm.故选C.

【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键.

变式2.2021•陕西长安•八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高=60cm,水深/E=40cm,

在水面线斯上紧贴内壁G处有一粒食物，且£G=60cm,一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬到水缸内

的G处吃掉食物.（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短

路线，并用箭头标注.（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）.

【答案】（1）见解析；（2）100cm

【分析】（1）做出/关于2C的对称点连接/'G,与BC交于点0,由两点之间线段最短，此时/'G最

短，即/Q+0G最短；（2）/，G为直角A4EG的斜边，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：（1）如下图所示，

作点/关于3c所在直线的对称点⑷，连接⑷G,4G与8c交于点。,

由两点之间线段最短，此时/'G最短，则/Q+QG为最短路线.

(2)AE=40cm,/.AA'=2AB=120cm,A'E=80cm.

在向A/l'EG中，EG=60cm,/'E=80cm,：.A'G=>JA'E2+EG2=100cm.

由对称性可知2。=〃。，NQ+QG=4Q+QG=©G=100cm.故小虫爬行的最短路线长为100cm.

【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出/的对称点再根

据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解.

课后专项训练：

1.（2021•江苏八年级月考）将一根24c加的筷子，置于底面直径为15c加，高8c机的圆柱形水杯中，如图所

示，设筷子露在杯子外面的长度加加，则〃的取值范围是（）

A.h<17cmB.h>8cmC.15cm<h<16cmD.7cm<h<16cm

【答案】D

【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm,则在杯外的最大长度是24-8=16cm；

再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是NC=4西芯=715^=17,则在杯外的最小长度是

24-17=7cm,所以〃的取值范围是7cms后16cm,故选D.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围.主要是根据勾股定理

求出筷子在杯内的最大长度.

2.（2022•河南鹤壁•八年级期末）如图，在一个长为9m,宽为6m的长方形草地上，放着一根长方体木块,

它较长的边和草地的宽平行且长大于4D,木块从正面看是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点/出发

到达点C处需要走的最短路程为（）

A.12mB.Jl57mC.6>f5mD.13m

【答案】B

【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答.

【详解】由题意可知，将木块展开，如图，

长相当于是48+2个正方形的宽，

.•.长为9+2x1=11（加）；宽为6%.

于是最短路径为：762+ll2=V157（m）.

故选B.

【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，掌握勾股定理是解题的关键.

3.（2022•四川乐山•八年级期末）如图，一只蚂蚁从长为4cm,宽为3cm,高为5cm的长方体纸箱的N点

沿纸箱表面爬到2点，那么它所爬行的最短路线的长是（）

A.12cmB.V?4cmC.780cmD.790cm

【答案】B

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.

【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接/、2,根据两点之间线段最短，7（3+4）2+52=V74

如图2所示，J(3+5¥+42=4石cm,

如图3所示,732+(5+4)2=3VTOcm,

••-V74<475<3770,

••・蚂蚁所行的最短路线为V74cm.

【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题.

4.（2022・云南昆明•八年级期末）如图,正方体的棱长为2cm，点3为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬

行，从点A爬到点B的最短路程是（）

A.VlOcmB.4cmC.V17cmD.5cm

【答案】C

【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求

出路径长，

【详解】解:如图,

它运动的最短路程/2=,（2+2）2+（|>=如cm）,故选：c.

【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是

解题的关键.

5.（2021•山东省郸城第一中学八年级阶段练习）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体

纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点8,那么这只昆虫爬行的最短路程为（)

A.3米B.4米C.5米D.6米

【答案】C

【分析】分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可.

【详解】解：由题意，有以下三个路径：

①如图，路径一：

则这只昆虫爬行的路程为J2?+（2+3）2=屈（米）；

②如图，路径二:

则这只昆虫爬行的路程为舟+（2+2）2=5（米）；

③如图，路径三：

则这只昆虫爬行的路程为+（3+2）2=岳（米）；

因为屈＞5,

所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，

故选：c.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键.

6.（2022•江苏•八年级专题练习）如图，有一长、宽、高分别是5cm,4cm,4cm的长方体木块，一只蚂蚁

沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长

为（）

A.V85cmB.761cmC.797cm

【答案】A

【分析】根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：如图，

^=A/（5+4）2+22=V§5cm,

・・.需要爬行的最短路径长为病cm,

故选：A.

