新高考数学多选题专项练习及答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

x1-kx+\,x<Q

1.已知函数，(x)=＜，下列关于函数y=/[/(%)]+1的零点个数的说

log2x,x>0

法中，正确的是()

A.当左＞1,有1个零点B.当左=—2时，有3个零点

C.当1＞左＞0,有4个零点D.当左=T时，有7个零点

【答案】ABD

【分析】

令尸。得/[/(x)]=—l，利用换元法将函数分解为〃尤)=/和/(f)=—1，作出函数

/(无)的图象，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

令尸。，得/[/(x)]=T，设/'(%)=，则方程=等价为/(/)=一1，

函数丁=必—履+1,开口向上，过点(0,1),对称轴为x=g

11

“/)=—1,此时方程/⑺=一1有一个根t=e，由〃x)=5可知，此时x只有一

解，即函数y=/[/(x)]+l有1个零点，故A正确；

11

/(/)=—1,此时方程/⑺=—1有一个根t=Q,由〃x)=5可知，此时x有3个

解，即函数y=/[/(x)]+l有3个零点，故B正确；

对于C,当1>左>0时，图像如A,故只有1个零点，故C错误；

对于D,当左=-4时，作出函数/(X)的图象：

/(?)=-1,此时方程有3个根，其中％=g,/2€(-1,0),/3€(-4,一3)由

/(x)=|■可知，此时X有3个解，由/(x)=，2e(—L°)，此时X有3个解，由

/(x)=r3e(^,-3),此时x有1个解，即函数y=/[/(x)]+l有7个零点，故D正

确；

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结

合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题.

'l-\2x-3\,l<x<2

2.已知函数/(%)="1，卜(X、〉°2,则下列说法正确的是()

A.若函数y=/(%)-区有4个零点，则实数k的取值范围为

1*

B.关于x的方程/(%)—--=0(〃wN,)有2〃+4个不同的解

C.对于实数xw[l,+co),不等式2^(x)—340恒成立

D.当xe[2"T,2"]5eN*)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为1

【答案】AC

【分析】

根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A,C利用数形结合进行判断，对于B,D利用

特值法进行判断.

【详解】

33

当—时，/(%)=2x-2；当一<x<2时，/(无)=4一2无;

222

Y31

当2<%W3,则1<产；，/(x)=-/

E3%x

当3<xW4,则一<一(2,

222

X

当4<x<6,WJ2<-<3,

2

X

当6<%W8,则3<—V4,

2

对于A,函数y=/(x)-近有4个零点，即y=/(%)与＞=自有4个交点，如图，直线

y=质的斜率应该在直线之间，又km，

6

对于B,当〃=1时，/(x)=1■有3个交点，与2〃+4=6不符合，故B错误；

3

对于C,对于实数xw[l,+8),不等式24'(%)—340恒成立，即恒成立，由图

2x

33

知函数/(x)的每一个上顶点都在曲线y=—上，故/(%)〈一恒成立，故c正确；

2x2x

对于D,取〃=1,XG[1,2],此时函数/(%)的图像与x轴围成的图形的面积为

—xlxl=—,故D错误;

22

故选：AC

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

函数小）=而

3.xeR）,以下四个结论正确的是（）

A.“X）的值域是（T1）

B.对任意xeR,都有"石）―/（々）>。

%一工2

%

C.若规定X（x）=/（%）/+］（力=/（力（力），则对任意的“€W,力（同=4两

D.对任意的若函数2成+g恒成立，则当时，区―2或

t>2

【答案】ABC

【分析】

由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推

得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数

范围.

【详解】

/⑺的值域是（-1,1）,且单调递增即“不）—"/）>0（利用单调性定义结合奇偶性

玉一X2

也可说明），即有AB正确；

对于C,有力（上而，若兀（小用匚而，

X

..£/、£/£,、、1+（H—1）IXIX

当“22时，力（X）=/（力T（X））=-----------------=-一~—,故有

1+IXI]+〃IXI

1+（〃-1）1x|

“cN*,力（力=丁^^.正确.

l+n|x|

11

对于D,xe[-l,l]±/（x）max=/（l）=-,若函数/（力4产—2成+万恒成立，即有

t2-2at+2~,/一2成20恒成立，令丸（a）=-2。。+/，即ae[—1,1]上丸⑷上0,

.,“〉0时，/i（l）=-2z+?2>0,有或/W0（舍去）；

7=0时，"。）=。故恒成立；

f<0时，/z（—l）=2f+户20,有fW—2或/之0（舍去）；

综上，有或/=0或rw—2；错误.

