北师版八年级数学上册期末复习考点 清单01 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单01勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】用勾股定理解三角形

【典例1】若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（

A．3 B．9 C．6 D．36【变式1-1】如图，∠C=∠ABD=90°，AD=13，BD=12，BC=3，则AC的长等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】如图，在△DEF中，∠DEF=90°,DE=3,EF=2，以点F为圆心，EF长为半径作圆弧交DF于点H，则DH的长为（

）A．13 B．2 C．13−2 D．【变式1-2】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于点D，DC=2，则BD=．【考点题型二】已知两点坐标求两点距离

【典例2】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为3,0,(0,4)，则线段ABA．3 B．4 C．5 D．以上答案都不对【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A2,−4A．2 B．4 C．23 D．【变式2-2】在平面直角坐标系中，点P(6,8)到原点的距离是（

）A．2 B．5 C．10 D．2【变式2-3】在直角坐标平面内点A2，−1与点B【考点题型三】勾股树(数)问题【典例3-1】下列各组数据不是勾股数的是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10【典例3-2】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是．【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11【变式3-2】如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按此规律，则S2024的值为

【考点题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积【典例4】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式4-1】如图，已知△ABC中∠ACB=90°，以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，以AB、BC为直径的半圆面积分别为9和5，则以AC为直径的半圆面积为【变式4-2】图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为5cm，则图中所有正方形的面积的和是（

A．50cm2 B．75cm2 C．【变式4-3】如图，已知Rt△ABC的斜边AB=5，分别以直角边BC、AC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，则S【考点题型五】勾股定理与折叠问题

【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，把Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在AB边的点E处，则AD的长为（A．1.5 B．2.5 C．3 D．5【变式5-1】如图，直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE．则CE的长是（

）

A．247 B．73 C．74【变式5-2】如图所示，有一张长方形纸片ABCD，AB=8，AD=6．现折叠该纸片使得AD边与对角线DB重合，折痕为DG，点A落在F处，求AG=．【变式5-3】如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为线段AB的中点，连接CE，点F在边AD上，连接CF，将△CDF沿CF翻折得到△CGF，点G在线段CE上，则AF的长为【考点题型六】利用勾股定理证明线段平方关系

【典例6】如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．

(1)试判断AD与BE的大小关系，并说明理由；(2)试说明AD

【变式6-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【变式6-2】在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【变式6-3】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．【考点题型七】以弦图为背景的计算题

【典例7】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c求证：a2证明：由图可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH边长为______，∴c即a2【深入思考】如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E（2）求证：DE=a，BE=b；（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2【实际应用】（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．【变式7-1】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么a+b2的值是（

A．25 B．20 C．16 D．12【变式7-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+A．103 B．4 C．5 D．【变式7-3】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积

【考点题型八】勾股定理与无理数

【典例8】如图，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在数轴上，以原点O为圆心，斜边OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（

A．5 B．−5 C．−2 【变式8-1】如图，在数轴上以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点B′，则点B′所表示的数为【变式8-2】如图，数轴上的点A表示的实数是．【变式8-3】如图，矩形ABCD的边AB在数轴上，其中点A，B分别表示数−1，2，BC=2，以点B为圆心，BD长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为．【考点题型九】勾股定理的逆定理运用

【典例9】小明家有一块四边形地ABCD（如图），已知其周长为32m，其中AB=3m,BC=4m，【变式9-1】为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°,AB=9m,DA=12m【变式9-2】网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，完成下列问题：(1)AB=______；BC=______；AC=______；(2)求△ABC的面积(3)求AB边上的高【变式9-3】如图，某公园有一块四边形空地ABCD，公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪，AC处修一条小路．已知AB=10米，BC=CD=20米，AD=30米，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．

【考点题型十】勾股定理的实际应用

【典例10】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【变式10-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【变式10-2】如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子BC的长为13