【点睛】此题考查最短路径问题，解题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个

平面内，求出最短的线段.

7.（2022•全国•八年级）如图，正方体盒子的棱长为2,"为8c的中点，则一只蚂蚁从N点沿盒子的表面

B.V13

D.V17

【答案】B

【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，蚂蚁沿路线爬行时距离最短；

・••正方体盒子棱长为2,初为3c的中点，

AD=2,MD=3,

••AM=,2"+3"=A/TS，

故选：B.

【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两

点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用.

8.（2022•四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长.宽.高分别为3、2、1的长方

体的/点爬到8点，它爬行的最短路程为（)

A.2亚B.2y/5C.372D.726

【答案】C

【分析】按展开的方式不同，分类讨论，将长方体展开，连接点/、B,再利用勾股定理即可求解.

【详解】按展开的方式不同，分类讨论,

第一种情况：当按下图展开时，

根据勾股定理可得：/台3+(2+1)2=3后;

第二种情况：当按下图展开时，

根据勾股定理可得：AB=#+(2+3)2=后：

第三种情况：当按下图展开时，

根据勾股定理可得：/8=j22+(l+3)2=2退；

■•-3V2<2V5<V26>

•••最短路径为：3也，

故选：c.

【点睛】本题考查了长方体的展开以及勾股定理等知识，将长方体展开，连接线段N2即是蚂蚁爬行

的最短距离，如此得到最短距离是解答本题的关键.

9.（2022•江苏•八年级专题练习）如图是楼梯的一部分，若4D=2,BE=1,AE=3,一只蚂蚁在/处发

现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）

A.75B.3C.屈D.2旧

【答案】D

【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路.将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从4

点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.

【详解】解：将台阶展开，如图，

因为DC=AE+BE=3+1=4,AD=2,

所以

所以AC=2y[5,

故选：D.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是

解题的关键.

10.（2022•安徽宿州•八年级期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从点/出

发，沿棱柱外表面到。点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（)

A.2V29cmB.14cmC.(2A/13+4)cmD.10cm

【答案】D

【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答.

【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：

图1图2

如图1中，AC=>]AB2+BC'2=A/42+102=V116=2A/29>

如图2中，AC=yjAC2+CC'2=A/82+62-10-

,•,10<2A/29，二爬行的最短路径是10cm.故选

【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后

根据勾股定理求解.

11.(2022•成都市八年级专题练习)如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬

到点G,已知23=6,BC=5,CG=3,这只蚂蚁爬行的最短路程是.

Hc

【答案】10

【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确

答案.

【详解】解：由题意，如图1所示，M^G=7（6+5）2+32=7130；

如图2所示，得/G=&+（5+3）2=10,

如图3所示，AG=^（3+6）2+52=V106,...蚂蚁爬行的最短路程是10.故答案为：10.

【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路

程进行比较是解题关键.

12.（2021•江苏八年级期中）如图，矩形/3CD中，AD=3,/3=2.点£是A8的中点，点F是BC边上

的任意一点（不与8、C重合），△EAF沿E尸翻折，点3落在B处，当。9的长度最小时，BF的长度为

【答案］叱何

【分析】先确定当D,B',E共线时，。夕的值最小，再根据勾股定理解题.

【详解】如图，连接。E,

,**DB'2DE—EB'，DE=VAE2+AD2=Vl2+32-VTo,EB'=\,・.DB'>VTo—1,

・•・当。，E共线时，。"的值最小，不妨设此时点皆落在。石上的点5〃处，设BF'=PB"=x,

F'D2=CD2+F'C2^B"D2+B"F'2,22+（3-x）2-（V10-1）'+x2,解得工="即.故答案为：

1+师

【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理（在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的

平方）.解题的关键是确定当。，B',E共线时，。户的值最小.

13.（2022•河南•郑州枫杨外国语学校八年级期末）如图，一大楼的外墙面4DM与地面4BCD垂直，点尸

在墙面上，若尸/=/3=5米，点尸到4D的距离是4米，有一只蚂蚁要从点尸爬到点2,它的最短行程是

【答案】3屈

【分析】可将大楼的墙面/。即与地面/BCD展开，连接尸8,根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解

即可.

