圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点27圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题

型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1椭圆的弦长问题】.....................................................................2

【题型2双曲线的弦长问题】...................................................................5

【题型3抛物线的弦长问题】...................................................................9

【题型4长度及其最值(范围)问题】..........................................................13

【题型5长度之和问题】......................................................................17

【题型6长度之差问题】......................................................................23

【题型7长度之商问题】......................................................................26

【题型8长度之积问题】......................................................................31

►命题规律

1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题

是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、

数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，

复习时要加强此类问题的训练.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线中的弦长问题】

1.椭圆的弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

22

⑵弦长公式：设直线/:尸fcr+加交椭圆%+方=l(a>6>0)于尸I(XQI),「2(必,乃)两点，

则出21=0+左IM—器或出尸=J1+可0—刃.

2.双曲线的弦长问题

(1)弦长公式：直线y=Ax+6与双曲线相交所得的弦长d=-%2|=+表—y2\.

(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

(4)双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在X轴上还

是在y轴上，双曲线的通径总等于手

3.抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于3（x2,竺）两点，则

|/2|=〃（1+42）（而一冷）2=+尸•7（汨+9）2—4而》2或

|/为=J（1+也）（弘一乃y=J1+兴•，（弘+乃］一4乃为（左为直线的斜率，^#0）.

4.弦长公式的两种形式

（1）若43是直线＞=依+机与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去力得到一元二次方程

ax2+bx+c=Q,则|N8|=+/J%—x?l=+J?..

（2）若43是直线x=%y+〃与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x,得到一元二次方程

ay2+by+c=Q,则\AB\—^\-\-m2\y—%1=.

xI。I

►举一反三

【题型1椭圆的弦长问题】

【例1】（2024•云南昆明•模拟预测）已知直线/是圆C：/+y2=i的切线，且/与椭圆氏9+产=1

交于/,3两点，则|48|的最大值为（）

A.2B.V3C.V2D.1

【解题思路】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1,再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假

设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果.

【解答过程】•••直线/是圆C：/+y2=l的切线，

.•.圆心。到直线/的距离为1,

设4（X1，为），8（X2,旷2），

①当48口轴时，网=誓.

②当N3与x轴不垂直时，设直线的方程为7=依+九

由已知犬9=1得巾2=/+1.

把^=履+加代入椭圆方程，整理得（31+1）%2+6kmx+37n2-3=0,

.-6km3（m2-1）

.Xi+孙=-o-,XiX=-75----

123k2+lf1273k2+1

'■\AB\2=(1+/)(右一句)2

_36k2m212(m2—1)

一((3/C24-1)23k2+1.

12必+1)(3A2+1―m2)_24/必+1)_88俨一

一(3ZC2+1)2-(3-+l)2-1十9fc4+6/c2+l

令t=/-1(tCR)

8t£8

原式=3++

CT4

(31+2)239t+y+12

当且仅当9t=：BPt=±|时等号成立.

综上所述I力B|max=V3.

故选：B.

【变式1-1］（23-24高二上•浙江绍兴・期末）已知椭圆C:f+y2=1,过原点。且倾斜角为?的直线交椭圆于

44

48两点，贝！］|/引=（）

V10n2V10k3V10c4V10

AA--B--c--D--

【解题思路】依题写出直线的点斜式方程，与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.

【解答过程】依题意，可得直线的方程为：y=x,代入?+y2=i中，整理解得：x=±等,

当久=W，y=~当％=_卓时，y=-W，故有力（等，言）,8（一等，_卓），

则明=&.］（等+等）2=/乂9=等.

故选：D.

【变式1-2X2024・河南•模拟预测）己知椭圆。摄+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为FL，点P（但病

为椭圆C上一点，且的面积为2遍.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若倾斜角为;的直线/与C相交于两个不同的点4B,求|A8|的最大值.

4

【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与a?=/+c2计算即可得;

（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.