(1)开始时，小船距岸A的距离为_______m；(2)若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD【变式10-3】如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断AB⊥CD，树顶C落在离树根B15m处，工作人员要查看断痕A处的情况，在离树根B有6m的D处架起一个长10m的梯子AD【变式10-4】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km的B处有一台风中心，沿BD方向以15 km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A【变式10-5】交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO=100米，∠PBO=45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：2≈1.4,【考点题型十一】平面展开图-最短路径问题【典例11】直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点【变式11-1】一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为20cm，A，B【变式11-2】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形，求一只蚂蚁从点A(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC；(2)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．【变式11-3】如图，圆柱形容器的高为0.7m，底而周长为4.8m，在容器内壁离容器底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.1m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？

清单01勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】用勾股定理解三角形

【典例1】若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（

A．3 B．9 C．6 D．36【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：另一条直角边的长是102故选：C【变式1-1】如图，∠C=∠ABD=90°，AD=13，BD=12，BC=3，则AC的长等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出AB，再利用勾股定理求出AC，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键【详解】解：∵∠ABD=90°，AD=13，BD=12，∴AB=A∵∠C=90°，BC=3，∴AC=A故选：D【变式1-1】如图，在△DEF中，∠DEF=90°,DE=3,EF=2，以点F为圆心，EF长为半径作圆弧交DF于点H，则DH的长为（

）A．13 B．2 C．13−2 D．【答案】C【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理求出DF=DE2+EF【详解】解：在△DEF中，∠DEF=90°,DE=3,EF=2，∴DF=D∵以点F为圆心，EF长为半径作圆弧交DF于点H，∴FH=EF=2，∴DH=DF−FH=13故选：C【变式1-2】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于点D，DC=2，则BD=．【答案】6【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出AD=AC−CD=8，再利用勾股定理可得BD=A【详解】解：∵AB=AC=10，∴AD=AC−CD=8，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=故答案为：6．【考点题型二】已知两点坐标求两点距离

【典例2】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为3,0,(0,4)，则线段ABA．3 B．4 C．5 D．以上答案都不对【答案】C【分析】此题主要考查了勾股定理，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出AB的长即可．【详解】解：∵点A、B的坐标分别为3,0,(∴AO=3,BO=4，∴AB=O故选：C．【变式2-1】在平面直角坐标系中，点A2,−4A．2 B．4 C．23 D．【答案】D【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案．【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：2−02故选：D．【变式2-2】在平面直角坐标系中，点P(6,8)到原点的距离是（

）A．2 B．5 C．10 D．2【答案】C【分析】本题主要考查了点的坐标，勾股定理，解题关键是掌握点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．根据勾股定理求出点到坐标原点的距离．【详解】解：已知P(6,8)，则点P到坐标原点的距离为62故选：C．【变式2-3】在直角坐标平面内点A2，−1与点B【答案】2【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点Ax1，y1【详解】解：∵A2，−1∴点A和点B的距离=2−故答案为：25【考点题型三】勾股树(数)问题【典例3-1】下列各组数据不是勾股数的是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10【答案】A【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．【详解】解：A、∵22∴不是勾股数，故此选项符合题意；B、∵32∴是勾股数，故此选项不符合题意；C、∵52∴是勾股数，故此选项不符合题意；D、∵62∴是勾股数，故此选项不符合题意；故选：A．【典例3-2】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是．【答案】215【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为g，根据题意，运用勾股定理可得，g2=a2+b2，正方形G的面积是正方形A、B的面积和，同理可得，正方形E的面积是正方形G、F【详解】解：如图所述，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为g，∴根据题意可得，a2=16，b∴g同理可得，正方形E的面积是正方形G、F的面积和，所以正方形F的面积=162同理可得，正方形F的面积是正方形C、D的面积和，所以正方形F的面积=231−4故答案为：215【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11【答案】C【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可．【详解】解：A、22B、72C、62D、52故选C．【变式3-2】如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按此规律，则S2024的值为

【答案】1【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．根据勾股定理可得DE2+CE2=DC【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，