【详解】解：如图，过P作尸G18少于G,连接P8,

■-AG=4,AP=AB=5,■-PG=AP2-AG2=3,BG=9,

PB=^GB2+GP2=3V10故这只蚂蚁的最短行程应该是3师故答案为：3A/10

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的

线段长来进行解决.

14.（2022・全国•八年级课时练习）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪

场改造而成的.下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从

一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为1上2m,其边缘AB=CD=24m，点E在CO

7T

上，CE=4m.一名滑雪爱好者从点/滑到点£,他滑行的最短路线长为m.

云顶滑雪场U型池实景图云顶滑雪场U型池示意图

【答案】4扃

【分析】根据题意可得,/。=12加,DE=CD-CE=24-4=20%线段/£即为滑行的最短路线长.在RfzMOE

中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长.

【详解】解：如图，

121

根据题意可知：AD=2%x-x—=12,DE=CD-CE=24-4=20,

712

线段即为滑行的最短路线长.在77A4DE中，根据勾股定理，得

AE=4AD2+DE2=V122+202=4734（加）.故答案为：4734

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾

股定理求最短距离.

15.（2021・新疆伊犁•八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm,高是12cm的长方体纸箱

的/点沿纸箱爬到8点，那么它所行的最短路线的长是cm.

【答案】V193

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可.

【详解】解：如图

图3

•1-V193<V241<V265

它所行的最短路线的长为：V193

故答案为：V193.

【点睛】本题考查平面展开图一最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键.

16.（2022•新疆克拉玛依•八年级期末）如图，正方体的盒子的棱长为2,BC的中点为一只蚂蚁从点M

沿正方体的表面爬到点2蚂蚁爬行的最短距离是

【答案】V13

【分析】根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解.

【详解】解：将正方体展开，连接M、R,

根据两点之间线段最短，

MD=MC+CD=l+2=3,

MD,=yjMD2+DD^=A/32+22=而.

MD、=dMC?+CD：==717,

...最短距离为而，故答案为：V13.

【点睛】本题考查平面展开日最短路径问题，将正方体展开，据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即

可.

17.（2022•广东•常春藤国际学校八年级期中）如图，一个圆柱体的底面周长为24,高BD=5,2C是直

径.一只蚂蚁从点。出发，沿着表面爬到C的最短路程为

【答案】5+—

71

【分析】根据题意，有2条路线，①先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解，②

沿。3-C路线求得路程比①更短，据此即可求解.

【详解】解：将圆柱体展开，连接DC,

圆柱体的底面周长为24,则。E=12,

根据两点之间线段最短,

C£>=^52+122-13.

而走B-D-C时，路程为5H,

71

24

•.-5+—<13,

兀

24

・•・蚂蚁从点。出发，沿着表面爬到C的最短路程为5+一.

71

24

故答案为：5H-----.

71

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答

即可.

18.（2021・无锡市八年级期中）（1）如图1,长方体的底面边长分别为3冽和2冽，高为1冽，在盒子里，可

以放入最长为冽的木棒（2）如图2,在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点4开始经过

4个侧面缠绕一圈到达点C,那么所用细线最短需要m；（3）如图3,长方体的棱长分别为

AB=BC=6cm,44]=14的,假设昆虫甲从盒内顶点G以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱G。向下爬行，同

时昆虫乙从盒内顶点/以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫

甲？

/

图①

【答案】（1）Vu；（2）VioT；（3）昆虫乙至少需要日秒钟才能捕捉到昆虫甲

【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；（2）利用勾股定理求解即可;

（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点/按路径

4EfF,爬行捕捉到昆虫甲需X秒钟，列出方程求解即可.

【详解】（1）最长的为斜对角线：V32+22+l2=714;

（2）这根细线的长为：jF+（3+3+2+2）2:

（3）设昆虫甲从顶点G沿棱GC向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点/按路径/一£一尸，爬行捕捉到昆虫

QC

甲需X秒钟’如图I在皿B中，3）52+（14-2"”。，解得…F

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键.

三角形和矩形中的翻折、旋转问题

解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设

图形中某一未知数为X,将此三角形中的三边长用具体数或含X的代数式表示，再利用勾股定理列出方程,

从而得出要求的线段的长度。

例1.（2022•江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片/BCD沿所折叠，使。点与3c边的中点。重

合.若2C=8,CD=6,则C/的长为.