+=1

ii（a2=12

2

【解答过程】（1）由题意可得|x2cxV3=2V6;解得（b=4，

vc2=8

222

、a=b+c

故椭圆c的标准方程为5+。=1；

124

（2）fc=tan^=1,故可设匕B：y=%+t,^（冷,力），

金_|_且=1

联立卜2+4一,消去y可得4/++3产—12=0,

Iy=%+t

A=36t2-16（3产-12）=12（16-t2）>0,即一4<t<4,

-6t3t3t2-12

Xl+X2=—=~万，％1到二

贝I]=Vl2+1.J（%i+%2尸一4%62=V2.J（一y）-4x3t2-12

=日产3+12=尸

则当t=0时，|48|有最大值，且其最大值为杵^=2V6.

【变式1-3]（2024•河北衡水一模）已知椭圆C:捻+/=1（。＞b＞。）过（琮）和（鱼，半）两点几/2分别为

椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点（P不在x轴上），过椭圆右焦点尸2的直线/与椭圆交于4B两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求|4B|的范围.

【解题思路】⑴将点（i,|）,（VX苧）代入椭圆方程，即可求出椭圆c的标准方程；

（2）分类讨论直线斜率是否为0,从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关

于小的关系式，再分析即可得解；

【解答过程】（1）由题意可知，将点孚）代入椭圆方程,

2=1

得1,解得a2=4,/=3,

（刍+今=1

所以椭圆的标准方程为9+9=1.

(2)由(1)知Fi(-1,0),F2(l,0),

当直线/的斜率为0时，\AB\=2a=4,

当直线/的斜率不为0时，设直线I的方程为x=my+l,4>i，乃)，B(x2,y2),

、(包+色=1

联立•4十3—,消去工,得(3血2+4)y2+6my—9=0,

x=my+1

222

易得△=(6m)+36(3m+4)>0,则y1+y2=肃;，乃丫=品T

222

所以|4B|=&2一/)+(先一乃乃=Vl+mV(yi+y2)~4yiy2

-Viq-^2-12mz+12_

2，

-Vl+m^3m2+4J4137n2+/-31n2+4-43m+4

因为巾2NO,所以3nl2+424,所以所以3W|AB|<4,

37nz+4

综上,3<\AB\<4,即|2用的范围是[3,4].

【题型2双曲线的弦长问题】

【例2】（2024•北京•模拟预测）已知双曲线。产一9=1的两个焦点分别为Fl/2,过％的直线与双曲线C

的同一支交于4B两点，S.\BF1\=2\AF1\,则线段力B的长度为（）

927

A.-B.9C.—D.6

44

【解题思路】根据对称性不妨设过％的直线为y=k久-2k>O,kK弓），与双曲线的方程联立，运用韦达

定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得.

【解答过程】双曲线。丫2一9=1中a=l,b=W,c=9。2+炉=2,则%（0,—2）,

根据对称性不妨设过久的直线为y=依-2G>0,椅外

2

联立，可得（3/一1）%-12/cx+9=0,

则A=144k2-36(34-1)=36(/+1)>o

设力(巧,为)，B(x2,y2),则打+%2=奈，，打泡=/?①

由IBF1I=2|4名|,可得西=2/X,

即有一冷=2%1，②

Iz7\/r»\—r-zg12k24kr-r-Ki12k24k9

由①②可倚句=一访，％2=环，所以一环X环=环,

解得k=(负值己舍去)，打=等，

35o

2

所以|4B|=V1+fc■|%i-x2\=^=xSlxJ=写^=*

故选：C.

【变式2-1](2024・山东•模拟预测)过双曲线/—y2=2的左焦点作直线Z,与双曲线交于48两点，若|4B|=

4,则这样的直线1有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【解题思路】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.

