中考数学模型专项突破：阿氏圆最值问题（含答案及解析）

模型介绍

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：

PB=k(k¥l),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数

学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆

模型建立：当点P在一个以。为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示:

1

pA(JArpAAC

易证：△BOPS/^POA,「.万万==方方，，对于圆上任意一点P都有方方—五万—k.

PHrOBPHBC

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位

置选取A、B点，则需QA."=治r=心

r(JB

13【技巧总结】计算K4+鼠P6的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似

三角形

问题：在圆上找一点P使得B4+公尸3的值最小，解决步骤具体如下:

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

②计算出这两条线段的长度比O上P-=左

0B

ocPC

③在OB上取一点C,使得——=k,即构造△P0MS/\B0P,则——=k,PC=k.PB

OPPB

④则/%+左当A、P、C三点共线时可得最小值

例题精讲

【例1].如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,0c半径为2,P为圆上

一动点，连接AP,BP,则AP+工8P的最小值为.

2

A变式训练

【变式17].如图，正方形ABC。的边长为4,08的半径为2,尸为02上的动点，贝|尸。+

【变式1-2].如图，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=4,点E、F分别是边A8、AC的

中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则*PB+PC的最小值为.

A

【变式1-3].如图，在直角坐标系中，以原点。为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点

A,点M的坐标为（6,3）,点N的坐标为（8,0）,点尸在圆上运动.则的

2

最小值是

【例2].如图，在。。中，点A、点8在。。上，ZAOB=90°,。4=6,点C在。A上,

且OC=2AC,点。是08的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值

为

A变式训练

【变式2-1].。。半径为2,AB,为两条直线.作。CLA8于C,且C为AO中点，P

为圆上一个动点.求2PC+PE的最小值.

【变式2-2].如图，在扇形0c。中，/COD=90°,0c=3,点A在。。上，A£>=1,点

B为0C的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是.

【变式2-3].如图，等边AABC的边长6,内切圆记为。。，尸是。。上一动点，贝U2P8+PC

的最小值为

A

1.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆。，尸为圆。上一动点，则&E4+P8的最小

值为.

2.如图，扇形A08中，ZAOB=90°,0A=6,C是。4的中点，。是上一点，OD=

5,尸是第上一动点，则PC+工尸。的最小值为

2

3.如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC,2。为切线，AC=1,BD=2,P为弧AB上一

动点，则返PC+尸。的最小值为.

D

4.在RtZXAQB中，ZAOB=90°,OA=8,08=10,以。为圆心，4为半径作圆O,交两

边于点C,D,尸为劣弧CD上一动点，则.出+PB最小值为

2

B

5.如图，在边长为6的正方形ABC。中，〃为AB上一点，且BM=2,N为边BC上一动

点，连接MN,点B关于对称,对应点为P,连接E4,PC,则出+2PC的最小值为.

6.如图，矩形4BCZ）中，AB=2,4。=4,M点是8C的中点，A为圆心，AB为半径的圆

交AD于点E.点尸在前上运动，则的最小值为

2

7.如图，在△ABC中，NA=90°,A8=3,AC=4,。为AC的中点，以A为圆心，AD

为半径作0A交AB于点E,P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC,则PC+工PB的最小

3

值为

8.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P是△AOB

外部的第一象限内一动点，且/3B4=135°,则2PD+PC的最小值是.

9.如图，在RtZXAOB中，ZAOB=90°,0A=3,0B=2,OO的半径为1,M为。。上

一动点，求4加+工3用的最小值.

10.问题提出：如图1,在等边△ABC中，AB=12,OC半径为6,尸为圆上一动点，连接

AP,BP,求AP+LBP的最小值.

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在C8

上取点D使C£>=3,则有型=生=」，又,：ZPCD=/BCP,：./\PCD^/\BCP,

CPCB2

.•.西=工，:.PD=LBP,:.AP+^BP=AP+PD.

BP222

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+工BP的最小值为

2

(2)自主探索：如图3,矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P为矩形内部一点，且尸8=3,

^AP+PC的最小值为

3

(3)拓展延伸：如图4,扇形CO。中，。为圆心，NCOD=120°,0c=4,04=2,

08=3,点P是加上一点，求2B1+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.

