河南省安阳市林州一中火箭班2025届高三第三次测评数学试卷含解析

河南省安阳市林州一中火箭班2025届高三第三次测评数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知函数（）的最小值为0，则（）A． B． C． D．6．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）A． B． C．24 D．7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．8．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．9．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为()A． B． C． D．10．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则11．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为()A．2020 B．20l9 C．2018 D．201712．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布，且，若该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____．14．已知数列是等比数列，，则__________.15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．16．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大小；②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．18．（12分）若正数满足，求的最小值.19．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.20．（12分）已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.21．（12分）已知函数.（1）若在处导数相等，证明：；（2）若对于任意，直线与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.22．（10分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面平面ABCD.（1）证明：平面PNB；（2）问棱PA上是否存在一点E，使平面DEM，求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.2、D【解析】

根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数在上单调递增，

当，若为增函数，则①，

当，若为增函数，必有在上恒成立，

变形可得：，

又由，可得在上单调递减，则，

若在上恒成立，则有②，

若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有，③

联立①②③可得：.

故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.3、B【解析】

由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.4、C【解析】

将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.【详解】依题意，则，当时，，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，故实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.5、C【解析】

设，计算可得，再结合图像即可求出答案.【详解】设，则，则，由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，结合图像，，得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.6、A【解析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取的中点，连结，则，且，，，，平面，平面，，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.7、B【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8、D【解析】

由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共轭复数=-1+，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．9、C【解析】

设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论．【详解】设分别是的中点平面是等边三角形又平面为与平面所成的角是边长为的等边三角形，且为所在截面圆的圆心球的表面积为球的半径平面本题正确选项：【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题．10、C【解析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．11、B【解析】

根据题意计算，，，计算，，，得到答案.【详解】是等差数列的前项和，若，故，，，，故，当时，，，，，当时，，故前项和最大.故选：.【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.12、D【解析】

根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】

根据正态分布密度曲线性质，结合求得，即可得解.【详解】根据正态分布，且，所以故该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为．故答案为：．【点睛】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.14、【解析】

根据等比数列通项公式，首先求得，然后求得.【详解】设的公比为，由，得，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.15、【解析】

代入求解得,再求准线方程即可.【详解】解：双曲线经过点,,解得,即．又,故该双曲线的准线方程为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.16、【解析】

设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.【详解】设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，故，所以此点取自内的概率是．故答案为：【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．【解析】

Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.【详解】证明：Ⅰ在图1中，，，为平行四边形，，，，当沿AD折起时，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD则0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，设平面PBC的法向量为y，，则，取，得0，，设平面PCD的法向量b，，则，取，得1，，设二面角的大小为，可知为钝角，则，．二面角的大小为．设AM与面PBC所成角为，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直线AM与平面PBC所成的角为，，解得或．【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.18、【解析】试题分析：由柯西不等式得，所以试题解析：因为均为正数，且，所以．于是由均值不等式可知，当且仅当时，上式等号成立．从而．故的最小值为．此时．考点：柯西不等式19、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）的取值范围是；对应的的值为.【解析】

（1）当时，求的导数可得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，利用导函数，可得的范围，再表达，构造新函数可求的取值范围，从而可求取到最小值时所对应的的值．【详解】（1）函数由条件得函数的定义域：，当时，，所以：，时，，当时，，当，时，，则函数的单调增区间为：，单调递减区间为：，；（2）由条件得：，，由条件得有两根：，，满足，△，可得：或；由，可得：．，函数的对称轴为，，所以：，；，可得：，，，则：，所以：；所以：，令，，，则，因为：时，，所以：在，上是单调递减，在，上单调递增，因为：，（1），，（1），所以，；即的取值范围是：，；，所以有，则，；所以当取到最小值时所对应的的值为；【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．20、（1）（2）见解析【解析】

（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；（2）不妨设，，，利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；【详解】解：（1）∵∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，∴在上恒成立.设，∵函数在上单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为.（2）不妨设，，，则，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上为减函数，∴，∴，即，∴在上是减函数，∴，即，∴，∴当时，.∵，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21、（I）见解析（II）【解析】

（1）由题x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到，得，由韦达定理得，由基本不等式得，得，由题意得，令,则，令，，利用导数性质能证明．（2）由得，令，利用反证法可证明证明恒成立．由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，由此可求的取值范围..【详解】（I）令，得，由韦达定理得即，得令,则，令，则，得（II）由得令，则，，下面先证明恒成立．若存在，使得，，，且当自变量充分大时，，所以存在，，使得，，取，则与至少有两个交点，矛盾．由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，则，得【点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题．22、（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】

（1）根据题意证出，，再由线面垂直的判定定理即可证出.（2）连接AC交DM于点Q，连接EQ，利用线面平行的性质定理可得，从而可得，在正方形ABCD中，由