故选：ABC

【点睛】

方法点睛：

1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.

2、数学归纳法：当〃=1结论成立，若〃-1时结论也成立，证明”时结论成立即可.

3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数

范围.

4.下列结论正确的是（）

A.函数y=/（x）的定义域为[1,3],则函数y=/（2x+l）的定义域为[0』

B.函数“X）的值域为[1,2],则函数的值域为[2,3]

C.若函数y=-必+。％+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1,则。的取值范围是

（0,3）

D.已知函数八了）=卜2+34％€尺，若方程/（x）-a|xT|=0恰有4个互异的实数

根，则实数。的取值范围为（0,l）u（9,y）

【答案】ACD

【分析】

根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A,利用函数图象的平移可判

断函数值域的变换情况，判断B,利用数形结合及零点的分布求解判断C,作出函数

〃%）=卜2+3耳与丁=小—1]的图象，数形结合即可判断D.

【详解】

对于A,y=/（x）的定义域为[1,3],则由1W2X+1W3可得y=/（2x+l）定义域为

[0,1],故正确；

对于B,将函数/（尤）的图象向左平移一个单位可得函数/（X+1）的图象，故其值域相

同，故错误；

对于C,函数丁=8（%）=-*2+以+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1只需

g⑵＞0

〈，解得故正确；

[g（-1）＞0

对于D,作出函数/（尤）=卜2+3耳与丁=小一1]的图象，如图，

由图可以看出，“V0时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置。=1或

a=9,观察图象可知，当0＜。＜1有4个交点，当9＜。时，两条射线分别有2个交点，

综上知方程/（X）—4%—1|=0恰有4个互异的实数根时，ae（O,l）（9,转）正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，/（X）=|X2+3X|

图象确定，而y1|是过（L0）关于x=l对称的两条射线，参数a确定两射线张角的

大小，首先结合图形找到关键位置，即。=1时左边射线与抛物线部分相切，a=9时右边

射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

5.已知函数/(%)=%+'

,且（九）=炉,+二1则下列结论中正确的是（）

XX

A./(x)+g(x)是奇函数B./(x>g(x)是偶函数

C./(x)+g(x)的最小值为4D./(x)-g(x)的最小值为2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.

【详解】

11

y(x)+g(x)=x-i—\-x9~+—

XX'

-x+2+(-xf+-1+Y+!

f(-x)+g(-x)=XH--

—X(-"XX

/(x)+g(x)=/(-x)+g(-x)

.•J(x)+g(x)是偶函数，A错；

/(x)-g(x)=》+曰］犬+：］

・，T)-g(T)=k+T卜姨+4)=卜4卜+!

.."(-%)•g(-x)=/(x)•g(x)

，/(x)-g(x)是偶函数,B对;

f(x)+g(x)=x+-+x2+^>2+2=4,当且仅当x=L和％2=二时，等号成立,

xxxx

即当且仅当f=l时等号成立，c对；

y(x)，g(x)=

令/=xH—(/22),则/(%)・g(x)=t,(厂—2)=r—2,

X

.•.[/(x).g(x)]'=3『—2,令3,一2>0,得t>与或t<_号

.”22时，/(x>g(x)单调递增

二当f=2有最小值，最小值为4,D错

故选：BC.

【点睛】

本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较

高，难度较大.