B''C0

图3图4

11.(1)如图1,已知正方形ABC。的边长为6,圆8的半径为3,点P是圆B上的一个动

点，则PQ+」PC的最小值为，的最大值为

22

(2)如图2,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60°,圆B的半径为2,点尸是圆8

上的一个动点，求PD+」PC的最小值，以及的最大值.

22

12.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合坦=左(左＞0且人/1)的点P会组成一个圆.这个

PB

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在X轴，y轴上分别有点C(〃z,0),D(0,n),

点尸是平面内一动点，且。尸=r,设空=4，求PC+女尸。的最小值.

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在OD上取点使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：证明枕。=尸加；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程(部分)：

解：在OD上取点M,使得OAf：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,:.丛POMs^DOP.

任务：

(1)将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,。为△ABC内一动点,

满足cz)=2,利用(1)中的结论，请直接写出AO+ZBO的最小值.

3

13.(1)如图1,已知正方形ABC。的边长为4,圆8的半径为2,点P是圆8上的一个动

点，求PD+Jpc的最小值和PD-PC的最大值;

(2)如图2,已知正方形ABC。的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动

点，那么的最小值为.,PD-,pc的最大值为.

(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60°,圆B的半径为2,点P是圆B

上的一个动点，那么pr*pc的最小值为，尸0-白。的最大值为

14.如图，抛物线y=-/+匕尤+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：

y=--6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EFLx轴交AC于点F,

交抛物线于点G.

(1)求抛物线y=-jr+bx+c的表达式；

(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,

X为顶点的四边形是矩形？求出此时点E,X的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，即长为半径作圆，点M为OE上一动点，求

15.如图，已知二次函数>=以2+a+0的图象经过点C(2,-3),且与X轴交于原点及点8

(8,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

(3)判断AAB。的形状，试说明理由；

(4)若点P为。。上的动点，且。。的半径为2“历，一动点E从点A出发，以每秒2

个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB

匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值.

大招阿氏圆最值问题

1模型介绍

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：

PB=k(k，l),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数

学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

模型建立：当点P在一个以。为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示:

1

pA(JArpAAC

易证：△BOPS/\POA,「.万元=---=万，，对于圆上任意一点P都有方方=五万=k.

PBrOBPBBC

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位

置选取A、B点，则需J=方五=fc

r(JB1

国【技巧总结】计算+左的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似

三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下:

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

②计算出这两条线段的长度比O上P-=左

0B

ocPC

③在OB上取一点C,使得——=k,即构造△P0MS/\B0P,则——=k,PC=k.PB

OPPB

④则/%+左当A、P、C三点共线时可得最小值

例题精讲

【例1].如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,0c半径为2,P为圆上

一动点，连接AP,BP,则AP+工8P的最小值为.

解：如图1,连接CP,在上取点。，使CO=1,则有型=空=2

CPCB2

又,：/PCD=/BCP,

:.△PCDsXBCP,

•.•PD—_-1,

BP2

：.PD=LBP,

2

：.AP+—BP=AP+PD.

2

要使AP+工3尸最小，只要4P+P。最小，当点A,P,。在同一条直线时，4P+P。最小,

2

即：尸最小值为AD,

2

在RtZ\4C£>中，CD=1,AC=6,

•，.AO=VAC2-*CD2=V37，

AP+XBP的最小值为技

A变式训练

【变式17].如图，正方形ABC。的边长为4,。8的半径为2,尸为OB上的动点，贝。PD+

：.BC=4=CD,BP=2,£C=3

:里』且NPBE=NPBE

BC2BP

△PBEs^CBP

•BE_旦i

"BP'PC"2

；.PE=±PC

2

：.PD+—PC=PD+PE

2

当点O,点尸，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即「。+工PC有最小值,

2

.,.PD+^PC最小值为。£=而^=5故答案为：5

【变式1-2].如图，在△ABC中，NA=90°,AB=AC=4,点、E、尸分别是边A3、AC的

中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则/pB+PC的最小值为

V17-.