则CE=DE,DE∴2DE即S2同理可得：S3∴S故答案为：12【考点题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积【典例4】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到c的面积=b的面积−a的面积．【详解】解：如图，∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE∠ACB=∠DEC∴△ABC≌△CDE(AAS∴BC=DE，∴根据勾股定理得，得AB∴c的面积=b的面积−a的面积=13−5=8．故选：C．【变式4-1】如图，已知△ABC中∠ACB=90°，以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，以AB、BC为直径的半圆面积分别为9和5，则以AC为直径的半圆面积为【答案】4【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出AB2=AC【详解】解：∵△ABC中∠ACB=90°，∴AB2∵以AB、∴π×(即18∴以AC为直径的半圆面积为：π×(故答案为：4．【变式4-2】图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为5cm，则图中所有正方形的面积的和是（

A．50cm2 B．75cm2 C．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义解答即可．熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：直角三角形两直角边所对应的两个正方形的面积之和等于斜边所对应的正方形的面积，则图中所有正方形的面积的和为52故选：A．【变式4-3】如图，已知Rt△ABC的斜边AB=5，分别以直角边BC、AC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，则S【答案】25【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出AB的平方即为S1【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，A∵AC∴S1故答案为：25．【考点题型五】勾股定理与折叠问题

【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，把Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在AB边的点E处，则AD的长为（A．1.5 B．2.5 C．3 D．5【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出AB=AC2+BC2=42【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3∴AB=A根据折叠可知：BE=BC=3，DE=CD，∴AE=5−3=2，设DE=CD=x，则AD=4−x，根据勾股定理得：AD∴4−x2解得：x=1.5，∴AD=4−1.5=2.5，故选：B．【变式5-1】如图，直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE．则CE的长是（

）

A．247 B．73 C．74【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设CE=x，再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8−x，再根据勾股定理求出x的值．【详解】解：设CE=x，则AE=8−x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE=BE=8−x，在Rt△BCE中，即(8−x)2解得x=7故选：C．【变式5-2】如图所示，有一张长方形纸片ABCD，AB=8，AD=6．现折叠该纸片使得AD边与对角线DB重合，折痕为DG，点A落在F处，求AG=．【答案】3【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；先利用勾股定理求出BD，然后根据折叠的性质得到AD=DF=6，AG=GF，∠DFG=∠A=90°，求出BF，然后在Rt△BFG中，利用勾股定理构建方程，即可求出AG【详解】解：∵AB=8，AD=6，∠A=90°，∴BD=A由折叠得：AD=DF=6，AG=GF，∠DFG=∠A=90°，∴BF=BD−DF=10−6=4，∠BFG=90°，在Rt△BFG中，B∴42∴AG=3，故答案为：3．【变式5-3】如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为线段AB的中点，连接CE，点F在边AD上，连接CF，将△CDF沿CF翻折得到△CGF，点G在线段CE上，则AF的长为【答案】16【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得BE=5，CB=12，得出CE=13，因为CD=CG=10，所以EG=CE−CG=3，连接EF，设FD=FG=x，即可得到答案．【详解】解：连接EF，∵BE=5，CB=12，∴CE=13，CD=CG=10，EG=CE−CG=3，连接EF，设FD=FG=x，可得方程：AF代入数值可得：(12−x)2解得x=20∴AF=12−20故答案为：163

【考点题型六】利用勾股定理证明线段平方关系

【典例6】如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．

(1)试判断AD与BE的大小关系，并说明理由；(2)试说明AD【答案】(1)AD=BE，理由见解析(2)AD【分析】（1）证明△ACD≌△BCE即可；（2）根据（1）可得△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠ABC=∠A=∠CBE=45°，得到△DBE是直角三角形，根据勾股定理证明即可．【详解】（1）AD=BE．理由如下：∵△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∴∠ACD=∠BCE=90°−∠BCD．∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE．（2）AD由（1）可得△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ABC=∠A=∠CBE=45°，∴∠DBE=90°，∴BE∴AD【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出AD=BE．

【变式6-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【答案】17【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；【详解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案为：17．【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．