JI

6.设函数g(x)=5/T73X(3>0)向左平移一个单位长度得到函数/(x),已知/(x)在[0,2兀]上有

5。

且只有5个零点，则下列结论正确的是()

A./)的图象关于直线x=标对称

B./(x)在(0,2m上有且只有3个极大值点，/(x)在(0,2兀)上有且只有2个极小值点

JT

c./(x)在(0,而)上单调递增

1229

D.3的取值范围是[不，京)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知“无)在(。,2万)上还可能有3个极小值

37r

点，5不正确；由乙＜2〃解得的结果可知，。正确；根据/(幻在(0,——)上递

10a)

TT37r

增，且一＜——，可知C正确.

1010。

【详解】

JIH

依题意得了(x)=g(x+——)=sinM%+——)]=sinOx+—),T=——，如图：

5(D505co

jrjrK7TJTT

对于A,令+—=左乃+一,keZ,得%=——+——，keZ,所以/a)的图象关于

52310①

k437r

直线%=一十一(左6Z)对称，故A不正确;

G)10口

对于6,根据图象可知，XA＜27KXB,/(%)在(0,21)有3个极大值点，/(X)在(0,21)

有2个或3个极小值点，故3不正确，

|丁兀5eTC5In24万

对于。，因为%A=----+—7=----+-X—=----

5G25a)2a)5G

—J3T=-二+3x^=小24万29711229

,所以——<2^<解得U<G<一,

45G5①co5a)5①5co510

所以。正确;

Jr1TT127r37r37r

对于C,因为——+—T=——+—x——二——,由图可知/(©在(0,——)上递增,

5G45G4G10a)10G

2937r3冗

因为。〈二＜3,所以土—二=土(1—二)＜0,所以Ax)在(0,乃)上单调递增，故

101010®10。10

C正确；

故选：CD.

【点睛】

本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极

值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

7.德国著名数学家狄利克雷(。万c〃et,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定

,、［l,xeQ

义了一个"奇怪的函数"y=/(x)=八「八其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函

0,xeCRQ

数〃尤)有如下四个命题，正确的为()

A.函数/(九)是偶函数

B.V玉CCRQ,/(%+W)=/(菁)+/(9)恒成立

C.任取一个不为零的有理数7,/(X+T)=/(x)对任意的xeR恒成立

D.不存在三个点4(%,/(%)),5(9,/(%2))，。(七，/(七))，使得4^0为等腰直角三

角形

【答案】ACD

【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可.

【详解】

对于A,若xeQ,则—xw。，满足/'(xX/Jx)；若XCCRQ,则一xeQQ,满足

/(%)=/(-%)；故函数八尤)为偶函数，选项A正确；

对于IXXJ则/(玉+/)=()，

B,=^-eCRQ,X2=-7r&CRQ,/0=1

/(玉)+/(%2)=0,故选项B错误；

对于C,若xeQ,则x+Te。，满足/(x)=/(x+T)；若XCCR。，则

x+TeCRQ,满足〃%)=/(%+7)，故选项C正确；

对于D,要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点A在y=l上，斜边在X轴上，此时点3,点C的横坐标为无理数，则3C中

点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，

故不成立；

②直角顶点A在y=l上，斜边不在X轴上，此时点3的横坐标为无理数，则点A的横坐

标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立;

③直角顶点A在X轴上，斜边在y=l上，此时点8,点C的横坐标为有理数，则3c中

点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛

盾，故不成立；

④直角顶点A在x轴上，斜边不在y=l上，此时点A的横坐标为无理数，则点3的横坐

标也应为无理数，这与点3的纵坐标为1矛盾，故不成立.

综上，不存在三个点人（//（玉）），5（%,/（9）），。（七，/（电）），使得AABC为等腰

直角三角形，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思

想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题.

2,-1,%<1,,

8.已知/(%)=<1,则关于X的方程—/(x)+2左—1=0,下列正

Inx,x>1,

确的是（）

A.存在实数左，使得方程恰有1个不同的实数解；

B.存在实数左，使得方程恰有2个不同的实数解；

C.存在实数左，使得方程恰有3个不同的实数解；

D.存在实数左，使得方程恰有6个不同的实数解；

【答案】ACD

【分析】

令“力=桂0,根据判别式确定方程产T+2左-1=0根的个数，作出“X)的大致图

象，根据根的取值，数形结合即可求解.