解：如图，在A2上截取42=1,连接AP,PQ,CQ,

•.•点E、F分别是边AB、AC的中点，点尸是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点,

•.•-A-P--二2二1,

AB42

'：AP=2,AQ=1,

•.•-A-Q---1,

AP2

ZPAQ=ZBAP,

：.AAPe^AABP,

：.PQ=XpB,

2

^PB+PC=PC+PQCQ,

在RtZkACQ中，AC=4,AQ=1,

℃=7AC2+AQ2=V16+1=V17.，

：.XPB+PC的最小值,

故答案为：V17•

【变式1-3].如图，在直角坐标系中，以原点。为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点

A,点M的坐标为（6,3）,点N的坐标为（8,0）,点尸在圆上运动.则的

2

最小值是5.

解：如图，作MB_LON于2,

则BM=3,03=6,

取0A的中点/,连接OP,Pl,IM,

，。/=2,0P=4,

.01=2=1

"OP12'

0P=^=2

丽京5'

.01OP

••~二11,

OPON

又NPO/是公共角，

.•.△PO/saNOP,

.PI_0I__l

,•丽而H，

：.PI=kpN,

2

PM+^PN=PM+PI^IM,

2

...当M、P（图中。点）、/在一条直线上时，

PM+P1最小=M/=4MB2+B[2;山2+/=5,

故答案是5.

【例2].如图，在。。中，点A、点8在O。上，ZAOB=90°,0A=6,点C在。A上,

且。C=2AC,点。是02的中点，点M是劣弧A8上的动点，则CM+2OW的最小值为

4Vio-.

解：延长。8到T,使得BT=0B,连接MT,CT.

\B—丁

,.・OM=6,0D=DB=3,0T=12,

：.OM2=OD'OT,

.ON=0T

"ODON"

\*4MoD=4T0M,

：./\M0D^/\T0M,

•DM=OM=1

"MTOT~2'

：.MT=2DM,

,：CM+2.DM^CM+MTNCT,

又：在RtZkOCT中，ZC<9T=90°,0C=4,07=12,

CT=VQC2OT2=V42+122=4VIO>

ACM+2DM^4-/W，

；.CM+2OM的最小值为4\国，答案为4丁诬.

A变式训练

【变式2-1].。。半径为2,AB,为两条直线.作。CLA8于C,且C为A。中点，P

为圆上一个动点.求2PC+PE的最小值.

D

：C是A。的中点，

OC=1-OA=1,

2

.QCOP_1

''op"OKT

y.'：ZCOP=ZPOK,

：./\COP^/\POK,

.PCoc.1即PK=2PC.

'*PK'OP"2

：.2PC+PE=PE+PK》EK.

作于点H.

:在直角△口?£）中，cosNDOC=里」,

OD2

：.ZDOC=60°,

；./EOH=/DOC=60°,

：.HE^OE-sin60°=2X与=7§,

；•EK=752+(V3)2=2V7-

即最小值是2/7.故答案是：2夜.

【变式2-2].如图，在扇形0c〃中，ZCOD=9Q°,0C=3,点A在。。上，AO=1,点

2为。C的中点，点、E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是，板_.

解：如图，延长OC至尸，使得CF=0C=3.连接EF,OE,

..OEOF门

OB0E-2

NEOB为公共角

:.AOBEsAOEF

.BEQB1

"EF'of

：.2BE=EF

：.AE+2BE=AE+EF

即A、E、尸三点共线时取得最小值

即由勾股定理得

AF=yl^+22=WI5故答案为2V10

【变式2-3].如图，等边△ABC的边长6,内切圆记为OO,尸是。。上一动点，则2PB+PC

的最小值为_^V7_.