【变式6-2】在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【详解】∵S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知∴S1+S2=1∴S2+S3=2∴S3+S4=3∴S1+S2+S3+S4=4故选C【变式6-3】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．【答案】（1）a2【分析】（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与（2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D；（3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论．【详解】解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D；（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=∴a2∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2∴当△ABC为钝角三角形时，a2考点：三角形综合题；勾股定理．【考点题型七】以弦图为背景的计算题

【典例7】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c求证：a2证明：由图可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH边长为______，∴c即a2【深入思考】如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB，垂足为点E（2）求证：DE=a，BE=b；（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2【实际应用】（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若a=12，b=9，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．【答案】（1）12ab，a−b

（2）见解析

（3）见解析

【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．（1）依据题意得，S△ABC=12ab,（2）依据题意,通过证明△ABC≌△BDE,即可判断得解；（3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形ACED=S△ABC+（4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为108，可得AD+BD=108÷4=27.又设AD=x,故BD=27−x.又在△BCD中,BC²+CD²=BD²,则，求出x后可列式计算得解.【详解】(1)证明：由图可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH边长为a−b，∴c即a2故答案为：12ab，（2）证明:∵DE⊥BC,∴∠DBE+∠BDE=90°，∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABC=∠BDE，又∠C=∠BED=90°,AB=BD,∴△ABC≌△BDEAAS∴BC=DE=a,AC=BE=b；(3)证明：由题意，第一种方法：S梯形ACED=ab+1第二种方法：S==1∴1∴a²+2ab+b∴a²+b²=c²；(4)由题意,如图,∵“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长度为108,∴AD+BD=108÷4=27，设AD=x,则BD=27−x，在△BCD中,BC²+CD²=BD²∴a将a=12,b=9代入可得，9+x2∴x=7，∴小正方形的边长等于a−b=12−9=3∴风车的面积为：12【变式7-1】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么a+b2的值是（

A．25 B．20 C．16 D．12【答案】A【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得a2+b根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2【详解】解：如图，∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，设大正方形边长为c，∴c∴a∴直角三角形的面积是(13−1)÷4=3，又∵直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，∴1∴ab=6，∴(a+b)故选：A．【变式7-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+A．103 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=12求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y【详解】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3∴得出S1=8y+x，S2∴S1+x+4y=4，所以S2故选：B【变式7-3】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积【答案】21【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出AB=CD=2，从而得到S△ADC【详解】解：如图，根据题意得：BC=5,AC2=29，∠ABC=90°∴AB=A∴CD=2，∴S△ADC∴阴影部分的面积为29−4×2=21．故答案为：21

【考点题型八】勾股定理与无理数

【典例8】如图，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在数轴上，以原点O为圆心，斜边OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（

A．5 B．−5 C．−2 【答案】B【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出OB的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可．【详解】在Rt△OAB中，OA=2，AB=1∴OB=A∵以原点O为圆心，斜边OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，∴这个点表示的实数是−5故选：B．【变式8-1】如图，在数轴上以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点B′，则点B′所表示的数为【答案】2−1/【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出AB的长即可得到答案．【详解】解：由勾股定理得：AB=1以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点B′∴AB=A∵B′所表示的数为∴x的值为2−1故答案为：2−1【变式8-2】如图，数轴上的点A表示的实数是．【答案】5【分析】本题考查了实数与数轴，先根据勾股定理求出圆弧半径，再用−1减去半径即可得到答案．【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为22则点A表示的实数为1+5故答案为：1+5【变式8-3】如图，矩形ABCD的边AB在数轴上，其中点A，B分别表示数−1，2，BC=2，以点B为圆心，BD长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为．【答案】2−13/【分析】根据勾股定理求出BD，BP=BD，再利用数轴上两点间距离即可求出点P．【详解】解：∵BC=2，∴BD=2∴BP=13∴点P表示的数为：2−13故答案为：2−13【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，在数轴上表示无理数，其中利用距离求点是解题的关键．