【答案】|

【分析】设CF=x,在用中利用勾股定理求出x即可解决问题.

【详解】解：是8。的中点，SC=8,CD=6,：.D'C=^BC=4,

由折叠的性质知：DF=D'F,设CF=x,则。/=。尸=。。一CF=6-x,

在Rt^CFD'中，根据勾股定理得：D'F2=CF2+CD'2,

即：（6-X）2=X2+42,解得X=：,=故答案为：j

【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用

方程的去思考问题，属于中考常考题型.

变式1.（2022•重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，CD=3,在CD上存在一点

E,沿直线/£将A/即折叠，。恰好落在2c边上的点尸处，且&/所=6,贝IJANE。的面积是（）.

BC

【答案】B

【分析】根据面积求出8尸、AF,CF,设DE为x,列方程求出即可.

【详解】解：N8CD是长方形纸片，.•.N8=CD=3,

S“FB=；AB-BF，：.6=；x3-BF，；.BF=4,:.AF=dAB?+BF?=5，

：.AF=AD=BC=5,CF=\,设DE为x,EF=DE=x,EC=3-x,

22

x=(3-x)+l,解得，x=：.SMED=^-AD-ED=^-X5X^-=^-,故选：B.

J2236

【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程.

例2.(2021•四川成都市•八年级期末)如图，在长方形纸片/BCD中，AB=4,2C=3,点尸在2c边上,

将△CDP沿。尸折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交48于点G,F,若GE=GB,则。的长为

12

【答案】y

【分析】根据折叠的性质可得出DC=D£、CP=EP,由/EO尸=N3OP、NB=NE、GE=G8可得出4G跖0

△GBP,根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP,设BF=EP=CP=x,贝l|/尸=4-x,BP=3-x=EF,

DF=DE-EF=4-(3-x)=x+l,在用ZkADF中，依据/产+/。2=。产，可得到x的值.

【详解】解：根据折叠可知：ADCP会ADEP,：.DC=DE=4,CP=EP.

AEGF=乙BGP

在4G砂和AGBP中，\GE=GB,:.△OEF乌AOBP(ASA),:.EF=BP,GF=GP,：.BF=EP=CP,

NE=NB

设BF=EP=CP=x,贝lJ/F=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=4-(3-x)=x+l,

VZA=90°,.•.RfAAD尸中，AF^+AD^DF2,

121212

(4-x)2+32=(1+x)2,.\x=—,*.CP=-,故答案为：—.

【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x,选择

适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键.

变式1.（2022•江苏•靖江市靖城中学八年级期中）如图，将矩形48a）沿跖折叠，使顶点C恰好落在48

边的中点C'上.若48=6,BC=9,则AF的长为

【分析】首先求出8C'的长度，设出。尸的长，根据勾股定理列出关于线段CE的方程，解方程求出C户的

长，即可解决问题.

【详解】•••四边形/BCD为矩形，

."=90°；

•・•点C为48的中点，AB=6,

.-.BC'=3；

由题意得：（设为x）,则8/=9-x,

由勾股定理得：

x2=32+（9-x）2,

解得：x=5,

.■■BF=9-5=4.

故答案为4.

【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点

为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键.

例3.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在长方形/8OD中，/8=8,点£为8c上一点，将

AABE沿/£折叠，点8恰好落在线段OE上的点尸处，则2E的长为.

【答案】4

【分析】设3E=x,则CE=10-x,由折叠的性质可知〃尸=8,EF=x,在比A4DE中利用勾股定理表示

出Z)尸，在小△(7/)£t中，利用勾股定理列方程求解X.

【详解】解：设BE=x,贝iJC£=10-x,

由折叠的性质可知，AF=AB=8,EF=BE=x,NAFE=NB=90°.

在必AZDF中，DF=yjAD2-AF2=A/102-82=6>

DE=EF+DF=x+6.

在及△CD£中，CD2+CE2=DE2,BP82+(10-X)2=(X+6)2,

解得x=4.

的长为4.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

变式1.(2022・上海松江•八年级期末)如图，长方形45CD中，BC=5,45=3,点£在边5C上，^ADCE

沿着DE翻折后，点。落在线段4E上的点尸处，那么的长度是.