【解答过程】由题意得双曲线左焦点(-2,0),当直线垂直于横轴时，|ZB|=2我不符合题意，双曲线渐近线

方程为y=±x；

故可设Ly=fc(x+2)(fcW±1),A(xlfyj,B(x2fy2)f

与双曲线联立可得p7；fc(2+?今(1—fc2)x2-4k2x-4k2-2=0,

I—yz=2

4k2-4k2—2

+%2=匚记，％=~^~，

由弦长公式知|4B|=V/c2+l|%i—xl=Vfc2+1•‘黑：：)=4=>fc2+1=V2|k2—11,

2\k

则k=±(V2-1)或k=±(V2+1).

故存在四条直线满足条件.

故选：D.

22_

【变式2-2](2024海南•模拟预测)已知双曲线。汗—-=l(a>0,b〉0)的实轴长为2a，点P(2,历)

在双曲线C上.

(1)求双曲线c的标准方程；

(2)过点P且斜率为2n的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.

【解题思路】(1)将点P(2,连)代入双曲线C方程即可求解；

(2)写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.

【解答过程】(1)因为双曲线的实轴长为2VL所以2a=2a,解得：aW；

又因为点P(2,历)在双曲线C上，所以方=1,解得：b=V6,

22

所以双曲线的标准方程为：・=1

26

由题可得过点P且斜率为2乃的直线方程为：丫一粕=2伤0-2),即y=2逐乂一3伤，

'x2y2_i

联立26消去y可得：7/-24%+20=0,

y=2V6x—3>/6

所以/+肛=曰，

所以IPQI=Vl+k2y/(X1+%2)2-4%1%2=Vl+24J管)-4Xy=y.

【变式2-3](2024•陕西安康•模拟预测)已知双曲线。《一5=1(6>a>1)的左、右焦点分别为修、/2,

两条渐近线的夹角为60。，M(逐,出)是双曲线上一点，且△MF/2的面积为4百.

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线，与双曲线C交于P、Q两点，且坐标原点。在以PQ为直径的圆上，求|PQ|的最小值.

【解题思路】(1)依题意可得2=百，从而将方程化为[-《=1,再由三角形面积及点在曲线上求出a2,

acr3a“

即可得解；

(2)依题意可得而•丽=0,当直线的斜率不存在时直接求出|PQ|,当直线I的斜率存在时，设直线I的方

程为y=kx+m,「（刀口为），Q（x2,y2）>联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由加•丽=0得

到爪2=6幺+6,再由弦长公式及计算可得.

【解答过程】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为y=±gx,

因为b>a>l,所以£>1,所以直线y=—x的斜率大于1.

由两条渐近线的夹角为60。，可得2=百，因为a2+/）2=c2,所以c=2a,

a

22

即双曲线方程为三—枭=1,

因为△MF1?的面积为4K，所以gx2cx|%|=4百，所以ax|y（）|=2%.

因为点用（4,即）在双曲线上，所以将点的坐标代入方程可得当-含=1,

解得a2=4或a2=l.因为条件a>1,所以a2=4,即双曲线的方程为J一弓=L

（2）因为以PQ为直径的圆过坐标原点，所以。PLOQ,所以说，而，即而•丽=0,

①当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为x=n,设P（%t）,0）,

由赤OQ=0可得几2-t2=0,

又点P、Q在双曲线上，代入可得9一盘=1,解得九2=6,产=6.

所以|PQ|=2t=2V6.

②当直线/的斜率存在时，设直线2的方程为y=kx+m,

fv=kx+Tn

由[3^2_产_]2联立消去y整理得(3_k2)x2-2kmx-m2-12-0(*),

因为直线/与双曲线交于P,Q两点，所以3—/片0,

即4=(2km)2—4(3一/c2)(—m2—12)=12(m2—4fc2+12)>0.

设P（xqD，<2（%2，%），

'.2km

句+冷==

则

TH2+12

"2=-0

由OP•OQ=0得到久62+7172=0，所以％62+(kx】+m)(fcx2+m)=0,

22

即(1+fc)x1x2++x2)+m=0,

2

即(1+幺)％1%2+km(xi+x2)+m=0,

所以(1+k2)-km•+m2=0,

化简得=6k2+6.

