陕西省宝鸡市渭滨区宝鸡市新建路中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.2.方程是关于一元二次方程，则（）A. B. C. D.3.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（）A. B. C. D.4.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当时，它是菱形 B.当时，它是菱形C.当时，它是矩形 D.当时，它是正方形5.一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（）A. B.C. D.6.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7.如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A. B. C. D.8.如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（）A4 B.6 C.8 D.10二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）9.若，则________．10.如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．11.在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%，则布袋中红色球的个数很可能是___个．12.如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为_______________13.如图，在菱形中，，，，，分别为对角线，边，上点，连接，，则的最小值为_______________三、解答题（共13小题，共计81分，解答应写出过程）14.计算：．15.解方程．16.如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得．17.已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．18.已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．（1）这个反比例函数的表达式是____________．（2）若使用时电阻，则电流是_________19.如图，在四边形中，，，对对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求的长．20.小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“．惊蛰”“．夏至”“．白露”“．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是________________．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张（不放回），小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“．夏至”的概率．21.如图，某大楼上树立一块高为3米的广告牌．数学活动课上，立新老师带领小燕和小娟同学测量楼的高．测角仪支架高米，小燕在处测得广告牌的顶点的仰角为22°，小娟在处测得广告牌的底部点的仰角为45°，米．请你根据两位同学测得的数据，求出楼的高．（结果取整数，参考数据：）22.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．23.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于x轴对称；（2）以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；（3）设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________．24.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．

（1）_________，_________；（用含的代数式表示）（2）请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似．25.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．

（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出不等式的解集．26.问题提出（1）如图①，在四边形中，，，，，则的长为______________；问题探究（2）如图②，在正方形中，，是边的中点，将沿翻折得到，延长交于点，连接，求的长；问题解决（3）如图③，现有一张四边形纸片，，，，，小明想在这张纸片上裁一个正方形，其作法如下：第一步：将四边形对折，使点与点重合，展开后折痕与交于点；第二步：在上取点，将四边形沿折叠，点，分别为点，的对应点，使点落在边上；第三步：翻折，使点与点重合，折痕分别交，于点，，且点在上；第四步：沿折叠，点恰好与点重合；第五步：将纸片展开后，沿折痕，，进行裁剪，得到四边形．请问，若按上述作法，四边形是否符合要求？请证明你的结论．

九年级数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2.方程是关于的一元二次方程，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程），解题的关键是根据一元二次方程的定义得出且，求解即可．【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴且，

解得：．

故选：B．3.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；

B.影子的方向不相同，故本选项错误；

C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;