解：如图，连接OC交。。于点D,取。。的中点凡作OEL8C于E,FGLBC^G,

p

.0F=0P=2

"OPOC2'

'：ZFOP=ZPOC,

:.△OPFS^OCP,

：.CP=2PF,

：.2PB+PC=2(Apc+PB)=2(PB+PF),

2

,：PB+PF>BF,

.♦.PB+P尸的最小值为BF,

"：BC=6,NOCE=30°,

；.CE=3,OE=M，OC=2百,

...c-里③，

2

...6尸=3巨，CG=—,

44

：.BG=BC-CG=^~,

4

由勾股定理得，8尸=宜巨，

2

：.2PB+PC的最/J、值为2BF=3V7.

故答案为：3曲.

实战演练

1.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆。，P为圆。上一动点，则&E4+P8的最小

值为

OP=r=^BC=2,。8=圾「=2&,

2

取的中点/,连接力，

:.OI=IB=42,

VOP_-2_-J3，

01一&72，

强必”，

OP2v

•.•-O-P=OB,，

01OP

NO是公共角，

:.△BOPs^poi,

.PI__01_V2

"WOP~

：.PI=^PB,

2

7

PB=AP+PI,

...当A、P、/在一条直线上时，AP+返产2最小，

2

作IELAB于E,

VZABO=45°,

：.IE=BE=y-^BI=l,

2

：.AE=AB-BE=3,

**•A/=4梦+]2=yj10,

:.AP+与PB最小值=A/=JT5，

,:近PA+PB=M(B4+器尸2),

.♦.JEEI+PB的最小值是、历A/=&XJIU=2遍.

故答案是2遥.

2.如图，扇形AO8中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中点，。是08上一点，OD

5,尸是窟上一动点，则PC+工的最小值为巨

2—2

解：如图，延长04使AE=08,连接EC,EP,0P,

•：AO=OB^6,C分别是。4的中点，

；.0E=12,0P=6,0C=AC=3,

...史=毁=」，且/COP=NEOP

OEOP2

:.△OPEs^ocP

.PC=OP=1

"PEOE5，

:.EP=2PC,

；.PC+^-PD^—(2PC+PD)=—(PD+PE),

222

，当点E,点P,点。三点共线时，PC+』PZ)的值最小,

•••DE=VOD2-H3E2=^52+122=13'

：.PD+PE^DE^\3,

...PD+PE的最小值为13,

：.PC+1PD的值最小值为旦.

22

故答案为：11.

2

3.如图，半圆的半径为1,A8为直径，AC,BD为切线,AC=1,BD=2,尸为弧AB上一

解：：AC是。。的切线,

：.ZOAC=90°,

；•"=VAC2-K)A2=近'

取0c的中点/,连接尸/,DI,

..OP1V2

OCV22

QI_V2

而丁，

•.•-0--P-=01",

OC0P

又/O是公共角，

，△PO/S△(%)/>,

•PI-QI-V2

"PCOPT'

:.PI=±^PC,

2

：.^-PC+PD=PI+PD,

2

...当。、P、/在一条直线上时，叵PC+PD最4、=DI,

2

作/凡LA8于尸，/E_L8O于E,

22

：.DE=BD-BE=—,

2

3

IE=BF=OB+OF=J

2

DI=VDE2+IE2='

.•.亚PC+PD最小=£)/=旦我.故答案是：172，

222

4.在RtZXAOB中，NAO2=90°,0A=8,02=10,以。为圆心，4为半径作圆。，交两

边于点C,D,尸为劣弧C。上一动点，则工加+尸8最小值为2历.

解：如图,

连接OP,取。C的中点E,

ZPOE=ZAOP,

OPOA2

.•.△POE^AAOP,

.PE_OE=1

',pFOP-^

：.^.PA+PB=PE+PB,

2

•：PE+PB?BE,

...当2、P、E共线时，PE+PB最小，

•：OE=^OC=2,08=10,

2

B£=VOE2-K)B2=^22+102=2^26-

：.XpA+PB的最小值是2技.

5.如图，在边长为6的正方形ABCQ中，M为AB上一点，且8M=2,N为边BC上一动

点，连接MN,点B关于对称，对应点为P,连接用，PC,则B4+2PC的最小值为

6^/5_.

