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文档简介
河北省邯郸市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在平行四边形中,为对角线的交点,点为平行四边形外一点,且,,则()A. B.C. D.2.在中,,则()A. B. C. D.3.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数4.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()A. B. C. D.5.已知函数,关于x的方程f(x)=a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)6.公元前世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了米,此时乌龟便领先他米,当阿基里斯跑完下一个米时,乌龟先他米,当阿基里斯跑完下-个米时,乌龟先他米....所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为()A.米 B.米C.米 D.米7.若均为任意实数,且,则的最小值为()A. B. C. D.8.若,则的值为()A. B. C. D.9.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A. B.C. D.10.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.411.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.140 D.120二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列,已知前三个和尚的身高依次成等差数列,后三个和尚的身高依次成等比数列,且前三个和尚的身高之和为cm,中间两个和尚的身高之和为cm,则最高的和尚的身高是____________cm.14.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)15.若,且,则的最小值是______.16.如图,在长方体中,,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面EFG,则线段长度的最小值是________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角的对边分别为,若(1)求角的大小(2)若,求的周长18.(12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63519.(12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,⋯,12,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e20.(12分)已知分别是的内角的对边,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面积.(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求的值.21.(12分)已知函数(1)若函数在处取得极值1,证明:(2)若恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知正实数满足.(1)求的最小值.(2)证明:
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
连接,根据题目,证明出四边形为平行四边形,然后,利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接,由,知,四边形为平行四边形,可得四边形为平行四边形,所以.【点睛】本题考查向量的线性运算问题,属于基础题2、A【解析】
先根据得到为的重心,从而,故可得,利用可得,故可计算的值.【详解】因为所以为的重心,所以,所以,所以,因为,所以,故选A.【点睛】对于,一般地,如果为的重心,那么,反之,如果为平面上一点,且满足,那么为的重心.3、D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.4、B【解析】
,将,代入化简即可.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算、数乘运算,考查学生的运算能力,是一道中档题.5、D【解析】
原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【详解】由题意,a>2,令t,则f(x)=a⇔⇔⇔⇔.记g(t).当t<2时,g(t)=2ln(﹣t)(t)单调递减,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则⇔,记h(t)(t>2且t≠2),则h′(t).令φ(t),则φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由,可得,即a<2.∴实数a的取值范围是(2,2).故选:D.【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.6、D【解析】
根据题意,是一个等比数列模型,设,由,解得,再求和.【详解】根据题意,这是一个等比数列模型,设,所以,解得,所以.故选:D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用,还考查了建模解模的能力,属于中档题.7、D【解析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题,可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题,结合图形,可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决,从而求得切点坐标,即满足条件的点,代入求得结果.【详解】由题意可得,其结果应为曲线上的点与以为圆心,以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值,可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值,在曲线上取一点,曲线有在点M处的切线的斜率为,从而有,即,整理得,解得,所以点满足条件,其到圆心的距离为,故其结果为,故选D.【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用,考查圆的程,两条直线垂直的斜率关系,属中档题.8、C【解析】
根据,再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以二项式的展开式的通项公式为:,令,所以,因此有.故选:C【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了二项式展开式通项公式的应用,考查了数学运算能力9、D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为,又因为鸡蛋的体积为,所以球的半径为,所以球心到截面的距离,而截面到球体最低点距离为,而蛋巢的高度为,故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题,考查球体有关的知识.在解答过程中,如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时,可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面,然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.10、A【解析】
由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题11、A【解析】
根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件,故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.12、C【解析】
试题分析:由题意得,自习时间不少于小时的频率为,故自习时间不少于小时的频率为,故选C.考点:频率分布直方图及其应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
依题意设前三个和尚的身高依次为,第四个(最高)和尚的身高为,则,解得,又,解得,又因为成等比数列,则公比,故.14、-40【解析】
由题意,可先由公式得出二项展开式的通项,再令10-3r=1,得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为:-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用,解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式,属于基础题.15、8【解析】
利用的代换,将写成,然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为(即取等号),所以最小值为.【点睛】已知,求解()的最小值的处理方法:利用,得到,展开后利用基本不等式求解,注意取等号的条件.16、【解析】
如图,连接,证明平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.当时.线段的长度最小,再求此时的得解.【详解】如图,连接,因为E,F,G分别为AB,BC,的中点,所以,平面,则平面.因为,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.在中,,故当时.线段的长度最小,最小值为.故答案为:【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明,考查立体几何中的轨迹问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)11【解析】
(1)利用二倍角公式将式子化简成,再利用两角和与差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再将平方,利用向量数量积可得,从而可求周长.【详解】由题解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周长为【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式,属于基础题.18、(1)无关;(2),.【解析】
(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而可得列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得.因为3.030<3.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X~B(3,),从而X的分布列为X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=19、(1)模型y=eλx+t的拟合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】
(1)由相关系数求出两个系数,比较大小可得;(2)(i)先建立U额R0关于x的线性回归方程,从而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回归方程可得x值.【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性.解:(1)r1r2则r1<r(2)(i)先建立U额R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U额R0关于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年销售额y需达到90亿元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性与应用性20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知结合正弦定理先进行代换,然后结合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后结合三角形的面积公式可求;(Ⅲ)结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【详解】(Ⅰ)因为,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因为,所以;(Ⅲ)由于,
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