【分析】由对折先证明。£=。。二3,£）。尸£=90°,£）。£尸=£）。£。,。£二£厂,再利用勾股定理求解4厂，再证明

4E=AD=5,从而求解砂，于是可得答案.

【详解】解：:长方形NBCD中，BC=5,AB=3,

\AD=BC=5,CD=AB=3,DC=90°,AD//BC,

由折叠可得：DE=DC=3QDFE=90。QDEF=€DEC,CE=EF,

\DAFD=90°,AF=^AD2-DF2=4,

QAD〃BC,

\DADE=DCED,

/ADE=/AED,

\AE=AD=5,

\EF=AE-AF=1,

:.CE=\.

故答案为：1

【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解/尸=4,4E=40=5是解本题

的关键.

例4.（2021•成都西川中学八年级期中）如图，在R/A48c中，ZACB=90°,NC=3,8c=4,点E是AB

边上一点.将△CE2沿直线CE折叠到△CER使点2与点尸重合.当C尸，48时，线段E2的长为

【答案】2

【分析】设C尸与N2交于点〃，利用勾股定理求出AB,利用面积法求出Cff,求出HF和设

BE=EF=x,在△"小中利用勾股定理列出方程，解之即可.

【详解】解：设CF与AB交于点H,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,：.AB=^32+42=5,

11ACBCABCH12

XXXX，即3X4=5XCH,:.CH=一,

•'•SAAB^22=^5

8

由折叠可知：CF=CB=4,：.HF=CF-CH=~,

在△2CH中，BH=qBdH。弋,设BE=EF=x,则£77=3-工，

55

在△丽中，EH2+FH2=EF2,+(|)=x2，解得：x=2,：.EB=2,故答案为：2.

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理

列出方程.

变式1.（2021•四川省内江市第六中学九年级）如图，在放A4BC的纸片中，ZC=90°,AC=1,AB=

25.点。在边8c上，以/。为折痕将A/OB折叠得到A/AB',4B'与边BC交于点、E.若△。班，为直角

三角形，则3。的长是.

【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当ADEQ为直角三角形时,

可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长.

【详解】解：在RtAABC中，BC=y)AB2-AC2=^625-49=24,

(1)当NEZW90。时，如图1,过点9作交NC的延长线于点厂，

由折叠得：AB=AB'=25,BD=B'D=CF,设AD=x,则B7)=CF=x,B'F=CD=24-x,

在RtAAFB，中，由勾股定理得：(7+炉+(24-疗=252,

即：X2-17X=0,解得：%=0(舍去)，x?=17,因此，BD=17.

(2)当NDEB=90。时，如图2,此时点E与点。重合，

由折叠得：4B=AB'=25,贝IJHC=25-7=18,设BD=x,贝ljB7)=x,CD=24-x,

在瓦△BQ中，由勾股定理得：(24-X)2+182=X2,解得：x=；,因此BD=?.故答案为：17或7.

444

【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应

用注意分类的原则是不遗漏、不重复.

例5.2022•贵州遵义・八年级期末)在RtZ\/8C中，Z5=90°,AB=8,BC=4,点、E、尸分别是直角边

和斜边/C上的点，把A/BC沿着直线E尸折叠，点A恰好落在5c边的中点。上，则线段BE的长度为

（）

【答案】B

【分析】由折叠的性质可得则DE=8—3E,在RtABDE中,利用勾股定理构建方程求出BE即

可.

【详解】解：由折叠的性质可得

ZB=90°,AB=8,BC=4,点。是2C边的中点，.•.£>£=/£=8—BE,BD==BC=2,

2

,15

22

在出△8OE中，BD+BE-=DE,即2?+防2=（8一5石）-，解得：BE=—,故选：B.

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于3E的方程是解题的关键.

变式1.（2022•北京市第一六一中学八年级期中）如图，RMABC中,/8=90。,/8=4,8。=6,将ANBC折

叠，使点C与48的中点。重合，折痕交/C于点交BC于点、N,则线段CN的长为（）.

10

C.3D.

T

【答案】D

【分析】由折叠的性质可得DN=CN,根据勾股定理可求ON的长，即可得出结果.

【详解】解：,・•£>是/B中点，AB=4,.-.AD=BD=2,

•••将A48C折叠，使点、C与AB的中氤D重合，；.DN=CN,；.BN=BC-CN=6-DN,

在RtADBN中,DN2=BN2