北师版九年级数学上册期末复习考题猜想 专题01 特殊平行四边形（考题猜想易错必刷40题7种题型专项训练）

专题01特殊平行四边形（易错必刷40题7种题型专项训练）菱形的性质矩形的性质矩形的判定矩形的判定与性质正方形的性质正方形的判定与性质轴对称-最短路线问题一．菱形的性质（共5小题）1．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，则OH的长为（）A． B．10 C．5 D．3．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（）A． B． C．4 D．4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（）A． B． C． D．5．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为．二．矩形的性质（共14小题）6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．7．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（）A．1 B．2 C． D．9．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（）A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．711．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（）A． B．3 C． D．12．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4）13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．14．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于°．15．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝4，EF＝6，则AB＝．16．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），D为OA的中点，点P在边BC上运动，当PD＝OD时，点P的坐标为．17．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．（1）求四边形PBCQ的面积；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F．（1）求证：CF＝CB；（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长．三．矩形的判定（共1小题）20．下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形四．矩形的判定与性质（共2小题）21．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为．22．如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．（1）求证：四边形ACBE是矩形；（2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长．五．正方形的性质（共16小题）23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm224．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．425．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤26．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．4 B．2 C．4 D．227．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（）A． B．10﹣5 C．2 D．28．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（）A．10° B．15° C．20° D．25°29．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2＝（）A．90° B．100° C．110° D．120°30．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．32．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是．33．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．（1）若AE＝1，则EF的长＝；（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为．34．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，OA与y轴的夹角为30°，则点B的坐标是．35．如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是．36．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为．37．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长．38．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．六．正方形的判定与性质（共1小题）39．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：四边形DEFG是正方形；（2）求AE2+CE2的最小值．七．轴对称-最短路线问题（共1小题）40．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．13

专题01特殊平行四边形（易错必刷40题7种题型专项训练）菱形的性质矩形的性质矩形的判定矩形的判定与性质正方形的性质正方形的判定与性质轴对称-最短路线问题一．菱形的性质（共5小题）1．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A． B．3+3 C．6+ D．【答案】D【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S菱形ABCD＝100，则OH的长为（）A． B．10 C．5 D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝20，又∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝20×BD＝100，∴BD＝10，∵DH⊥AB，∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，∴OH＝BD＝10＝5．故选：C．3．如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE＝4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF＝y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（）A． B． C．4 D．【答案】B【解答】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，∴AF＝CF，∴y＝EF+CF＝EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，如图2，当x＝0时，y＝6，设BE＝a，则CE＝4a，∴y＝a+5a＝6，∴a＝1，∴BC＝5，由图2知：BD＝6，如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BG＝BD＝3，由勾股定理得：CG＝4，∴△ECG的面积＝S△BCG＝•CG•EH，∴××3×4＝×4×EH，∴EH＝，∴CH＝＝＝，∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，∴AE＝＝＝，即图象最低点的纵坐标是．故选：B．4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023个菱形的边长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝1，∴OB＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，同理可得：AC1＝3，∴第1个菱形的边长＝1＝（）0，第2个菱形的边长＝＝（）1，第3个菱形的边长＝3＝（）2，…∴第2023个菱形的边长＝（）2022，故选：B．5．如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，过点F作FM⊥AC于M，作FN⊥BC延长线于N，连接AF、EF，∵四边形ABCD是菱形，且∠D＝60°，∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠FCN＝∠D＝60°＝∠FCM，∴FM＝FN，∵FG垂直平分AE，∴AF＝EF，∴Rt△AFM≌Rt△EFN（HL），∴∠AFM＝∠EFN，∴∠AFE＝∠MFN，∵∠FMC＝∠FNC＝90°，∠MCN＝120°，∴∠MFN＝60°，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴FG＝AG＝，∴当AE⊥BC时，Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∵AB＝4，∴BE＝2，AE＝2，∴当AE⊥BC时，即AE＝2时，FG最小，最小为3；故答案为：3．