北师版九年级数学上册期末复习（压轴题60题）

期末复习（压轴题60题）一、单选题1．如图，在等边三角形ABC内部取一点P，连接AP，BP，CP．若AP=3，BP=1，CP=2A．32 B．3 C．7342．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（

）A．50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=1753．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（

）A．(6074,1) B．(6075,1) C．(6076,2) D．(6077,2)4．如图，点P为双曲线y=12xx>0上一点，点A为x轴正半轴上一点，且OP=OA=5，则△POAA．7.5 B．10 C．7.5或12.5 D．7.5或105．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B=∠ADE B．ACC．ABAD=AC6．关于x的一元二次方程k2x2−2k+1A．k>−14 B．k≤−14且k≠0 C．k>−14且7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（

）

A．56 B．53 C．28．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（

A．6 B．8 C．10 D．129．已知正比例函数y1=mxm≠0的图象与反比例函数y2=nxA．x<−1或x>1 B．x<−1或0<x<1C．−1<x<1 D．−3<x<0或0<x<310．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将△ABE绕点B按顺时针旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE，下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA=DE，则CF=FG；其中正确的结论是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③11．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒12．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、DA．122023 B．122024 C．13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③4S△HGF=9S△FDEA．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④14．如图，矩形ABCD中，AB=23，AD=8，点E在边AD上，且AE:ED=1:3．动点P从点A出发，沿射线AB运动．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，连接PF．设M是线段PF的中点，则在点P运动的整个过程中，线段DM的最小值是（

A．5 B．27 C．32 15．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点−1.5,y1

A．2 B．3 C．4 D．516．已知点A1,y1，B2,y2，C3,y3，D4,a2+c都在二次函数y=aA．a<−8或a>4 B．a<−8或a>8C．a<−4或a>8 D．a<−4或a>417．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BD⊥CD．记∠CBD=α，∠BAD=β．若4α=β，tanα=13，则BCA．1255 B．1225 C．18．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，则a的值是()A．4 B．83 C．3 D．19．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作Rt△PBQ，使得∠BPQ=90°，BP=32PQ，连接CQ，则A．1213 B．2513 C．23920．如图，AB是⊙O一条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC，若AB=2，BC=1，则AC的长为（

）A．235 B．345 C．21．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和DA的中点，顺次连接EF，FG，GH和A．30 B．35 C．40 D．60二、填空题22．如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1x(x>0)的图象上，点C在函数y=−9x(x<0)的图象上，若点B的横坐标为−123．如图，Rt△ABO中，∠OAB=Rt∠，点A在x轴的正半轴，点B在第一象限，函数y=kx（k>0，x>0）的图象与边AB，OB分别交于点C,D，若S△BCD=124．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC边上．若AC=6，AD=2，则△BDF周长为，CECF的值为25．设α，β是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则α326．如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是27．如图，A，B两点分别在反比例函数y=−3x(x<0)和y=kxx>0图象上，连接OA，OB28．如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M,N，反比例函数y2=k2x（k229．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为1:3，OA=2，则OD的长为．30．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高7米的电线杆CD，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为米．

31．如图，在矩形ABCD中，AD=13，CD=12，点E，F分别在BC，CD上，BE=5，CF=6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为．32．如图、在△ABC中，∠A=60°,AB=6,AC=4，点D是AC边上的中点，点E是AB边上的动点，把△ADE沿DE所在直线折叠，点A落在点A′处，则点A′33．如图，抛物线y=x2−4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF34．如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点（不与△ABC的顶点重合），连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．

35．如图，分别以等边△ABC的顶点A,B,C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为2π，则莱洛三角形的面积为．36．如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，点E，G分别在边AB,CD上，且AE=CG，点F在边BC上，连接EF,BG，若BF=2，则EF+BG的最小值为.