解：,:B、P关于MN对称，BM=2,

：.PM=2,

如图所示，则点P在以M为圆心，8M为半径的圆上，

在线段MA上取一个点E,使得ME=\,

又：MA=6-2=4,MP=2,

•.M•,E—1,

MP2

史上」

血彳巧，

•.M.-E~-M--P,

MPMA

又：NEMP=NPMA,

•.P•-E二1,,

PA2

•*-PE—'PA，

：.PA+2PC=2（PC卷PA）=2（PC+PE）》2CE,

如图所示，当且仅当尸、C、E三点共线时取得最小值2CE,

•；CE=7BE2+BC2=VS2+62=375，

:.PA+2PC的最小值为675.

6.如图，矩形ABC。中，AB=2,AD=4,M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆

交AD于点E.点尸在^上运动，则的最小值为_,而_.

解：取AE的中点K,连接PK,KM■，作K”_L8c于H,则四边形ABHK是矩形.可得

AK=BH=l,HK=AB=2.

'：AP=2,AK=1,AD=4,

.'.PA2=AK-AD,

.PA=AK

"ADPA"

'：ZKAP^ZPAD,

.♦.△B4Ks△£>”，

.PK=AK=2

"PDAP2'

：.PK=^PD,

2

：.PM+^PD=PM+PK,

2

22

,?PM+PK，KM,KM=y]l+2=返，

:.PM+PK,®

：.PM+^DP的最小值为JM，

2

故答案为盗.

KED

7.如图，在△ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,。为AC的中点，以A为圆心，AD

为半径作04交AB于点E,尸为劣弧。E上一动点，连接PB、PC,则尸C+2pB的最小

3

值为生此.

—3―

Ok、

B

解：在AB上取凡使4尸=邑,，连接CP与。A的交点即是满足条件的点P,连接AP,

3

如图：

B----

VAD=AAC=2,

2

：.AP=AD=2,

,：AB=3,AF=A,

3

：.AP1=AF-AB,

,：ZPAB=AFAP,

：./\PAB^/\FAP,

•PF=AP

"PBAB3'

：.PF=—PB,

3

PC+^-PB=PC+PF=CF,

3

根据两点之间线段最短，此时PC+2PB=CF最小,

3

：最小值为—2_4VTO

.PC+^-PBCF=A/2AC+4--§-

3AF+

故答案为：生叵.

3

8.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P是△AOB

外部的第一象限内一动点，且NBE4=135°,则2PD+PC的最小值是上&

PT,TD,

：.OA=OB=2,OC=4,

以。为圆心。4为半径作。。，在优弧上取一点Q,连接QA,

•.•/Q=//AOB=45°,ZAPS=135°,

AZ2+ZAPS=180°,

；.4、P、B、。四点共圆,

；.0P=O4=2,

\'OP=2,OT=1,OC=4,

：.OP2=O^OT,

•.•-O--P-=0T■",

0C0P

ZPOT=ZPOC,

/.△POTS△尸oc,

•.•-PT—■OP二—11,

PCOC2

•,•PT=*PC，

：.2PD+PC=2(PD+^PC)=2(PD+PD,

2

22

,/PD+PT^DT,DT=^2+2=2&，

：.2PD+PC》^[i，

：.2PD+PC的最小值是4如.

故答案为：4®

9.如图，在RtzXAOB中，ZAOB=90°,0A=3,0B=2,OO的半径为1,M为。。上

一动点，求的最小值.

2

解：如图，连接。M,在。8上取点C,使。。=工，连接MC,AC,

,：0B=2,。。的半径为1,

.0M.OC1

,旗而至，

NM0C=NC0M,

.MCOM1

,•而怎而‘

：.AM+^BM=AM+MC,

2

：.AM+^BM的最小值即为AM+MC的最小值,

2

；.A、M,C三点共线时，AM+MC最小，

在Rt^AOC中，由勾股定理得：

4c二次+及泾年.

：.AM+^BM的最小值为Y红.

22

10.问题提出：如图1,在等边△ABC中，AB=U,OC半径为6,P为圆上一动点，连接

AP,BP,求AP+」BP的最小值.