参考第二种解法如下：取AB中点点P，连接PG，如图所示，∵GF垂直平分AE，∴AG＝EG，GF⊥AE，∵AP＝BP，∴PG＝BE，由此可见，当点P，G，F共线时，GF有最小值，此时PF⊥AE于点G，AE⊥BC，∴PF＝AD＝AB＝4，PG＝BE＝×2＝1，∴GF＝PF﹣PG＝4﹣1＝3．故答案为：3．二．矩形的性质（共14小题）6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．7．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故选：D．8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°，∴∠EDO＝30°，又∵AC＝2，∴DO＝BD＝AC＝，∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1，同理可得，Rt△BOF中，OF＝1，∴EF＝2，故选：B．9．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（）A．2﹣2 B．2+2 C．2﹣2 D．【答案】B【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．故选：B．10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（）A． B． C．5 D．7【答案】B【解答】解：如图，连接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四边形AEPF为矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取最小值．下面求此时AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的长度最小为：．故本题选B．11．如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（）A． B．3 C． D．【答案】A【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O．∵线段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中，∴AB＝＝．∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．故选：A．12．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，），（，4） C．（，3），（，4） D．（，），（，4）【答案】A【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，∴OE＝，即点B（，3），∴AF＝OE＝，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，∴点C（﹣，4）．故选：A．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是0或1＜AF或4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，①当AF＝0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，解法一：当⊙O与BC相切时，如图6，连接OP，EP，PF，此时构成三个直角三角形，∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，∴PC＝BP＝1，∵DE＝1，CD＝4，∴CE＝3，∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，∴∠EPC＝∠BFP，∴△ECP∽△PBF，∴，即，BF＝，∴AF＝4﹣＝；解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，则OP⊥BC，设AF＝x，则BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，∵OP∥EC，OE＝OF，∴OG＝EP1＝，∴⊙O的半径为：OF＝OP＝+（4﹣x），在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2＝OG2+GF2，∴，解得：x＝，∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，③当AF＝4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．故答案为：0或1＜AF或4．14．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于56°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF∴∠CFG＝2∠GFP＝124°，∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°，∴∠EHF＝∠HFG＝56°．故答案为56．15．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝4，EF＝6，则AB＝4.8．【答案】4.8．【解答】解：连接BE，∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO＝4，∴BD＝2DO＝2AO＝8，BE＝DE，∠DOE＝90°，∴DO＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵OB＝OD，∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴EO＝OF，∵EF＝6，∴EO＝3，设AE＝x，由勾股定理得：BE＝DE＝＝5，AB2＝BD2﹣AD2＝BE2﹣AE2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AB＝＝4.8．故答案为：4.8．16．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），D为OA的中点，点P在边BC上运动，当PD＝OD时，点P的坐标为（4，8）或（16，8）．【答案】（4，8）或（16，8）．【解答】解：如图，作DH⊥BC于H，∵D为OA的中点，A（20，0），∴OD＝10，∵DP＝DO，∴DP＝10，当点P在H左边时，在Rt△DHP中，由勾股定理得，PH＝＝6，当点P'在H右边时，HP'＝PH＝6，∴CP＝4，CP'＝16，∴P（4，8）或（16，8），故答案为：（4，8）或（16，8）．17．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．（1）求四边形PBCQ的面积；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设运动时间为t，则AP＝t，CQ＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°，∴BP＝4﹣t，∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）•BC＝4×2＝4（cm）2；（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，①当PQ＝DQ＝4﹣t时，如图1，过P作PH⊥DQ于H，则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∵PH2+HQ2＝PQ2，∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，解得：t＝2，t＝，②当PQ＝PD时，如图2，过P作PH⊥DQ于H，则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∴4﹣2t＝t，∴t＝，③当DQ＝PD时，∴DQ＝4﹣t，∴PD＝DQ＝4﹣t，∵AP2+AD2＝PD2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【答案】（1）当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．19．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，AB＝DE，CF⊥DE，垂足为F．（1）求证：CF＝CB；（2）若∠FCB＝30°，且AD＝2，求EF的长．【答案】（1）证明见解答；（2）4﹣2．【解答】（1）证明：如图，连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，∵AB＝DE，∴CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠DEC＝∠BEC，∵∠B＝∠EFC＝90°，CE＝CE，∴△EFC≌△EBC（AAS），∴CF＝CB；（2）解：∵∠FCB＝30°，∠BCD＝90°，∴∠DCF＝60°，∵∠DFC＝90°，∴∠CDF＝30°，∵AD＝BC＝CF＝2，∴CD＝2CF＝4，DF＝2，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2．答：EF的长为4﹣2．三．矩形的判定（共1小题）20．下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】B【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确；B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确；综上所述，B符合题意，故选：B．四．矩形的判定与性质（共2小题）21．