37．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=4，则38．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC=3，CE=1，M是AF的中点，那么CM的长是．39．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，若四边形ABFE的面积为6，则线段DE的长为三、解答题40．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，A，E，B三点共线，AD=4，AG=22．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转α(0°≤α≤45°)，连接BE，DG(1)如图2，求证：BE=DG；(2)如图3，在旋转的过程中，当D，G，E三点共线时，试求DG的长；(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得∠DGA=120°，若存在，请直接写出DG的长；若不存在，请说明理由．41．【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF．若∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG．易证：△AEF≌△AEG．（1）根据以上信息，填空：①∠EAG=_______°；②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为_______；【迁移探究】（2）如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，点F在射线DC上，∠EAF=45°，猜想线段BE、EF、DF之间的数量关系，请证明你的结论；【拓展探索】（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为32,∠EAF=45°，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM，求线段42．课本再现证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．结论证明（1）为了证明该命题，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1求证：∠BAC=30°．证明：如图1，延长BC到点D，使得CD=BC，连接AD．……知识应用（2）如图2，四边形ABCD是一张矩形纸片，将纸片折叠得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠△ADP，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：∠DAP=∠PAM=∠MAB=30°．拓展提升（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），E在边AD上，且AE=52，将△APE沿PE折叠，点A落在点A′；将△CBP沿CP折叠，点B落在点B′处，且P，A′，B′三点在同一条直线上，A，B′，C三点在同一条直线上，AC43．如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．44．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE，OE，OE=CD．(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB=4，∠ABC=60°，求AE的长．45．在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；(2)如图2，当AD=25，且AE<DE时，求CEPC(3)如图3，当BE⋅EF=96时，求BP的值．46．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF=45°．求证：AC⋅BF=AD⋅BD；【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9，BF=8，求线段CF的长．【拓展提高】（3）在△ABC中，AB=42,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（其中AD:DE=1:2），点D在BC上，点E在AC上．若CE=247．（1）在菱形ABCD中，∠B=60°，点P在边CD边上，连接AP，点Q在BC的延长线上，连接DQ，CP=CQ，求证：∠APC=∠DQC；（2）菱形ABCD中，点P、Q分别是CD,BC上的动点，且满足AP=DQ=8，当∠APD=60°时，求△ADP与△DQC的面积之和．（3）平行四边形ABCD中，AD=2CD，P是CD上一动点，Q是BC上一动点，且满足AP=2DQ，AP=10，DP=2，当∠APD=60°时，求CQ的长度．48．已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A−1,0和点B，与y轴交于点C，直线y=−3(1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．①如图1，若动点P在直线BC上方运动时，过点P作PF⊥BC于点F，试求三角形△PFD的周长的最大值．②如图2，当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标．49．如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP，若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c当−1≤x≤4时的函数图象记为l1，将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象l1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P50．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M处，把纸片展平，连接PM,BM．根据以上操作，如图1，当点M刚好落在折痕EF上时，∠MBE的度数为_______°；(2)迁移探究将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：①将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作后，如图2，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当点M在EF上时，∠CBQ的度数为_______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，请判断CQ与MQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为20cm，当FQ=2cm时，求AP51．（1）【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证：AF=BG；（2）【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F、G、H分别在边BC、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．若EG⋅HF=48，求HF的长；（3）【拓展应用】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=9，点E在直线AB上，BE=6，AF⊥DE交直线BC于点F．请直接写出线段FC的长．52．如图1，⊙O的直径AB=8，AM和BN是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与AM，BN分别相交于点D，C两点，连接AE并延长，交BN点P，BC=CP．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若DEEC=153．问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4，点M，N是边AB,BC上两点，且BM=CN=1，连接CM,DN,CM与DN相交于点O．(1)探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；(2)探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；(3)拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC=45°，请直接写出线段PM的长．54．【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．若∠EAF=45°，则BE，EF，DF之间的数量关系为【类比探究】（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF=45°时，试探究BE，EF，DF【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，∠DAE=45°，若△ABC的面积为12，BD⋅CE=4，请直接写出55．如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE(1)求证：△AFC∽△CFD；(2)若AE=2BE，求证：AF=2CF；(3)如图②，若AB=2，DE⊥BC，求BEAE56．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E(1)若AB=6，AC=8，求BD长；(2)求证：AB•AF=AC•DF．57．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究．【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP、AQ分别交边BC、CD于点P、Q．(1)【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系．(2)【探究】如图2，小阳说“点P为BC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由；(3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片ABCD，测得∠ABC=60°，AB=6，在BC边上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q，当AP=27时，请直接写出线段DQ58．如图①，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG,PC．(1)探究PG与PC的位置关系（写出结论，不需要证明）；(2)如图②，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60°．探究PG与PC的位置关系，写出你的猜想并加以证明：(3)如图③，将图②中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．59．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC,CD,DA，试判断△ACD的形状，并说明理由；(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．60．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，P是AB的延长线上的点，弦CE交AB于点D．∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)若BD=OD，PB=9，求⊙O的半径．

期末复习（压轴题60题）一、单选题1．如图，在等边三角形ABC内部取一点P，连接AP，BP，CP．若AP=3，BP=1，CP=2A．32 B．3 C．734【答案】B【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AP′B，连接PP′，由旋转的性质可知，AP′=AP=3,BP′=CP=2,∠PAP′=60°，由勾股定理逆定理得【详解】解：∵ABC是等边三角形，∴AC=AB,∠BAC=60°．如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AP′B由旋转的性质可知，∠APC=∠AP′B∴△PAP∴PP∵12∴PB∴△P′PB取BP′的中点H，连接PH，则∴PH=BH=BP，∴△BPH是等边三角形，∴∠PBH=60°，∴∠PP∴∠AP∴∠AP∴∠APC=∠AP∴S△APC故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理的逆定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（

）A．50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=175【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【详解】解：二月份的产值为：501+x三月份的产值为：501+x故第一季度总产值为：50+501+x故选：D．3．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（