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB

上取点。，使C£>=3,则有型=史=』，又；/PCD=NBCP,:APCDsABCP,

CPCB2

.•.里=」，:.PD=LBP,:.AP+^BP=AP+PD.

BP222

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+aBP的最小值为二

(2)自主探索：如图3,矩形ABC。中，8c=7,AB=9,P为矩形内部一点，且尸8=3,

-j-AP+PC的最小值为二\历

(3)拓展延伸：如图4,扇形CO。中，。为圆心，/COD=120°,0c=4,04=2,

08=3,点P是向上一点，求2出+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程.

图3图4

解：（1）解：（1）如图1,

连接A。，过点A作AfUCB于点R

•：AP+—BP^AP+PD,要使AP+—BP最〃、，

22

最小，当点A,P,。在同一条直线时，AP+A。最小,

即：AP+工8P最小值为A。，

2

VAC=12,AFLBC,ZACB=6Q°,

：.CF=6,AF=6如,

：.DF=CF-CD=6-3=3,

22

AD=A/AF+DF=，

：.AP+1BP的最小值为3V13;

2

（2）如图,

在AB上截取86=1,连接PF,PC,

：AB=9,尸8=3,BF=1,

•.型△迪，S.ZABP=ZABP,

AB3BP

\△ABPS/\PBF,

.FPBP.1

,AP'AB"3，

\PF=^AP,

3

\^AP+PC=PF+PC,

3

•.当点尸，点尸，点C三点共线时，!AP+PC的值最小,

3

CF=1>/BF2+BC2=V1+49=5V2>

-.1.AP+PC的值最小值为572；

3

(3)如图，

延长OC,使CF=4,连接B尸，OP,PF,过点/作&于点M,

VOC=4,FC=4,

：.FO=S,且OP=4,OA=2,

.•.PU=_QL,S.ZAOP=ZAOP,

OP2OF

△AOPS/\POF,

.AP_0A1

•,瓦而方

：.PF=2AP,

：.2PA+PB^PF+PB,

当点R点尸，点2三点共线时，2AP+PB的值最小，

VZCOD=120°,

/尸OM=60°,且尸0=8,FMLOM,

：.OM=4,FM=4^3,

：.MB=OM+OB=4+3=7,

'FB=VFM2+MB2=国，

J.2PA+PB的最小值为何.

11.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为6,圆2的半径为3,点P是圆2上的一个动

点，则尸。+2PC的最小值为生，PD-工PC的最大值为工.

2—2—2—2—

(2)如图2,已知菱形ABCD的边长为4,NB=60°,圆B的半径为2,点P是圆B

上的一个动点，求尸D+」PC的最小值，以及PO-』PC的最大值.

22

解：(1)如图1,

.BEBP1

"：ZPBE=ZPBC,

/.△PBEs^CBP,

.PEBP1

••---二二一,

PCBC2

:.PE=LPC,

2

：.PD+LpC=PD+PE，DE,

2

PD-^PC=PD-PEWDE,

•.•四边形ABC。是正方形,

：.ZBCD=9Q°,

DE=VCD24CE2=苻+砥）2=-y,

.•.PD+JiPC的最小值为：生，此时点尸在P处,

22

PD-工PC的最大值为：—,此时点P在P"处，

22

故答案为：生，生；

22

(2)如图2,

在BC上截取BE=1,作。尸_LBC交BC的延长线于尸,

•.•BE=BP=—1,

BPBC2

'：ZPBE=ZPBC,

:APBEsMBP,

•.•PE=BP=—1,

PCBC2

:.PE=LPC,

2

...PD+、PC=PD+PE'DE,

2

PD-^PC=PD-PEWDE,

2

在RtZXOCF中，ZDCF=ZABC=6Q°,CD=4,

.•.CF=4・cos60°=2,。尸=4・sin60°=2«,

在Rt△。所中，。尸=2我，EF=CE+CF=3+2=5,

•<-DE=VB2+（2V3）2=国，

.•.PD+』PC的最小值为：V37>此时点尸在P'处

2

PD-工PC的最大值为：V37，此时点P在尸"处

2

12.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合坦=左(左＞0且人/1)的点P会组成一个圆.这个

PB

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在X轴，y轴上分别有点C(〃z,0),D(0,n),

点尸是平面内一动点，且。尸=r,设空=4，求PC+女尸。的最小值.