【详解】

令"X)=/20,则关于X的方程[f(x)]2-f(x)+2k-l=0,

可得「一t+2左一1=0，

当左=*时，A=l—4(2左—1)=0,此时方程仅有一个根♦=!；

82

当左<2时，A=l-4(2Z:-l)>0,此时方程有两个根公弓，

8

且乙+12=1,此时至少有一个正根；

当左〉：时，A=l—4(2左—1)<0,此时方程无根;

作出了(九)的大致图象，如下：

当左<3时，此时方程有两个根乙,马，且4+/2=1，此时至少有一个正根，

8

当％e(O,l)、e(O,l),且6/马时，/(%)=九有6个不同的交点，D正确;

当方程有两个根。/2，一个大于1，另一个小于0，

此时/(%)=/,仅有1个交点，故A正确；

当方程有两个根小12,一个等于I，另一个等于0，=有3个不同的交点，

当左〉|时，A=l—4(2左一1)<0,此时方程无根.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化

为产-/+2左-1=0,根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.

9.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有"数学王子”之称.有这样一个函数就是以

他名字命名的：设xeR,用[可表示不超过大的最大整数，则/(x)=[x]称为高斯函

数，又称为取整函数.如：/(2.3)=2,/(—3.3)=T.则下列正确的是()

A.函数/(%)是尺上单调递增函数

B.对于任意实数都有/(a)+/(»</("+勿

C.函数gO)=/(x)-依(xwO)有3个零点，则实数a的取值范围是

<341「43、

D.对于任意实数x,y,则/(x)=/(y)是卜-丁|<1成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A选项，设出a,b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合

可分析C选项，取特殊值可分析。选项.

【详解】

解：对于A选项，/(1)=/(1.2)=1,故A错误；

对于B选项，令。=同+r，〃=回+[(厂,q分别为a,b的小数部分)，

可知0,,r=a-[a]<l,0„q=b-[b]<l,[r+^]>0,

则/(a+。)=[[a]+回+r+q[=[a]+回+[r+q]..[a]+回=/(a)+/,故B错

误；

对于C选项，可知当左左+1,左eZ时，则/(x)=[%]=左，

可得了(%)的图象，如图所示：

函数8（%）=/（"-依（为，0）有3个零点，

二函数/（X）的图象和直线，=存有3个交点，且（0,0）为/（九）和直线，=依必过的

点，

<3443、

由图可知，实数0的取值范围是[],二]。[§，5卜故c正确；

对于D选项，当/（x）=/（y）时，即r,q分别为x,V的小数部分，可得0«厂<1,

0<^<1,

|x-y|=|[x]+r-[y]-^|=|r-^|<|l-0|=l；

当上一力<1时，取x=-0.9,y=0.09,可得国=—1,3=0,此时不满足

〃x）=/（y），

故/（x）=/（y）是|无一y|<1成立的充分不必要条件，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合

思想；

XY-I-1Y+2

10.已知函数/（%）=」一+—+——，下列关于函数"X）的结论正确的为（）

x+1x+2x+3

A.Ax）在定义域内有三个零点B.函数/（x）的值域为R

C./（尤）在定义域内为周期函数D.〃龙）图象是中心对称图象

【答案】ABD

【分析】

将函数变形为/a)=3-1二+」7+工],求出定义域，结合导数求函数的单调性

(x+lx+2x+3J

即可判断BC,由零点存在定理结合单调性可判断A,由〃x)+/(T-x)=6可求出函数

的对称点，即可判断D.