）A．(6074,1) B．(6075,1) C．(6076,2) D．(6077,2)【答案】D【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出P1【详解】解：∵A(3,0)，P(1,2)，根据题意点P也是绕正方形右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，过点P和点P1作PM⊥OA,则∠PAP∴∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△APM≌△P∴AM=P∴ON=5，∴第一次旋转后P1同理第二次旋转后P2第三次旋转后P3第四次旋转后P4第五次旋转后P5发现点P的位置4次一个循环，∵2025÷4=506...1P2025的纵坐标与P1相同为2，横坐标为∴P2025故选：D．4．如图，点P为双曲线y=12xx>0上一点，点A为x轴正半轴上一点，且OP=OA=5，则△POAA．7.5 B．10 C．7.5或12.5 D．7.5或10【答案】D【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，作PD⊥x轴于D，如图，设Pa,12a，根据勾股定理得a2+12a【详解】解：作PD⊥x轴于D，如图，设Pa,∴OD=a，PD=12∵OP=OA=5，OD∴a2整理得，a4解得a=4或a=3，∴P4,3或3,4当P4,3时，S当P3,4时，S综上，△POA的面积为7.5或10，故选：D．5．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B=∠ADE B．ACC．ABAD=AC【答案】B【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD∴∠BAC=∠DAEA、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合题意；B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意；C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合题意；D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合题意；故选：B．6．关于x的一元二次方程k2x2−2k+1A．k>−14 B．k≤−14且k≠0 C．k>−14且【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系．首先根据这是一个一元二次方程，可得二次项系数不为0，所以有k2≠0，再根据方程有两个实根可得4k+1≥0，解不等式组即可求出【详解】解：∵一元二次方程k2a=k2、b=−∴Δ===4=4k+1，∵方程有两个实数根，∴4k+1≥0解得：k≥−14且故选：D．7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（

）

A．56 B．53 C．2【答案】B【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到AD=BC=8，∠A=90°，再由折叠的性质得到AG=12AD=4，BE=EG，设AE=x【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠A=90°，∵矩形沿EF折叠，点B的对应点G正好落在AD的中点处，∴AG=12AD=4设AE=x，∵AB=6，∴BE=AB−AE=6−x=EG，在Rt△AEG中，由勾股定理得A即x2解得x=5∴AE=5故选：B．8．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的判定．证得∠CAF=∠FCA，则AF=CF，设D′F=x，则在Rt△AFD′【详解】解：∵ABCD是矩形，∴CD=AB，CD∥AB，BC=DA，∴∠DCA=∠CAF，由折叠可得CD=CD′，AD=AD∴∠CAF=∠ACF，AB=CD′，∴AF=CF，∴D′F＝设D′F=x，则AF=8−x，在Rt△AFD′解之得：x=3，∴AF=AB−FB=8−3=5，∴S△AFC故选：C．9．已知正比例函数y1=mxm≠0的图象与反比例函数y2=nxA．x<−1或x>1 B．x<−1或0<x<1C．−1<x<1 D．−3<x<0或0<x<3【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数y1=3x，反比例函数【详解】解：∵正比例函数y1=mxm≠0的图象与反比例函数y∴m=3，n=1×3=3，∴正比例函数y1=3x，反比例函数画出函数图象如图所示：

由图象可得：不等式y1<y2的解集为故选：B．10．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将△ABE绕点B按顺时针旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE，下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA=DE，则CF=FG；其中正确的结论是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】A【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识．设AF交BC于K，由∠ABK=90°及将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12【详解】解：设AF交BC于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABK=90°，∴∠KAB+∠AKB=90°，∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，∴∠KAB=∠BCG，

∵∠AKB=∠CKF，∴∠BCG+∠CKF=90°，∴∠KFC=90°，∴AF⊥CG，故①正确；∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，又∵∠BEF=90°，∴四边形BEFG是矩形，又∵BE=BG，∴四边形BEFG是正方形，故②正确；如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA=DE，DH⊥AE，∴AH=1∴∠ADH+∠DAH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠EAB=90°，∴∠ADH=∠EAB，又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，∴△ADH≌△BAE(AAS∴AH=BE=1∵将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE=CG，∵四边形BEFG是正方形，∴BE=GF，∴GF=1∴CF=FG，故③正确；∴正确的有：①②③，故选：A．11．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD:AB=AE:AC，即x:6=(12−2x):12，解得：x=3；②若△ADE∽△ACB，则AD:AC=AE:AB，即x:12=(12−2x):6，解得：x=4.8；综上所述：当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故选：A12．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、DA．122023 B．122024 C．【答案】D【分析】本题考查正方形的性质．根据题意，先求出B2【详解】解：∵正方形A1B1C∴∠∴∴∴同理可得BB……∴正方形A2024B2024故选：D．13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③4S△HGF=9S△FDEA．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】由矩形的性质得AB=6,BC=10，由折叠得∠FBE=∠CBE=12∠CBF，∠HBG=∠ABG=12∠ABF则∠EBG=∠FBE+∠HBG=1【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10，∴CD=AB=6,AD=BC=10,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，∴由折叠得∠FBE=∠CBE=12∠CBF∴∠EBG=∠FBE+∠HBG=1∵∠BFE=∠C=90°，∠BHG=∠A=90°，点F在AD上，点H在∴∠DEF=∠HFG=90°−∠DFE，∴∠D=∠FHG，∴△DEF∽△HFG，故②正确；∵根据折叠可知：AB=BH=6，BC=BF=10，∴在Rt△ABF中，AF=∴DF=10−8=2，HF=10−6=4，设AG=HG=x，∴GH2+HF2∴AG=HG=3，∴S△FHG设EF=CE=y，∴DE2+DF2∴S△FDE∴S△HGF∴4S∵AG+DF=3+2=5，FG=10−AG−DF=10−3−2=5，∴AG+DF=FG，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得FH=4及AF=8是解题的关键．14．如图，矩形ABCD中，AB=23，AD=8，点E在边AD上，且AE:ED=1:3．动点P从点A出发，沿射线AB运动．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，连接PF．设M是线段PF的中点，则在点P运动的整个过程中，线段DM的最小值是（