【考点题型九】勾股定理的逆定理运用

【典例9】小明家有一块四边形地ABCD（如图），已知其周长为32m，其中AB=3m,BC=4m，【答案】这块地的面积是36m【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接AC，根据勾股定理先求出AC，再利用周长求出AD，根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形即可解答．【详解】解：连接AC，∵AB=3m，BC=4m在Rt△ABCAC=A∵四边形ABCD的周长为32m∴AB+BC+CD+DA=32m∴DA=32−AB−BC−CD=32−3−4−13=12m在△ACD中，ACCD∴AC∴△ACD为直角三角形，∴S答：这块地的面积是36m【变式9-1】为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°,AB=9m,DA=12m【答案】空地ABCD的面积114m【分析】连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判断得到Rt【详解】解：如图，连接BD，在Rt△ABD中，B在△CBD中，CD而82即BC∴△DBC为直角三角形，∴∠DBC=90°，S四边形答：空地ABCD的面积114m2【变式9-2】网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，完成下列问题：(1)AB=______；BC=______；AC=______；(2)求△ABC的面积(3)求AB边上的高【答案】(1)13(2)2.5(3)5【分析】本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可；（2）根据网格的特征，利用割补法列式作答；（3）运用等面积法，进行列式作答即可．【详解】（1）解：AB=故答案为：13（2）解：△ABC的面积=3×3−1（3）解：△ABC的面积=2.5=1即AB边上的高=2.5×2【变式9-3】如图，某公园有一块四边形空地ABCD，公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪，AC处修一条小路．已知AB=10米，BC=CD=20米，AD=30米，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】100+1005【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．在△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由勾股定理逆定理判断△ACD的形状，由三角形面积公式求得四边形ABCD的面积．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，AB=10米，BC=20米，则：AC=A在△ACD中，CD=20米，AD=30米，AC=则：AC2+C∴AC∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，故S四边形∴四边形ABCD的面积是100+1005

【考点题型十】勾股定理的实际应用

【典例10】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．【详解】（1）解：根据勾股定理：梯子顶端距离地面的高度为：AB=25（2）梯子下滑了4米，即梯子顶端距离地面的高度为：24−4=20米，根据勾股定理得：BC∴CC即梯子的底端在水平方向滑动了8米．【变式10-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE为21.6米(2)他应该往回收线8米【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得：AB=DE=1.6m在Rt△CDB由勾股定理得，CD所以，CD=20（负值舍去），所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米)，答：风筝的高度CE为21.6米；（2）解：由题意得，CM=12米，∴DM=20−12=8米，∴BM=D∴BC−BM=25−17=8（米)，∴他应该往回收线8米．【变式10-2】如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子BC的长为13

(1)开始时，小船距岸A的距离为_______m；(2)若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD【答案】(1)12(2)12−【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°,BC=13∴AB=13故答案为：12；（2）∵琪琪收绳5m后，船到达D∴CD=13−5=8(m∴AD=C∴BD=AB−AD=(12−39【变式10-3】如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断AB⊥CD，树顶C落在离树根B15m处，工作人员要查看断痕A处的情况，在离树根B有6m的D处架起一个长10m的梯子AD【答案】25【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出AB=8m，再由勾股定理求出AC=17m，最后由这棵树原来的总高度为【详解】解：∵AB⊥CD，∴∠ABD=∠ABC=90°，∵AD=10m，BD=6∴AB=A∵BC=15m∴AC=A∴这棵树原来的总高度为：AB+AC=8+17=25m【变式10-4】如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km的B处有一台风中心，沿BD方向以15 km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A【答案】(1)20(2)16【分析】本题考查了勾股定理的应用．（1）先对Rt△ABD运用勾股定理求出BD（2）在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，对Rt△AED运用勾股定理求得ED=120km【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160在Rt△ABD中，BD=∵300÷15=20h∴台风中心经过20h从B点移到D（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km由AD⊥BC得DE=DF，在Rt△AED中，ED=∴EF=2ED=240km∴t=240÷15=16h∴A市受到台风影响的时间持续16h【变式10-5