河北省沧州市盐山中学2025届高三最后一模数学试题含解析_第1页
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文档简介

河北省沧州市盐山中学2025届高三最后一模数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.2.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为A. B.C. D.3.集合,则集合的真子集的个数是A.1个 B.3个 C.4个 D.7个4.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为,,虚轴的两个端点分别为,,若四边形的内切圆面积为,则双曲线焦距的最小值为()A.8 B.16 C. D.5.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.6.若双曲线:绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象,则的离心率等于()A. B. C.2或 D.2或7.已知函数,方程有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合,则“函数有两个零点”是“”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直9.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.10.下列函数中,图象关于轴对称的为()A. B.,C. D.11.已知集合,若,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______.14.已知双曲线的一条渐近线为,且经过抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为______.15.已知实数,满足约束条件则的最大值为________.16.将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,则函数在区间上的值域为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求的分布列与数学期望.18.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,,且数列前项和为,求的取值范围.19.(12分)在中国,不仅是购物,而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费,日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作,调查了腾讯服务的6000名用户,从中随机抽取了60名,统计他们出门随身携带现金(单位:元)如茎叶图如示,规定:随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”,其他为“非手机支付族”.(1)根据上述样本数据,将列联表补充完整,并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户,这3位用户中“手机支付族”的人数为,求随机变量的期望和方差;(3)某商场为了推广手机支付,特推出两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直减100元;方案二:手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优惠方案更划算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)记函数的最小值为.(1)求的值;(2)若正数,,满足,证明:.21.(12分)过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点,已知当l的斜率为时,.(1)求抛物线C的方程;(2)设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.22.(10分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由直线x-3y+3=0过椭圆的左焦点F,得到左焦点为再由FC=2CA,求得A3【详解】由题意,直线x-3y+3=0经过椭圆的左焦点F,令所以c=3,即椭圆的左焦点为F(-3,0)直线交y轴于C(0,1),所以,OF=因为FC=2CA,所以FA=3又由点A在椭圆上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以椭圆的离心率为e=3故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得2、D【解析】

由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.3、B【解析】

由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合,则,所以集合的真子集的个数为个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.4、D【解析】

根据题意画出几何关系,由四边形的内切圆面积求得半径,结合四边形面积关系求得与等量关系,再根据基本不等式求得的取值范围,即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意,画出几何关系如下图所示:设四边形的内切圆半径为,双曲线半焦距为,则所以,四边形的内切圆面积为,则,解得,则,即故由基本不等式可得,即,当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用,圆锥曲线与基本不等式综合应用,属于中档题.5、D【解析】

由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.6、C【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为,所以或,由离心率公式即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为,又双曲线的焦点既可在轴,又可在轴上,所以或,或.故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的概念,考查了分类讨论的数学思想.7、A【解析】

作出函数的图象,得到,把函数有零点转化为与在(2,4]上有交点,利用导数求出切线斜率,即可求得的取值范围,再根据充分、必要条件的定义即可判断.【详解】作出函数的图象如图,由图可知,,函数有2个零点,即有两个不同的根,也就是与在上有2个交点,则的最小值为;设过原点的直线与的切点为,斜率为,则切线方程为,把代入,可得,即,∴切线斜率为,∴k的取值范围是,∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查了函数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,试题有一定的综合性,属于中档题.8、D【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.9、B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.10、D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数;A中,,,故为奇函数;B中,的定义域为,不关于原点对称,故为非奇非偶函数;C中,由正弦函数性质可知,为奇函数;D中,且,,故为偶函数.故选:D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法:对于函数的定义域内任意一个都有,则函数是奇函数;都有,则函数是偶函数(2)图象法:函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称.11、A【解析】

解一元二次不等式化简集合的表示,求解函数的定义域化简集合的表示,根据可以得到集合、之间的关系,结合数轴进行求解即可.【详解】,.因为,所以有,因此有.故选:A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题,考查了解一元二次不等式,考查了函数的定义域,考查了数学运算能力.12、C【解析】

集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【详解】解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而.故答案为.【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.14、【解析】

设以直线为渐近线的双曲线的方程为,再由双曲线经过抛物线焦点,能求出双曲线方程.【详解】解:设以直线为渐近线的双曲线的方程为,∵双曲线经过抛物线焦点,∴,∴双曲线方程为,故答案为:.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法,考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用,属于中档题.15、1【解析】

作出约束条件表示的可行域,转化目标函数为,当目标函数经过点时,直线的截距最大,取得最大值,即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,转化目标函数为当目标函数经过点时,直线的截距最大此时取得最大值1.故答案为:1【点睛】本题考查了线性规划问题,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算能力,属于基础题.16、【解析】

根据图像的平移变换得到函数的解析式,再利用整体思想求函数的值域.【详解】函数的图像向右平移个单位得,,,.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意整体思想的运用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】

事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中)(1)这对夫妻是否通过科目二考试相互独立,利用独立事件乘法公式即可求得;(2)补考费用之和为元可能取值为400,600,800,1000,1200,根据题意可求相应的概率,进而可求X的数学期望.【详解】事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中).(1)事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费..(2)的可能取值为400,600,800,1000,1200.,,,,.则的分布列为:40060080010001200故(元).【点睛】本题以实际问题为素材,考查离散型随机变量的概率及期望,解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用,属于基础题.18、(1)(2)【解析】

(1)由,可求,然后由时,可得,根据等比数列的通项可求(2)由,而,利用裂项相消法可求.【详解】(1)当时,,解得,当时,①②②①得,即,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,;(2)∴,∴,,.【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.19、(1)列联表见解析,99%;(2),;(3)第二种优惠方案更划算.【解析】

(1)根据已知数据得出列联表,再根据独立性检验得出结论;(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为,知服从二项分布,即,可求得其期望和方差;(3)若选方案一,则需付款元,若选方案二,设实际付款元,,则的取值为1200,1080,1020,求出实际付款的期望,再比较两个方案中的付款的金额的大小,可得出选择的方案.【详解】(1)由已知得出联列表:,所以,有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关;(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为,,;(3)若选方案一,则需付款元若选方案二,设实际付款元,,则的取值为1200,1080,1020,,,,选择第二种优惠方案更划算【点睛】本题考查独立性检验,二项分布的期望和方差,以及由期望值确定决策方案,属于中档题.20、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式证明即可.【详解】解法一:(1)当时,,当,,当时,,所以解法二:(1)如图当时,解法

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