A．5 B．27 C．32 【答案】A【分析】由四边形ABCD为矩形以及AE:ED=1:3得∠ABE=30°,∠EBC=60°，连接EM,BM，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得M在BE的垂直平分线上运动，故当DM与垂直平分线垂直时，DM最小，过点M作MQ⊥AD于点Q，过点M作MR⊥AB于点R，则四边形ARMQ为矩形，故MR=AQ，AR=QM，QM∥AR，BS=BTcos∠ABE=433，设BR=x，则QM=AR=23+x，MR=AQ=SR⋅tan∠BST=3433【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=23，AD=8∴CD=AB=23，BC=AD=8,∠ABC=∠BCD=90°∵AE:ED=1:3，∴AE=2,ED=6，连接BE，如图所示：∴BE=AE2∵sin∠ABE=∴∠ABE=30°,∠EBC=60°，连接EM,BM，如图所示：∵M是线段PF的中点，，∴EM=BM=1∴M在线段BE的垂直平分线上运动，∴当DM与线段BE的垂直平分线ST垂直时，DM最小，如图：过点M作MQ⊥AD于点Q，过点M作MR⊥AB于点R，∴四边形ARMQ为矩形，∴MR=AQ，AR=QM，QM∥AR，此时BT=1∴在Rt△BST中，BS=设BR=x，则QM=AR=23∵∠ABE=30°，∴∠BST=60°，∴MR=AQ=SR⋅tan∴QD=AD−AQ=4−3∵QM∥AR，∴∠TMQ=∠BST=60°，∵DM⊥SM，∴∠QMD=30°，∴QM=3∴23解得：x=3∴QD=4−3∴MD=2QD=5，故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定D所在的轨迹以及DM最小值的位置．15．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④若点−1.5,y1

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象开口方向，与坐标轴交点的特征，对称轴特征，是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系．与坐标轴交点的特征，对称轴特征，一一判断即可．【详解】∵抛物线对称轴是直线x=−1，经过1,0，∴−b∴b=2a，∵a>0，∴b>0，∴abc<0，故①错误，∵抛物线对称轴是直线x=−1，经过1,0，可知抛物线与x轴还有另外一个交点为−3,0，∴抛物线与x轴有两个交点，∴b2故②正确，∵抛物线与x轴交于−3,0，∴9a−3b+c=0，故③正确，∵点−1.5,y1，−2,y2均在抛物线上，且当x<−1时，∴y1故④错误，∵5a−2b+c=5a−4a−3a=−2a<0，故⑤正确．∴正确的有②③⑤，共3个．故选：B．16．已知点A1,y1，B2,y2，C3,y3，D4,a2+c都在二次函数y=aA．a<−8或a>4 B．a<−8或a>8C．a<−4或a>8 D．a<−4或a>4【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得y1=a+b+c，y2=4a+2b+c，y3=9a+3b+c，a2+c=16a+4b+c，再根据【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c过点A1,y1，∴y1=a+b+c，y2=4a+2b+c，∴a2=16a+4b，即有∵y1∴a+b+c<4a+2b+c<9a+3b+c，∴b>−3ab>−5a当a>0时，b>−3a，∴a2−16a4当a<0时，b>−5a，∴a2−16a4综上可知：a的取值范围是a<−4或a>4，故选：D．17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BD⊥CD．记∠CBD=α，∠BAD=β．若4α=β，tanα=13，则BCA．1255 B．1225 C．【答案】D【分析】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点A作AE⊥BD于E，作∠DAE的角平分线AF交BD于F，过点F作FG⊥AD于G，由题意可得∠EAF=∠DAF=α，DF=x，EF=y，由tanα=13得到AE=3y，再证明△AEF≌△AGFAAS，得到EF=GF=y，AE=AG=3y，进而得到DG=3−3y，由sin∠ADE=AEAD=FGDF可得3y3=yx，求得x=1，DF=1，再勾股定理可得【详解】解：过点A作AE⊥BD于E，作∠DAE的角平分线AF交BD于F，过点F作FG⊥AD于G，则∠AEF=∠AGF=∠FGD=90°，∵AE⊥BD，AB=AD，BD⊥CD，∴BE=DE，∠DAE=12∠BAD=∵AF平分∠DAE，∴∠EAF=∠DAF=1设DF=x，EF=y，∵tanα=∴EFAE∴AE=3EF=3y，在△AEF和△AGF中，∠AEF=∠AGF=90°∠EAF=∠DAF∴△AEF≌△AGFAAS∴EF=GF=y，AE=AG=3y，∴DG=3−3y，∵sin∠ADE=∴3y3∴x=1，∴DF=1，在Rt△DGF中，D∴3−3y2∴y1=1，当y1=1时，∴y1∴y=4∴EF=4∴DE=1+4∴BD=2DE=2×9∵CDBD∴CD=1∴BC=B故选：D．18．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，则a的值是()A．4 B．83 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=−1ax2+a+5【详解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，过E作EF⊥AE，∴∠CEF=90°−∠AEB=∠BAE，∠C=∠B=90°∴△ABE∽△ECF，∴ABBE∴ax−a∴y=−1a∴当x=−b2a=a+52解得a1=3，a2=253故选C．19．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作Rt△PBQ，使得∠BPQ=90°，BP=32PQ，连接CQ，则A．1213 B．2513 C．239【答案】D【分析】过点Q作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，证明△APB∽△MQP，设QM=x，根据相似三角形的相似比，用x表示AP，并求得PM，进而根据勾股定理，用x表示CQ2，根据二次函数的性质求得CQ【详解】解：过点Q作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，如图所示：∴∠A=∠PMQ=∠CNQ=90°，AB=MN=3，∵∠BPQ=90°，∴∠APB+∠MPQ=∠MPQ+∠PQM=90°，∴∠APB=∠MQP，∴△APB∽△MQP，∴APMQ设MQ=x，则NQ=3−x，∵BP=3∴APx∴AP=32x∴CN=DM=AD−MP−AP=4−2−3∴C==13∵13当x=2413时，CQ∴CQ长的最小值为2513故选：D【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．如图，AB是⊙O一条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C，连结BC，若AB=2，BC=1，则AC的长为（