D.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；

故选：D．【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．4.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当时，它是菱形 B.当时，它是菱形C.当时，它是矩形 D.当时，它是正方形【答案】D【解析】【分析】根据矩形、菱形及正方形的判定可进行求解．【详解】解：A、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；B、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；C、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故不符合题意；D、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键．5.一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为m，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边的长为m，根据题意得：．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．6.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，，点，在第二象限，，，函数图象在第二象限内为增函数，，．，点在第四象限，，，，的大小关系为．故选：C．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．7.如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，即可求解．【详解】解：如图，取格点D，连接，根据题意得：，，，∴，∴，∴．故选：D8.如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．【详解】∵四边形为平行四边形，∴，，∴，，设为x，∵，，∴，，∴，，∴，即，得，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）9.若，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．掌握这个性质是解答本题的关键．将已知分式中分子和分母同时除以，将分式整理成只含的等式，由此计算出的值．【详解】解：由已知，分子和分母同时除以，得，，即．故答案为．10.如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为____________米．【答案】【解析】【分析】根据黄金分割点的定义得，再将的值代入进行计算即可得．【详解】解：∵舞台的长为米，点C是线段上靠近点B的黄金分割点，∴（米），故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．11.在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%，则布袋中红色球的个数很可能是___个．【答案】4【解析】【分析】设出黄球的个数，根据黄球的频率求出黄球的个数即可解答．【详解】设黄球的个数为x，∵共有黄色、红色的乒乓球10个，黄球的频率稳定在60%，∴，解得：，∴布袋中红色球的个数很可能是（个）．故答案为：4．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系，列出方程．12.如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为_______________【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数的几何意义找出是解题的关键．连接，设反比例函数的解析式为（），根据和同底等高，利用反比例函数系数的几何意义结合的面积为3即可求出k值，再根据反比例函数在第二象限有图象，由此即可确定值，此题得解．【详解】解：连接，如图所示．设反比例函数的解析式为（）．轴，点在轴上，和同底等高，，解得：．反比例函数在第二象限有图象，．故答案为：．13.如图，在菱形中，，，，，分别为对角线，边，上的点，连接，，则的最小值为_______________【答案】【解析】【分析】作点M关于的对称点，连接，过点作于点F，根据轴对称的性质得出，得出当、、在同一直线上时，最长，即最小，且最小值为，根据垂线段最短，得出当时，最小，求出最小值即可．【详解】解：作点M关于的对称点，连接，过点作于点F，如图所示：∵四边形为菱形，∴平分，，，，∴点一定在上，∵点M关于的对称点为，∴，∴，∴当、、在同一直线上时，最长，即最小，且最小值为，∵垂线段最短，∴当时，最小，在中，，∵，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线段最短，轴对称的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟记相关的性质．三、解答题（共13小题，共计81分，解答应写出过程）14.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的化简，熟记特殊角三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角三角函数值代入并计算即得答案．【详解】解：．15.解方程．【答案】【解析】【分析】先等式左边提取公因式，然后利用提公因式法解一元二次方程即可．【详解】解:解得：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握方程的解法是解题的关键．16.如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得．【答案】见解析【解析】【分析】作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求．【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点D，连接，则点D即为所求．∵，∴，∵线段的垂直平分线交于点D，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查作图−相似变换，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．17.已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3．【解析】【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3，∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．18.已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．（1）这个反比例函数的表达式是____________．（2）若使用时电阻，则电流是_________【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点代入解析式，求出的值即可；（2）根据反比例函数关系式即可求解；【小问1详解】解：∵电流（单位：）与电阻（单位：）反比例函数关系，设，∵图像经过，∴，解得：，∴这个反比例函数的表达式是，故答案为：；【小问2详解】当使用时电阻时，则，∴电流是，故答案为：．19.如图，在四边形中，，，对对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线即可解答．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形是菱形，对角线，交于点O，∴，，，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，O为中点，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等角对等边，角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20.小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同不透明卡片，卡片正面分别写有“．惊蛰”“．夏至”“．白露”“．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“．惊蛰”的概率是________________．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张（不放回），小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“．夏至”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“．夏至”的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解∶抽到“．惊蛰”的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“．夏至”的结果有6种，所以两人都没有抽到“．夏至”的概率为．21.如图，某大楼上树立一块高为3米的广告牌．数学活动课上，立新老师带领小燕和小娟同学测量楼的高．测角仪支架高米，小燕在处测得广告牌的顶点的仰角为22°，小娟在处测得广告牌的底部点的仰角为45°，米．请你根据两位同学测得的数据，求出楼的高．（结果取整数，参考数据：）【答案】楼的高约为26米【解析】【分析】延长EF交CH于点G，可得DG=FG，再根据锐角三角函数可得DG的长，进而可得DH的高度．【详解】解：如图，延长交于，则，∵，∴，设米，则米，米，在中，，∴，∴，解得，∴（米）答：楼的高约为26米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．22.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意，得：解得：，（不合题意，舍去）.答：该品牌头盔销售量的月增长率为23.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于x轴对称的；（2）以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；（3）设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形．（1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点，连接即可得到；（2）相似比为，即对应点到位似中心的距离比也是，据此画图；（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．【小问1详解】解：如图，为所作；【小问2详解】如图，为所作；【小问3详解】点P关于x轴的对称点坐标为：，的坐标是．故答案为：．24.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．

（1）_________，_________；（用含的代数式表示）（2）请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似．【答案】（1）；（2）秒或秒【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，（1）根据路程＝速度×时间以及线段的和差，即可列出代数式；（2）分两种情况，或，分别得到关于的方程，求出的值，即可解决问题；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【小问1详解】解：∵点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，，，∴，，故答案为：；；【小问2详解】设点运动秒时，以、、为顶点的三角形与相似，∵点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动，，，∴点运动到终点所需时间为：，点运动到终点所需时间为：，∴的取值范围是：，∵，∴可分两种情况：当时，∴，∴，∴；当时，∴，∴，∴；∴当点运动2.4秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似．25.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．

（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出不等式的解集．