【详解】

解：由题意知，/(x)=l----+1------+1-=3-f彳H----,

x+lx+2x+31元+1x+2x+3)

定义域为(TO,-3)D(-3,-2)D(-2,-1)u(-l,+00),

f\x)=——-~~y+——-~~y+——--y>0

(x+1)2(x+2)2(x+3)2'

所以函数在—3),(-3,-2),(-2-1),(-1,收)定义域上单调递增，C不正确；

(3、3712

当犬》一1时，/--=-3+—+—<0,/(0)=—+—>0,贝!](一1,+8)上有一个零点,

\i-JJ.J.J乙J

当XG(_2,—1)时，/^-―^<0,/>0,所以在XG(—2,—1)上有一个零点，

当xe(—3,—2)时，£|〉°，所以在3,—2)上有一个零点，

当x<-3,/(无)>0,所以在定义域内函数有三个零点，A正确；

当x<0,%——1+时，/(x)ffo,当Xf+2O时，/(X)—>+8,

又函数在(-1,+8)递增，且在(-1,+8)上有一个零点，则值域为R,B正确；

/(Tr)=3+[」-+，+，]=6—[3—1」-+，+，]]=6—"力，

U+1%+2x+3)[_U+1%+2x+3j]V'

所以/(x)+/(T—x)=6,所以函数图象关于(—2,3)对称，D正确；

故选:ABD.

【点睛】

结论点睛：

1、y=/(X)与y=-/(对图象关于x轴对称；

2、丁=/(力与y=/(70图象关于丫轴对称；

3、y=/(X)与y=/(2。一力图象关于x=。轴对称；

4、y=/(x)与y=2a—/(x)图象关于y=。轴对称；

5、y=/(%)与y=28一〃勿一x)图象关于(a,。)轴对称.

二、导数及其应用多选题

11.关于函数/(x)=ae*—cosx,%«-兀,兀)下列说法正确的是()

A.当。=1时，/(无)在％=o处的切线方程为y=x

B.若函数/(九)在(一兀,兀)上恰有一个极值，则4=0

C.对任意。>0,〃X)N。恒成立

D.当°=1时，/(%)在(—兀㈤上恰有2个零点

【答案】ABD

【分析】

直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数

法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构

造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A,当4=1时，/(X)=eA-COSX,XG(-7T,7l),

所以/(o)=e°—cos0=0,故切点为(0,0),

则/'(x)=e*+sinx,所以/''(O)=e°+sin0=l,故切线斜率为1,

所以/(x)在％=0处的切线方程为：y-O=lx(x-O),即丁=%,故A正确；

对于B,/(x)=aev-cosx,xe(一兀，兀)，则/'(xjuae*+sinx,

若函数/(x)在(-兀,兀)上恰有一个极值，即/"(x)=0在(-兀，兀)上恰有一个解，

令/'(力=。,即aex+sinx=0在(一兀㈤上恰有一个解，

则a=一：?x在(-71,71)上恰有一个解，

即>=。与g(x)=二岁的图象在(―兀,兀)上恰有一个交点，

,/、sinx-cosx/\

g⑺="，兀,兀)，

71

令g'(x)=0,解得：玉=——‘x2—，

4

当xe［一肛一音｝时'g'(x)

>0,当时，g'(x)〈0，

g(x)在［—肛—上单调递增，在1—乎上单调递减，在［上单调递增，

V2V2

所以极大值为„3兀3>o，极小值为

«5<0'

而g(—»)=O,g⑺=O,g(O)=。,

即函数/(x)在(—兀，兀)上恰有一个极值，则a=0,故B正确；

对于C,要使得2。恒成立，

即在兀6(—兀,兀)上，-cosxNO恒成立，

/、COSX、(cos

即在1£(-兀㈤上，a>一「恒成立，即〃斗一—I,

CVJmax

、7/\cosx/\E7,/\-sinx-cosx(、

设n,(%)二——,%£(—兀兀)，贝%(尤)=------------,%£(一兀，兀)，

令〃(x)=。，解得：石=一5，%2=?，

当xe［一%,一时，〃(x)>0,当时，〃(x)<0,

在1-万上单调递增，在［-“彳］上单调递减，在万］上单调递增,

V2

所以极大值为工、三〉°,欠―乃)=白,丸(1)=4，

4--ee

''e4

也

所以/i(x)=土在xe(-兀,兀)上的最大值为//_工］=N_〉°,

eI4、

所以。》/_时，在光«-兀,兀)上，/(x)=ae*-cosx2。恒成立，

-71

e，

V2

即当。2王时，〃x)20才恒成立，

兀

所以对任意。＞0,〃x)20不恒成立，故C不正确；

对于D,当a=l时，/(%)=6¥-COSX,xe(-7i,7C),

令/"(九)=0,则/(x)=e*—cosx=0,即e'=cos无，

作出函数y="和y=cosx的图象，可知在xe(—兀,兀)内，两个图象恰有两个交点，

则/(九)在(-兀，兀)上恰有2个零点，故D正确.