所以|PQI=J(1++%2)2—4久1久21

2km24(m2+12)

(1+fc2)+2

3-k23-fc

24+黑"阮

当k=0时上式取等号，且方程(*)有解.

综上可得|PQ|的最小值是2遍.

【例3】(2024•河南开封•一模)已知。为坐标原点，过抛物线。产=8x焦点产的直线与C交于4,8两点,

若|4F|=\AO\,贝！|网=()

A.5B.9C.10D.18

【解题思路】

由|力尸|=|40|及抛物线方程可求出/点坐标，从而得直线4B的方程，联立抛物线和直线方程，结合韦达定

理求出/+%2，由抛物线定义可得结果.

【解答过程】如图：由抛物线C：y2=8x可知焦点坐标F(2,0),取线段。F中点£>,即£>(1,0),

又|力F|=|力。所以ZD1OF,故设4(1,%)，因点/在抛物线上，得加=±2企，

根据对称性取yo=2V2,又因直线48过焦点F,

所以直线4B的方程为：y=-2V2(x-2),

联立］y2W，得d-5%+4=0①，

(y=-272(%-2)

设4(%1，%),8(%2，%)，则Xl,%2为①式两根，所以“1+%2=5,

由抛物线定义可知=%I+%2+P=5+4=9,

故选：B.

【变式3-1](2024•安徽马鞍山•模拟预测)已知抛物线=4x的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线/

过其焦点F且与C交于力，B两点，若直线4M的斜率为W，则|4B|=()

4V5

A.—B.半C.4D.5

【解题思路】利用斜率己知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径,

再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长.

【解答过程】

如图作4E垂直于准线，垂足为E,可知设AE=4F=r,

直线4M的斜率为等得，tan^EAM=tan乙4MF=

则ME=卓r，由勾股定理得：AF2=ME2+(AE-MF)2,

即/=+(r-2)2,化简得：「2一57+5=0,解得r=巧隹,

再设过焦点F的直线[为y=k(久-1)与抛物线C：y2=©联立消元得：

2222

kx—(2k+4)x+k=0,设交点4(小,yD，B{x2,y2)，

rrt.l2N+4y

则汽1+%2=一p一，X1X2=L

2M+2

而工+—=—+—="l+%2+2=——=1,

AFBF%i+l型+1(%1+1)(%2+1)112k+2J]

当4F=萼时，解得BF=萼，止匕时AB=4F+8F=5,

当4F=萼时，解得8尸=萼，止匕时4B=4F+BF=5,

故选：D.

【变式3-2］（2024•全国•模拟预测）已知点「（见39>03>0）在抛物线。丫2=20％@>0）上，记。为坐

标原点，\OP\以P为圆心，|OP|为半径的圆与抛物线C的准线相切.

（1）求抛物线。的方程；

（2）记抛物线C的焦点为F,过点尸作直线I与直线PF垂直，交抛物线C于力，B两点，求弦的长.

fVa2+b2=|

【解题思路】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得（b2=2pa,解得a、b、p,即可得解；

Ia+.-P=-3

I22

（2）由（1）可得P©,或）,F（1,O）,即可求直线/的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理,

由焦点弦公式计算可得.

【解答过程】⑴抛物线。丫2=22加>0）的焦点为尸&0）,准线方程为

产+扭=|佗=|

依题意可得｛b2=2pa,解得=鱼或=又a>0、b>0、p>0,

[a+”|(P=2]p=°

所以［M,所以抛物线方程为i.

（P=2

（2）由（1）可得F（l,0）,鹏=臂=-2近,

因为直线以直线PF,所以品=请。

所以直线/的方程为y=?(x—1),即久=2&y+l,

由卜=乎y+1,消去x整理得俨—8&y—4=0,

(yL=4x

设8(%2，丫2)，所以yi+'2=8近，

所以％1+冷=2V2(y1+y2)+2=2&x8V2+2=34,

所以|4B|=久1+盯+P=36.