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为2.4．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×4×3＝×5•CD，解得CD＝2.4，∴线段EF长的最小值为2.4．故答案为：2.422．如图，在▱ABCD中，AC⊥AD，作∠ECA＝∠ACD，CE交AB于点O，交DA的延长线于点E，连接BE．（1）求证：四边形ACBE是矩形；（2）连接OD，若AB＝4，∠ACD＝60°，求OD的长．【答案】（1）证明见解答；（2）2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AC⊥AD，∴∠EAC＝∠DAC＝90°，∵∠ECA＝∠ACD，∴∠AEC＝∠ADC，∴CE＝CD，∴AE＝AD＝BC，∵AE∥BC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠EAC＝90°，∴四边形ACBE是矩形；（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于F，由（1）知：四边形ACBE是矩形，∴对角线AB和CE相等且互相平分，AO＝AB＝2，∴OA＝OC，∵∠ACD＝∠ACO＝60°，∴△AOC是等边三边形，∴∠OAC＝60°，∵∠EAC＝90°，∴∠FAO＝90°﹣60°＝30°，Rt△AFO中，OF＝AO＝1，AF＝，Rt△AEB中，AE＝＝2，∴DF＝AF+AD＝+2＝3，∴OD＝＝＝2．五．正方形的性质（共16小题）23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm2【答案】B【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝．故选：B．24．如图，已知CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD+∠FAG＝90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC＝FG，故①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB•FG＝S四边形CBFG，故②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD＝FE：FQ，∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，故④正确；故选：D．25．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵EA⊥PA，∴∠EAP＝∠BAD＝90°∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，∵AE＝AP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，PE＝AE＝6，∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立；③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10，∴BE＝＝8，故③不成立；④如图，连接BD，由②得：PE＝6，BE＝8，∵△APD≌△AEB，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四边形AEBP＝S△AEP+S△EPB＝•AE•AP+•PE•BE＝×3×3+×6×8＝33．故④成立；∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝8，∴S△BDP＝PD•BE＝32，∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65，∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130，∴CD2＝130，∴CD＝，故⑤不成立．综上所述，正确结论的序号是①②④，故选：C．26．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．4 B．2 C．4 D．2【答案】B【解答】解：连接AC、CF，如图：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故选：B．27．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（）A． B．10﹣5 C．2 D．【答案】C【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：C．28．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，又∵AB＝AE，∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．故选：B．29．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2＝（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD∴∠BED＝∠B＝60°∵△CHE的外角和为360°∴∠1+90°+∠2+60°+60°×2＝360°∴∠1+∠2＝90°故选：A．30．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【解答】解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠PDC＝45°，又∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴△PDF为等腰直角三角形，∴PD＝DF，故①正确；②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝BE，∵∠PEC＝∠ECF＝∠PFC＝90°∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故③错误；④延长FP交AB于M，延长AP交EF于H，∵AB∥CD，PF⊥CD，∴FM⊥AB，∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，∴PM＝PE，∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），∴∠BAP＝∠PFE，∵∠AMP＝90°，∴∠BAP+∠APM＝90°，∵∠APM＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴∠PHF＝90°，∴AP⊥EF，故④正确；综上，①②④正确．故选：B．31．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故答案为：+3．32．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是①②③．【答案】①②③．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；∴矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③．故答案为：①②③．33．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．（1）若AE＝1，则EF的长＝；（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°，又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，∵AE＝1，∴BF＝1，BE＝3，∴EF＝＝；故答案为：；（2）∵∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EOF＝∠AOD＝90°，又∵点P为EF的中点，∴OP＝EF，设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x，∴EF＝＝＝，∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为；故答案为：．34．已知边长为4的正方形OABC在直角坐标系中，OA与y轴的夹角为30°，则点B的坐标是（﹣2+2，2+2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：作AD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，作BF⊥CE于F，如图，∵OA与y轴的夹角为30°，∴∠AOD＝60°，∵∠AOC＝90°，∴∠COE＝30°，在Rt△COE中，CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，∵∠OCE＝60°，∠BCO＝90°，∴∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝2，CF＝BF＝2，∴B（﹣2+2，2+2）．故答案为：（﹣2+2，2+2）．35．如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵直线EF平分正方形ABCD的面积，∴直线EF经过点O，取OB的中点H，连接CH，GH．∵AB＝AD＝8，∠DAB＝90°，∴BD＝＝，∴OB＝OC＝，OH＝2，∵EF⊥PB，∴∠OGB＝90°，Rt△BOG中，HG＝OB＝，Rt△CHO中，CH＝＝，∵CG≥CH﹣GH＝，∴CG的最小值为．故答案为：．36．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为20．【答案】20．【解答】解：如图，连接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案为：20．