）A．235 B．345 C．【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长AC交⊙O于点D，过点B作BH⊥AD于点H，连结BD，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到BC=BD，即BC=BD=1，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ABD=90°，利用勾股定理求出AD的长，进一步求出AH和DH的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到【详解】延长AC交⊙O于点D，过点B作BH⊥AD于点H，连结BD，∵BC和BD是圆周角∠A所对的弧，∴BC∴BC=BD=1，∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴AD=A∵AB×BD=AD×AH，∴AH=AB×BD∴DH=B∴BC=BD，BH⊥AD，∴CH=DH=5∴AC=AD−CH−DH=5故选：C．21．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和DA的中点，顺次连接EF，FG，GH和A．30 B．35 C．40 D．60【答案】A【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到EF∥HG，EF=HG=先根据三角形中位线得到EF∥HG，EF=HG=12【详解】解：∵点E，F分别为边AB，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∵AC=10，∴EF=1同理可得：HG∥AC，∴EF∥同理可得：EH∥∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH=90°，∴平行四边形EFGH是矩形，∴矩形EFGH的面积为：6×5=30，即四边形EFGH的面积为30．故选：A．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题22．如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1x(x>0)的图象上，点C在函数y=−9x(x<0)的图象上，若点B的横坐标为−1【答案】3【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，构造K字形相似，由面积比得出相似比为3，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、【详解】解：如图，过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，∵点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数∴S△OCE=−9∵CE⊥x轴，∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，∵在矩形OABC中，∠AOC=90∴∠AOF+∠COE=90°，∴∠AOF=∠OCE，又∵∠CEO=∠OFA=90°，∴△AOF∽△OCE，∴CEOF∴CE=3OF，OE=3AF，设点A的坐标为a,1a，则点C的坐标为连接AC，OB交于点P，则点P为AC，OB的中点，又∵点B的横坐标为−1∴a+−解得a=−1（不合题意，舍去）或a=3∴点A的坐标为32故答案为：3223．如图，Rt△ABO中，∠OAB=Rt∠，点A在x轴的正半轴，点B在第一象限，函数y=kx（k>0，x>0）的图象与边AB，OB分别交于点C,D，若S△BCD=1【答案】24【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键．根据题意，连接CD，过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥x于点F，可得OD=2BD，可证△ODF∽△OBA，得到ODOB=OFOA=23，设B3m,3n，则D2m,2n，点C3m,【详解】解：如图所示，连接CD，过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥x于点F，∴S△BCD=1∴OD=2BD，∵∠OAB=90°，∴OA⊥BA，且点A,C,B三点共线，∴点A,C,B三点的横坐标都相同，∴DF∥AB，∴△ODF∽△OBA，∴ODOB设B3m,3n，则D∵点D在反比函数图象上，∴k=4mn，即y=4mn∵点A,C,B三点的横坐标都相同，∴点C的横坐标为3m，∴点C的纵坐标为y=4mn∴点C3m,∴S==5∴52解得，mn=6∴k=4mn=4×6故答案为：24524．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC边上．若AC=6，AD=2，则△BDF周长为，CECF的值为【答案】1045【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BD+DF+BF=BD+BC=10，AE+DE+AD=AC+AD=8，再证明△AED∽【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵AD=2，∴BD=4，由折叠的性质可知：CE=DE，CF=DF，∠EDF=∠C=60°，∴BD+DF+BF=BD+BC=10，即△BDF周长为10，同理：AE+DE+AD=AC+AD=8，∵∠EDF=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠FDB+∠EDA=∠AED+∠EDA=120°，∴∠FDB=∠AED，∵∠B=∠A=60°，∴△AED∽∴AE∴AE+AD+ED∴CECF故答案为：10，45【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．25．设α，β是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则α3【答案】2024【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解等知识点，根据根与系数的关系可以求出α+β=1，根据方程的解得出α2−α−2024=0，将α3−2026α−β+1可化为【详解】∵α，β是方程x2∴α+β=1，α2∴α2∴α∴α=α==α+2024−2α−β+1=−=−1+2025=2024，故答案为：2024．26．如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是【答案】2【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．作E关于AC的对称点E′，过E′作AB的垂线，垂足为G，与AC交于点P′，此时PE+PM的最小值，其值为E′G．根据AD2【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC=6，BD=62∴AD=3作E关于AC的对称点E′，过E′作AB的垂线，垂足为G，与AC交于点P′，此时PE+PM∵12⋅AC⋅BD=AB⋅∴12∴E∴PE+PM的最小值为26故答案为：2627．如图，A，B两点分别在反比例函数y=−3x(x<0)和y=kxx>0图象上，连接OA，OB【答案】1【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出OF=13AE,BF=13【详解】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．∵OA⊥OB，∴∠AOE+∠BOF=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BOF=∠OAE，∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴AE∴OF=1∴OF⋅BF=1∵A点在反比例函数y=−3∴AE⋅OE=3，∴OF⋅BF=1∴k=1故答案为：1328．如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M,N，反比例函数y2=k2x（k2【答案】6【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用k的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．根据反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于k2，数形结合可以得到S△AOM=k12,【详解】解：∵矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k∴由反比例函数中k的几何意义知，S△AOM∵矩形OABC与反比例函数y2=k2x（k∴由反比例函数中k的几何意义知，S矩形∵四边形OMBN的面积为3，∴由图可知，S矩形即k2=k∴2k故答案为：6．29．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为1:3，OA=2，则OD的长为．【答案】6【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得ACDF=13，【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为1:3，∴ACDF=1∴△OAC∽△ODF，∴ODOA∵OA=2，∴OD2解得OD=6，故答案为：6．30．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高7米的电线杆CD，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为米．