【变式3-3］（2024・广西•模拟预测）已知抛物线。丫2=2「双0>0）的焦点?到准线的距离为2.

⑴求C的方程;

（2）若P为直线=-2上的一动点，过P作抛物线C的切线P4PB,4B为切点，直线与/交于点M,过F作4B

的垂线交/于点N,当|MN|最小时.求|4B|.

【解题思路】（1）由题意求得p=2,即可得得到抛物线C的方程；

(2)设力(K1，丫1),8(%2，%)，利用导数的几何意义求得在点48的切线方程，得出直线48方程为;(:—(丫—2=

0,令x=-2,得到点M(-2,-5,根据直线NF与直线力B垂直，求得直线NF方程为y=—-1),进而得

到点N(-2,六)，进而求得|MN|=E+与，结合基本不等式求得|MN|的最小值，联立方程组，结合弦长公

式求得弦|4B|的长.

【解答过程】(1)由题知，p=2,

・•.C的方程为y2=4%.

(2)抛物线。俨=4久的焦点F(l,0)，

设P(—2,t),过P点的抛物线C的切线方程为：x+2=m(y-t),

!?一‘％消去久得：2_^my_|_4(mt+2)=0,①

(%+2=m(y—t)

•••△=16m2—16(mt+2)=0即TH2—tm-2=0,②

此时①可化为y2—4my+4m2=0,解得y=2m

设直线PA久+2=m^y-t),直线PB:%+2=m2(y-t),

则7nLm2为方程②的两根，故血1+血2==一2,(*)

且”=2mnyfi=27n2，可得/(抽2叫),8(旬,27n2)，令点'(租即)，

由②知，m：—tmr—2=0,m2—tm2—2=0,故％4—^yA—2=0,xB—^yB—2=0,

则直线48方程为：x-1y-2=0,显然tHO

因为直线NF与直线48垂直，

则直线NF方程为：y=-1(x-l),

故M(―2,-*N(―

\MN\=II+JI>4V3,当且仅当卜时,产=竽时取等号.此时，.

2222

=V(xA-xB)+(yA-yB)=J(河-m^)+(2叫一2m2)

m2

=7[(^1+2)+4][(mi+m2y-4771^2]

由(*)得，\AB\=V[t2+4][t2-4x(-2)]=J管+4)管+8)=噜

【题型4长度及其最值(范围)问题】

【例4】(23-24高三上•湖北武汉•开学考试)设双曲线1的左右焦点为Fi，F2,左顶点为4点

M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线M片交双曲线E的左支于点N,若NA〃MF2,则|M&I=（）

A-；B-1c-ID-T

【解题思路】由题意可得段=3,设设M（Xo，yo）g>O,yo>O），则N（牛贫），然后将MN的坐标分别代

入双曲线的方程，解方程组可得与,如，然后根据两点间的距离公式即可求出结果.

【解答过程】

由题意知：?1（一2,0）,尸2（2,0）,4（-1,0），所以粤=；，又因为N4//MF2,所以黑=；，设M（&,yo）（xo>O,yo>

r24r1M4

解七口所以"得A的

0）,则N（竽,空），且5

5'

故选：B.

【变式4-1］（2024•吉林•模拟预测）已知抛物线。产=4%的焦点为下,/是C上一点，。为坐标原点，若△力。F

的面积为夜+1,则|力用=（）

A.2V2+2B.2V2+4

C.4V2+2D.3/+2

【解题思路】设4（Xo，yo），根据△力。F的面积求得Wol，继而求得比0,根据抛物线焦半径公式，即可求得答

案.