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在OD上取点使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：证明枕。=尸加；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程(部分)：

解：在OD上取点M,使得OAf：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,:.丛POMs^DOP.

任务：

(1)将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,。为△ABC内一动点,

满足cz)=2,利用(1)中的结论，请直接写出AD+ZBO的最小值.

3

解(1)在。。上取点使得。M：OP=OP-.OD=k,

又•：NPOD=NMOP,

:APOMs4DOP.

：.MP-.PD=k,

：.MP=kPD,

:.PC+kPD=PC+MP,当PC+HV)取最小值时，PC+MP有最小值，即C,P,M三点共

线时有最小值，

利用勾股定理得CM=VoC2-H3M2=Vm2+(kr)2=7m2+k2r2-

(2)VAC=m=4,型=Z,在C8上取一点M,使得CM=2cO=4,

BC333

图2

42+(「智

13.(1)如图1,已知正方形ABC。的边长为4,圆8的半径为2,点P是圆8上的一个动

点，求PZH/pc的最小值和PD-/pc的最大值；

(2)如图2,已知正方形A8C。的边长为9,圆8的半径为6,点P是圆8上的一个动

点，那么pz)+2pc的最小值为_行而_，p。-VPC的最大值为_曰•

33

(3)如图3,已知菱形A3C0的边长为4,ZB=60°,圆5的半径为2,点尸是圆5

上的一个动点，那么PD+/pc的最小值为—技—，PD-/pc的最大值为—技

解：(1)如图1中，在BC上取一点G,使得BG=1.

..PB_2_2BC=_4=2

'BGI'而5'

APB=BC；•:/PBG=NPBC,

BGPB

工△PBGsMBP,

•PG=BG=1

"PCPB5，

：.PG=^PC,

2

：.PD+^-PC=DP+PG,

2

■:DP+PG，DG,

当。、G、尸共线时，PZ）+±PC的值最小，最小值为DG=J^7^=5.

,:PD-工PC=PD-PGWDG,

2

当点尸在。G的延长线上时，PD-工PC的值最大（如图2中），最大值为。G=5.

(2)如图3中，在BC上取一点G,使得BG=4.

.而一［亍丽一纭―2，

.•.里=电，VZPBG=ZPBC,

BGPB

△PBGs^CBP,

•PG=BG=2

"PCPBT

：.PG=^-PC,

3

：.PD+^PC=DP+PG,

3

■:DP+PG2DG,

当。、G、尸共线时，PD+ZPC的值最小，最小值为£)G=152+g2=JI瓦.

3

9

■:PD-幺PC=PD-PGWDG,

3

当点尸在DG的延长线上时，的值最大，最大值为痴.

3

故答案为而，V106

(3)如图4中，在8C上取一点G,使得BG=1,作。尸_LBC于?

BG1PB2

史=生，'；ZPBG=ZPBC,

BGPB

/.APBG^ACBP,

.PG=BG=1

*'PCPBE，

：.PG=^PC,

2

：.PD+^PC=DP+PG,

2

■:DP+PG2DG,

...当。、G、尸共线时，尸£)+工PC的值最小，最小值为。G,

2

在RtZ\C。尸中，ZDCF=60°,C£>=4,

：.DF=CD'sin600=2«,CF=2,

在Rtz\G。尸中，DG=N(蚯)2+⑸2=百

'：PD--PC=PD-PGWDG,

2

当点P在。G的延长线上时，P。-工PC的值最大(如图2中)，最大值为£>G=J§7.

2

故答案为F7，V37.

14.如图，抛物线y=-/+bx+c与直线A8交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：

y=--6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EFlx轴交AC于点F,

交抛物线于点G.

(1)求抛物线>=-7+b尤+c的表达式;

(2)连接GB