【答案】3【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键．如图：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式AMME=CNNG，即【详解】解：如图：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．由题意得：四边形EFBM,GHDN是矩形，则MB=EF=2m，ND=GH，ME=BF=10m，∵AB=10m∴AM=AB−MB=10−2=8m，由平行投影可知：AMME=CN解得：GH=3．故答案为：3．31．如图，在矩形ABCD中，AD=13，CD=12，点E，F分别在BC，CD上，BE=5，CF=6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH，则GH的长为．【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，连接BG，并延长交AD与N，连接NF，由矩形的性质得出AD∥BC，∠D=90°，证明△AGN≌△EGBASA得出AN=BE=5，BG=GN【详解】解：如图，连接BG，并延长交AD与N，连接NF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAG=∠BEG，∵点G是AE的中点，∴AG=EG，∵∠AGN=∠BGE，∴△AGN≌△EGBASA∴AN=BE=5，BG=GN，∴DN=AD−AN=13−5=8，∵CD=12，CF=6，∴DF=DC−CF=6，∴NF=D∵H是BF的中点，BG=GN，∴GH是△BNF的中位线，∴GH=1故答案为：5．32．如图、在△ABC中，∠A=60°,AB=6,AC=4，点D是AC边上的中点，点E是AB边上的动点，把△ADE沿DE所在直线折叠，点A落在点A′处，则点A′【答案】2【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理以及运用三角函数解三角形等，了解当A′点落在线段BD时，点A′到点B之间距离的最小是解题的关键．通过折叠确定点的轨迹，得出A′点落在线段BD时，点A′到点B之间距离的最小，再由勾股定理求出【详解】∵点D是AC边上的中点，AC=4，∴AD=DC=2，∵把△ADE沿DE所在直线折叠，点A落在点A′∴A∴点A′是在以D为圆心，2连接BD，过D作DF⊥AB，交点为F，∵∠A=60°∴AF=AD·cos∴DF=A∴BF=AB−AF=6−1=5，∴BD=D∵点B在圆外，A′∴点A′到点B之间距离的最小值是BD−故答案为：2733．如图，抛物线y=x2−4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF【答案】58−1/【分析】先求出C0，3，B3，0，D4，3，作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′交y轴于E′，连接DE′【详解】解：在y=x2−4x+3中，当x=0时，y=3，当y=0解得x1=1，∴C0，3∵y=x∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，∴D4如图，作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′交y轴于E，由轴对称的性质可得：D′−4，∴当D′、E′、F在同一直线上时，DE+EF最小，此时∵BD′=∴BD∴DE+EF的最小值为58−1故答案为：58−1【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．34．如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点（不与△ABC的顶点重合），连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．