【解答过程】由题意知抛物线C：y2=4%的焦点为凡贝必（1,0）,焦准距p=2,

设力（%0，%），则由△AOF的面积为迎+1,得1x|%|=加+1,

则”|=2（应+1）,故%（）=*=3+2夜，

则|4F|=配+，=4+2企，

故选：B.

【变式4-2X23-24高三下•河南周口・开学考试）在平面直角坐标系xOy中，一动圆过点F（1,0）且与直线x=-1

相切，设该动圆的圆心C的轨迹为曲线r.

(1)求「的方程；

(2)设p为r在第一象限内的一个动点，过P作曲线r的切线匕，直线22过点P且与匕垂直，G与「的另外一个交点

为Q，求IPQI的最小值.

【解题思路】(1)由题意，根据抛物线的定义可知点C的轨迹为是以尸(1,0)为焦点的抛物线，即可求解；

(2)设P(zn,2而)(m〉0)、QOi，月)，利用导数的几何意义和两直线的位置关系求出％的方程，联立抛物

线方程，根据韦达定理可得为=-2标-白，进而求出。的坐标，结合两点坐标求距离公式可得|PQ|=

■yjm

41瓶+3+《++="(TH),利用导数求出〃SOmin即可.

【解答过程】(1)由题意得，点C到点F的距离等于到直线%=-1的距离，

由抛物线的定义知，点C的轨迹是以坐标原点。为顶点，以尸(L0)为焦点的抛物线,

设y2=2px(p>0),贝吟=1,所以p=2,

故r的方程为y2=4x.

(2)当y>0时，y=2y/x,所以/二专，设P(m,2g五)(m>0),

则儿小=今即k的斜率为5，

因为二，%，所以，2的斜率为一而，

所以％的方程为y-2s元=—y/m(x—in),即％=m+2一七y，

代入V=4%,得y2+-^y-4m-8=。.设

■yjm

由韦达定理得yi+2g元=—即yi=—2v伉—代入y?=4x,

得(——白)=4xt,即％i=7n+3+4,故Q(m+3+4,-一右)

所以|PQ|=JC+4)+(—4标一高f=山+3+5+总

3

令〃(m)=m+3+^+^2(m>0),则a=1—2_m—3m—2(m-2)(m+l)2

~rr?~m3：

易知函数〃(TH)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,

所以〃(m)min=〃(2)=?所以IPQImin=4X仔=6。

4'4

22

【变式4-3X2024・河北张家口三模)已知点Fi，F2分别为椭圆。京+与=l(a>b>0)的左、右焦点，过鼻(—

c,0)的直线/(斜率不为0)交椭圆C于尸，0两点，当直线/的斜率不存在时，|PQ|=3c.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若点N,8分别为椭圆C的左、右顶点，且面积的最大值为2百，直线24与直线QB相交于点

求|。蛆的取值范围.

【解题思路】(1)求出通径，可得齐次式与=3c,然后可得离心率；

x

(2)设直线P4QB,PQ方程分别为：x=nry-2,x=n2y+2,x=my-1,P(x^>Vi)>Q(2>72)，MQx0,y0),

联立{:二求出点M坐标，利用斜率公式表示出巧,电，代入|。”|化简，再利用韦达定理转化为关于

加的函数，然后可得|OM|的范围.

2..2h2

【解答过程】⑴令久=—C,得r%+方=1,解得y=土，

所以，—=3c,即2(4—c2)=3ac,整理得2/+3e—2=0,

a

解得e=-2(舍去)或”?.

(2)易知，当点P在短轴端点时，的面积最大,

ab=2A/3

-=|，解得a=2,b=

a2

{a2=b2+c2

所以，椭圆C的方程为。+<=1.