【点睛】

本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法

的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运

算能力和数形结合思想.

12.对于定义城为R的函数/(x),若满足：①/(0)=0；②当xeR,且XW0时，都

有矿(x)>0；③当X]<0<%2且1芯1<也I时，都有/(占)</(々)，则称/(龙)为"偏对

称函数”.下列函数是"偏对称函数”的是()

32x

A.fx(X)=-X+%B.f2^x)=e-x-1

ln(-x+l),x<0

c.力(x)=D.f4(x)-xsinx

lx,x>0

【答案】BC

【分析】

运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性,

即可得到所求结论.

【详解】

解：经验证，/(X),&(X),力(X),力(X)都满足条件①；

x>0x<0

矿(x)>0o<,或<

Lf(x)>0I

当X]<0<%2且1<1々|时，等价于一4<xl<0<<%2,

即条件②等价于函数/'(X)在区间(-8,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增;

A中,工(%)=—。+%2,工<％)=-3%2+2尤，则当xwO时，由

2

%/；f(%)=-3x3+2x2=x2(2-3x)<0,得不符合条件②，故《⑴不是"偏对称

函数”；

xxr

B中,f2(x)=e-x-1,f2'(x)=e-l,当x>0时，e>1，力'(4)〉0,当％<0

时，0</<1，力'(x)<0,则当xwO时，都有9'(％)>0,符合条件②，

•••函数力(％)="—x—1在(—8,0)上单调递减,在(0,+“)上单调递增,

由力(x)的单调性知，当一马<西<0<一玉<4时，力(%)<力(一看)，

力(占)一人(马)〈力(1%2)-力(/)=一*+e*+2X2,

令歹(x)=-/+*+2无，x>0,F'(x)=-ev-e-v+2<-^ex.e-x+2=0,

当且仅当e*=er即x=0时，"="成立，

，b(x)在[0,+8)上是减函数，二尸(%)〈尸(0)=0，即力(石)(力(％)，符合条件③,

故人(x)是"偏对称函数"；

,ln(-x+l),x<01

C中，由函数力(x)=<I7,当了<0时，力'(%)=—<0,当x>0时,

2x,%>0x-1

力'(x)=2>0,符合条件②,

•••函数力(X)在(f,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

有单调性知，当一々<0<一玉时，力(玉)<力(一9)，

设尸(x)=ln(x+l)-2x,%>0,则尸(幻=」——2<0,

X+1

F(x)在(0,+8)上是减函数，可得F(x)<F(0)=0,

/(为)-/(%2)</(-々)-/(%)=仙(%2+1)-/(4)=/(9)<0,

即/区)</(%)，符合条件③，故人(%)是"偏对称函数"；

D中，力(x)=xsinx,则力(一%)=-有11(一%)=%(%),则力(x)是偶函数，

而E/(x)=sinx+xcosx=Vl+x2sin(x+^)(tan^?=x),则根据三角函数的性质可

知，当x>0时，力'(X)的符号有正有负，不符合条件②，故力(%)不是"偏对称函数”；

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与

划归思想，属于难题.

Inx

13.对于函数/(%)=▼，下列说法正确的是()

x

A.函数在x=&处取得极大值，B.函数的值域为1-8,：

c./(尤)有两个不同的零点D./(2)<y(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数〃尤)

的抽象图像可以判断BCD选项.