【答案】433【分析】根据等边三角形的性质，结合∠BDF+∠BEF=180°，得到∠DFE=120°，对顶角相等，得到∠AFC=120°，进而得到点F在以O为圆心，OA的长为半径，且∠AOC=120°的圆弧上运动，连接OA,OC,OB,OF，则：OA=OC=OF,BF≥OB−OF，证明△AOB≌△COB，得到△AOB为含30度角的直角三角形，进行求解即可．【详解】解：∵等边△ABC，∴∠ABC=60°，AB=BC，∵∠BDF+∠BEF=180°，∴∠DFE+∠ABC=360°−∠BDF+∠BEF∴∠DFE=120°，∴∠AFC=120°，∴点F在以O为圆心，OA的长为半径，且∠AOC=120°的圆弧上运动，如图，连接OA,OC,OB,OF，则：OA=OC=OF,BF≥OB−OF，

∵AB=BC，OB=OB,OA=OC，∴△AOB≌△COB，∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC=30°∴∠BAO=90°，∴BO=2AO，AB=3∴AO=4∴BO=2OA=833∴BF≤433，即：BF故答案为：43【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点F的运动轨迹．35．如图，分别以等边△ABC的顶点A,B,C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为2π，则莱洛三角形的面积为．【答案】2π−2【分析】本题考查等边三角形的性质，圆的面积与周长．根据题意可把莱洛三角形的周长可转化为半径为AB的圆的周长的一半，进而求出等边三角形的边长，而其面积看成半径为AB的圆的面积的一半减去两个等边三角形的面积即可．【详解】解：∵莱洛三角形的周长可转化为半径为AB的圆的周长的一半∴12∴AB=2，即等边△ABC的边长为2，如图所示，过点A作AM⊥BC于M，则BM=1∴AM=A∴莱洛三角形的面积为12故答案为：2π−2336．如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，点E，G分别在边AB,CD上，且AE=CG，点F在边BC上，连接EF,BG，若BF=2，则EF+BG的最小值为.

【答案】65【分析】如图，连接DE，作D关于AB的对称点D′，连接D′F交AB于E′，连接DE′，证明四边形BEDG为平行四边形，可得BG=DE，当D′，E，F三点共线时，D′E+EF=D′【详解】解：如图，连接DE，作D关于AB的对称点D′，连接D′F交AB于E