4J

易知，直线P4QBPQ的斜率不为0,

设其方程分别为：x=nty-2,x=n2y+2,x=my-l,P(%i，yt),Q(.x2,y2),M(x0,yo)>

联立官魂〉:解得“。=鬻詈，。=/

4(ni+n2)2+16

所以|。"|2=2

(n!-n2)

由斜率公式可得力=詈，电=詈,

%1+2_%2-2_%1丫2一%2为+2(>2+%)

所以九1一n2

yiyiyiyi

四+九2=山+这二=皿及+，2九+2。2-月）

yiyiy/2

m

因为％i=myx—l,x2=y2-1，

所以％1丫2-%2丫1=丫2（血丫1-1）一月（血丫2-1）=丫1一丫2,

汽。2+%2、1=丫2(血yi-1)+yi(jriy2-1)=2myry2-(y2+yi)，

所以m_电=332仇+〃1）,2冲/2-(丫2+。1)+2。2-％)

Hi+n2

y，2

联立[3%,4y-°得(3病+4)y2—6my-9=0,

(x=my—1

△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0

所以乃旷2=品丁月+乃=品

6m+VA6m—VAMH_6m+VA6m—VA_12-\/ni2+l

不妨记yi=67n2+8'、26m2+8，则以一以=荔石一就石=与西^

22

贝!Mi—n2=—[(Vm+1+m),+n2=|(Vm+1+m),

,______.2______2

4(号(J7n2+1+m))+1616(，寸+1+771)+9g

所以|OM|2=T；—=16-1---^：---

,4(■7.2+1+.)

易知，Vm24-1+m>0,所以|OM|2>16

所以|OM|>4,即|。河|的取值范围为（4,+8）.

【例5】（2024•河北承德・二模）已知椭圆。5+/=1（（1>6>0）的左顶点到右焦点的距离是3,且C的离

心率是右过左焦点F的直线，与椭圆交于48两点，过左焦点且与直线I垂直的直线厂与椭圆交于M,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求|A8|+|MN|的取值范围.

【解题思路】（1）由已知列出关于a,c的方程组，求出a,c,可求62,得椭圆C的标准方程;

(2)两直线一条斜率为0,另一条斜率不存在时，由通径与长轴求出结果；当两直线斜率存在且不为0时,

利用弦长公式把两弦长之和表示为关于斜率的函数，结合基本不等式求取值范围.

【解答过程】(1)由题意得]解得a=2,c=l,则按=a2-c2=3,

la+c=3,

所以椭圆C的标准方程为。+<=1;

43

(2)由(1)可知,左焦点?(-1,0)，

当直线/斜率不存在或者斜率为时，\AB\+\MN\=

0—a+2a=3+4=7,

当直线/斜率存在且不为0时，设直线E：y=做％+1),直线1：y=—(0+1),

A(xvyi),B(X2,y2),M(X3,乃),N(x4,y4),

y=fc(x+1),

联立方程组1/2整理得(4/+3)工2+8々2冗+4々2-12=0,

—I—=1,

I43

[7|||,-8k24k2—12

22

因止匕|48|=V(X1-X2)+(yi-72)=7k2+1+冷)2—=噂普,

同理可得IMNI=尊磬，

所以|M|+|MN|=7+高一悬^=7-五面

由于12k2+卷224,当且仅当/=1时等号成立，则|阴+|MN|<7,

综上所述，|阳+|河川的取值范围为畏7].

【变式5-1](23-24高三上•陕西西安•开学考试)已知点F为抛物线。产=2pjc(p>0)的焦点，点P(l,2),

<2(0,1),且|PF|=|QF|.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若正方形2BCD的顶点力、B在直线1:x-y+2=0上，顶点C、。在抛物线C上，^\FC\+\FD\.

【解题思路】

(1)由抛物线方程可得F0),进而结合两点间的距离公式列方程求解即可；

(2)设直线CD的方程为：y=x+小，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得月+乃=8,乃乃=8m,

进而结合正方形的性质及抛物线的焦半径公式求解即可.

【解答过程】(1)由题设可得尸g,0),

则|PF|=J(l-Q2+4,\QF\=J(0-Q2+l,

又|PF|=|QF|,故=J(。-(f+l,

整理得p-4=0,即p=4.