【详解】

—•X-Inx-2x

函数的定义域为(0,+")，求导l-21nx,

————

X5

令/'(x)=0,解得：x=&

倒,五)(&,+oo)

f(X)+0—

/(X)极大值

所以当x=加时，函数有极大值/(G)=(,故A正确;

对于BCD,令f(x)=0,得lnx=O,即九=1,当x—>+»时，lnx>0,%2>0>则

/(x)>0

作出函数7'(x)的抽象图像，如图所示：

故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数

〃无)在(&,+可上单调递减，且孤〈百<正<2，贝I/(2)</(6)</(石)，故D

正确；

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点

个数，求函数零点个数常用的方法：

(1)方程法：令/(x)=0,如果能求出解，有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间可上是连续不断的曲线，且

/(a)-/(/?)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才

能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其

交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

14.已知函数/(九)对于任意XGR,均满足/(x)=/(2—X).当时

/(”)={Xn，若函数8(%)=时乂一2—/(£)，下列结论正确的为()

e,x&u

A.若m<0,则g(x)恰有两个零点

B.若,则g(x)有三个零点

3

C.若0〈加〈耳，则g(x)恰有四个零点

D.不存在机使得g(x)恰有四个零点

【答案】ABC

【分析】

设/1(%)=777凶一2,作出函数g(x)的图象，求出直线y=7HX-2与曲线

、=111%(0<%<1)相切以及直线丁=如一2过点4(2,1)时对应的实数加的值，数形结合

可判断各选项的正误.

【详解】

由/(x)=〃2—%)可知函数〃无)的图象关于直线尤=1对称.

令g(x)=O,即加国—2=/(x),作出函数〃龙)的图象如下图所示：

令//(%)=777k|一2,则函数g(x)的零点个数为函数/(无)、/Z(X)的图象的交点个数,

•我(无)的定义域为R,且/?(一4)=同一为|—2=时乂-2=/z(x),则函数/z(x)为偶函

数，

且函数/z(x)的图象恒过定点(0,-2),

当函数/i(x)的图象过点4(2,1)时，有欠2)=2加—2=1,解得m=$

过点(0,-2)作函数丁=111%(0<%<1)的图象的切线，

设切点为(尤0/11九0),对函数y=lnx求导得y'=1,

JC

所以，函数y=InX的图象在点(％,In/)处的切线方程为>Tn/=2(X-%,

切线过点(0,—2),所以，—2—ln/=-1,解得x0=L则切线斜率为e,

e

即当〃z=e时，函数y=〃(尤)的图象与函数y=lnx(o(尤<1)的图象相切.

若函数g(x)恰有两个零点，由图可得m<0或相=e,A选项正确；

3

若函数g(x)恰有三个零点，由图可得5<"<e,B选项正确；

3

若函数g(x)恰有四个零点，由图可得0C选项正确，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/■(无)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线丁=。

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

15.下列不等式正确的有()

A.V31n2<ln3B.lnn<gC.2^<15D.3eln2<4夜

【答案】CD

【分析】

构造函数/(x)=@H,利用导数分析其单调性，然后由/(2)>7(囱)、

6)〉/(后)、/(A/15)>/(4)>/(*)</(e)得出每个选项的正误.

【详解】

令/(力=皿，则/令/'(x)=0得x=e

XX

易得了(X)在(o,e)上单调递增，在(e,+<»)上单调递减

所以①/(2)>/(6),即电2>奥普，即由ln2>21n6=ln3,故A错误；

2，3

②/(6)〉/(如)，即所以可得In万〉故B错误；

(3)/(715)>/(4),即^^>竽=号，即lnl5=21nA〉Aln2

所以Inl5>ln2岳，所以21<15，故C正确；

3

@/(A/8)</(e),即生点<皿，即24n2,1,即应ln2<2忘

瓜eITT；2

所以3eln2<4j^，故D正确;

故选：CD

【点睛】

关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的

构造和自变量的选择.

InY

16.对于函数小）=/，下列说法正确的有()

1

/Xx)在X=处取得极大值B.7'（x）有两个不同的零点

A.We

C./(2)</(曰</(匹D.若小）＞"±在（…）上有解，则

e

<—

2

【答案】ACD

【分析】

利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函

数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解

问题的应用判断D.

【详解】

InY—xx2-Inxx2%

函数/（x）=F，所以l-21n尤

x(%>0),

令尸（x