由轴对称的性质可得：DE=D′E，D∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∵AE=CG，∴BE=DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG=DE，∴EF+BG=EF+DE=EF+D∴当D′，E，FD′E+EF=D过F作FH⊥AD于H，则四边形ABFH为矩形，∴FH=AB=4，AH=BF=2，∴D′∴D′故答案为：65【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．37．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=4，则【答案】2【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD∥BC，AB=AD=BC=4，进而证明△PDH≌△CFHAAS，根据全等三角形的性质得到PD=CF=2【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD∥BC，∵E，F分别是边∴AE=CF=1∵AD∥∴∠DPH=∠FCH，∵H是DF的中点，∴DH=FH,在△PDH和△CFH中，∠DPH=∠FCH∠PHD=∠CHF∴△PDH≌△CFHAAS∴PD=CF=2，∴AP=AD−PD=2，∴PE=2∵点G，H分别是∴GH=1故答案为：2．38．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC=3，CE=1，M是AF的中点，那么CM的长是．【答案】5【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键．连接AC和CF，先证明△ACF是直角三角形，利用勾股定理分别求出AC，CF和AF的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出CM=1【详解】连接AC和CF，如图所示：∵四边形ABCD和CEFG是正方形，BC=3，CE=1∴∠ACD=∠ACB=∠GCF=∠FCE=45°，AB=BC=3，CE=EF=1，∠ABC=∠FEC=90°∴∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°，AC=CF=∴AF=∵∠ACF=90°，M是AF的中点∴CM=故答案为：5．39．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，若四边形ABFE的面积为6，则线段DE的长为【答案】7【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接BB'交EF于O，过点F作FG⊥AD于G．根据四边形ABFE的面积为6，得到AE+BF=3，设AE=x，利用翻折特征，得到BB′⊥EF，证明△EGF≌B′【详解】解：连接BB′交EF于O，过点F作FG⊥AD于∵四边形ABCD为正方形，∴四边形ABFE是梯形，∴四边形ABFE的面积为S四边形ABFE=∴AE+BF=3，设AE=x，则BF=3−x，FC=BC−BF=4−(3−x)=1+x，∵AD∥BC，FG⊥AD，∴四边形GDCF为矩形，∴GD=FC=1+x，∴EG=AD−AE−GD=4−x−(1+x)=3−2x,∵四边形GDCF为矩形，∴∠EFB+∠EFG=90°,∵点B′是点B沿着EF∴BB∴∠B∴∠EFG=∠B′BC，又FG=CD=BC∴△EGF≌B∴B′在Rt△FB′B′F2解得x=1∴DE=AD−AE=4−1故答案为：72三、解答题40．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，A，E，B三点共线，AD=4，AG=22．将正方形AEFG绕点A顺时针旋转α(0°≤α≤45°)，连接BE，DG(1)如图2，求证：BE=DG；(2)如图3，在旋转的过程中，当D，G，E三点共线时，试求DG的长；(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得∠DGA=120°，若存在，请直接写出DG的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)DG=23(3)存在某时刻，使得∠DGA=120°，DG=10【分析】（1）由四边形ABCD和AEFG是正方形，得AB=AD，∠DAB=90°，AE=AG，∠EAG=90°，证明△ABE≌△ADGSAS（2）连接AF，交GE于点O，由正方形的性质可得AE=EF=22，∠AEF=90°，AO=GO=12（3）过点A作AH⊥DG，交DG的延长线于点H，求得∠HGA=60°，∠GAH=30°，则GH=12AG=2，由勾股定理得【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，AE=AG，∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠BAE=∠DAG∴△ABE≌△ADGSAS∴BE=DG；（2）解：如图3，连接AF，交GE于点O，∵四边形AEFG是正方形，AG=22∴AE=EF=22，∠AEF=90°，AO=GO=12∴AF=A∴AO=FO=2，∵D、E，G三点共线，AD=4，∴在Rt△ADO中，OD=∴DG=OD−OG=23（3）解：存在某时刻，使得∠DGA=120°，DG=10如图2，过点A作AH⊥DG，交DG的延长线于点H，∵∠DGA+∠HGA=180°，∠DGA=120°，∴∠HGA=60°，∵AH⊥DG，∴∠HGA+∠GAH=90°，∴∠GAH=90°−∠HGA=30°，∴GH=1∴AH=A在Rt△ADH中，AD=4∴DH=A∴DG=DH−GH=10【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，30°所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．41．【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF．若∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG．易证：△AEF≌△AEG．（1）根据以上信息，填空：①∠EAG=_______°；②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为_______；【迁移探究】（2）如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，点F在射线DC上，∠EAF=45°，猜想线段BE、EF、DF之间的数量关系，请证明你的结论；【拓展探索】（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为32,∠EAF=45°，连接BD分别交AE、AF于点M、N，若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM，求线段【答案】（1）①45；②BE+DF=EF；（2）BE+EF=DF．证明见解析；（3）MN=2.5【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键．（1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得∠ABG=∠D=∠ABE=90°，∠GAB=∠FAD，AG=AF，BG=DF，进而可得G、B、E共线，∠EAG=45°，证明△EAF≌△EAGSAS得到EF=EG（2）在图2中，在DC上截取DH=BE，连接AH，先证明△ABE≌△ADHSAS，得到AE=AH,∠BAE=∠DAH，则可得∠EAF=∠FAH=45°，再证明△EAF≌△HAFSAS得到（3）将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接KM，先求得BD=6，则由已知得BM=2,DM=4，由旋转可得，△ADN≌△ABK,∠KAN=90°，易证∠KBM=90°，证明△AMK≌△AMN得到KM=MN，设MK=MN=x，则BK=DN=4−x，利用勾股定理列方程求解x值即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG．则∠ABG=∠D=∠ABE=90°，∠GAB=∠FAD，AG=AF，BG=DF，∴G、B、E共线，∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=45°，在△EAF和△EAG中，AF=AG∠EAF=∠EAG∴△EAF≌△EAGSAS∴EF=EG，∵BE+BG=EG，∴BE+DF=EF，故答案为：①45；②BE+DF=EF；（2）解：BE+EF=DF．证明如下：如图2，在DC上截取DH=BE，连接AH，在△ABE和△ADH中，AB=AD∠ABE=∠D∴△ABE≌△ADHSAS∴AE=AH,∠BAE=∠DAH，∴∠BAE+∠BAH=∠BAH+∠DAH=90°，即∠EAH=∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAH=45°，在△EAF和△HAF中，AE=AH∠EAF=∠HAF∴△EAF≌△HAFSAS∴EF=HF，∵DH+HF=DF，∴BE+EF=DF，（3）将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接KM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=32,∠BAD=90°，∴BD=∴BM=1由旋转可得，△ADN≌△ABK,∠KAN=90°，∴AK=AN,BK=DN,∠ABK=∠ADB=45°，∴∠KBM=∠ABK+∠ABD=90°∵∠KAN=90°,∠MAN=45°，∴∠KAM=∠MAN=45°，又∵AM=AM，∴△AMK≌△AMN，∴KM=MN，设MK=MN=x，则BK=DN=4−x，在Rt△BMK中，B∴(4−x)解得x=2.5，∴MN=2.5．42．课本再现证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．结论证明（1）为了证明该命题，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1求证：∠BAC=30°．证明：如图1，延长BC到点D，使得CD=BC，连接AD．……知识应用（2）如图2，四边形ABCD是一张矩形纸片，将纸片折叠得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠△ADP，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：∠DAP=∠PAM=∠MAB=30°．拓展提升（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），E在边AD上，且AE=52，将△APE沿PE折叠，点A落在点A′；将△CBP沿CP折叠，点B落在点B′处，且P，A′，B′三点在同一条直线上，A，B′，C三点在同一条直线上，AC【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CF=【分析】（1）先证明△ACD≌△ACB，