所以抛物线C的方程为y2=8x.

(2)因为力BCD是正方形，所以4B〃CD,直线/与CD之间的距离等于|CD|,

设直线CD的方程为：y=x+m,

V-X+TH

(y2=8%，消去汽得：y2-8y+8m=0,

由A=64—32m>0,得m<2,

设。(巧,为)，0(%2/2)，则yi+丫2=8,y/2=8m,

所以|CD|=V2\y1-y2\=a,J(yi+、2产一4yly2=8V2-m,

直线l与CD间的距离为d=曙，

所以整理得：128(2-加)=(小一2/，

V2

由于血<2,故解得zn=-126,

所以汽1+%2=+乃-2m=8+252=260,

故|FC|+\FD\=/+小+p=260+4=264.

【变式5・2】(2024•内蒙古赤峰•一模)已知抛物线尸:、2=2「%(0〈口＜5)上一点、的纵坐标为4,点(2到焦

点尸的距离为5,过点F做两条互相垂直的弦力B、CD.

(1)求抛物线P的方程.

(2)求明+|CD|的最小值.

【解题思路】(1)首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意根据抛物线的定义得到42=2p(5-乡,

解得即可；

(2)设直线43方程为％=my+1(THH0),且2(久1/1),联立直线与抛物线方程，表示出弦长口阴，

同理得到|CD|,再由基本不等式计算可得.

【解答过程】⑴抛物线P：y2=2px(0<p<5)的焦点为尸信0),准线方程为x=—当

由题可知42=2「(5-乡，

解得p=2或p=8(舍)，

所以，抛物线P的方程为y2=4x.

(2)依题意直线的斜率存在且不为0,

设直线方程为x=my+1(m0),且力(Xi，yD，BQx2,y2)>

联立^2^4%)可得旷?-4my-4=0,显然△>0,

所以+力=4m,y/2=-4,

贝!J|力引=+m2不+为下-4yly2

=Vl+m2V16+16m2=4m2+4.

同理|CD|=4+3，

所以|48|+\CD\=4巾2+.+822J4m2.+8=16,当且仅当m=±1时取等号，

所以|4B|+|CD|的最小值为16.

【变式5-3］（2024・陕西安康•模拟预测）已知椭圆C:5+，=l（a〉b>0）的左、右焦点分别为Fi，B，上,

下顶点分别为4,42，四边形4%4292的面积为2旧且有一个内角为今

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若以线段尸抵为直径的圆与椭圆C无公共点，过点41,3）的直线与椭圆C交于BQ两点（点P在点Q的上方）,

线段PQ上存在点M,使得鼠=盟，求|MFi|+|M&l的最小值.

【解题思路】（1）由题意可得a的值及b的值，即求出椭圆的方程；

（2）由线段F1F2为直径的圆与椭圆。无公共点，可得9+9=1，分直线PQ的斜率存在和不存在两种情况

讨论，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，设点”的坐标，由需=黑，可

得点M的横纵坐标的关系，由IMF/+\MF2\>网巾=］偌+I）,+借丫=警，可得1MF/+|“尸21的最

小值.

【解答过程】（1）由题意可得2g=3a2sin］可得a=2,

b=asin-=1,或b=asin-=V3,

63

所以椭圆的方程为：9+俨=1或9+9=1;

（2）由以线段为直径的圆与椭圆。无公共点，得b>c,

所以椭圆C的标准方程为：y+y=l,

因为：+9>1,所以点4在椭圆C外，

设PQ1，yi）,Q3,%），MOo,yo），

当直线PQ的斜率存在时，黑=产生,黑=£包，

\AQ\l-x2\MQ\XQ-X2

由瞿=黑，可得尸=山，解得配=小巨牛，（*）

\AQ\\MQ\l-x2x0-x22-（均+%2）

设直线PQ:y-3=k（%—l）,

y