圆锥曲线常考题型（原卷版）-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线常考题型

圆锥曲线的定义：

①阿氏圆

例1.已知A,8为平面内的两点，AB=2,〃是AB的中点，点P在该平面内运动，且满

足PA=6PB,则PM的最大值为.

例2.已知A(O,1),8(1,0),C«,0)，点。在直线AC上，若|4。|,,0|3。|恒成立，则f的

取值范围是—.

例3.已知a,是平面内三个单位向量，若,则|a+2c|+13a+2b-c|的最小值是

巩固练习：

1.平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),圆(7:(尤-。)2+(＞一2。+4)2=1.若圆C上存在

点使M4=2MO,则a的取值范围是.

2.已知A,3是平面上两个定点，平面上的动点C,。满足£豆=出=相，若对于任意

\CB\\DB\

的根..3,不等式|CO|„Z|AB|恒成立，则实数)的最小值为.

②隐含“圆”

例1.已知a、6是单位向量，。乃=0.若向量c满足|c-a-b|=l,贝！l|c|的最大值是.

例2.在平面直角坐标系中，A和3是圆C:(x-l)2+;/=l上两点，且48=应，点尸的

坐标为(2,1),则|2尸4-尸8|的取值范围为.

例3.已知尤,yeR,且满足尤-66-4“-y+12=0,则x的取值范围为.

巩固练习:

1.已知圆C:(x-1)2+(y-必)2=1和两点A(0,〃?)，2(0,-ni){m>0),若圆C上存在点P,

使得NAPB=90。，则实数机的取值范围为.

2

2.已知圆G:d+丁=9,圆C2:Y+y=4,定点Af(l,0),动点A,B分别在圆C2和圆G上，

满足NAMB=90。，则线段AB的取值范围是.

3.若实数a,b,c成等差数列，点尸(-1,0)在动直线依+勿+c=0上的射影为已知点

N(3,3),则线段跖V长度的最大值是.

③利用定义求轨迹方程

例1.已知动点尸(x,点满足一2)2+(y-J+*+121,则点尸的轨迹是()

A.双曲线B.抛物线C.两条相交直线D.椭圆

例2.已知圆C:(x+3/+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线C。

于点则动点Af的轨迹方程为一.

例3.已知圆(x+4)2+V=25的圆心为根，圆。_4)2+丁=1的圆心为此，动圆与这两个

圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为一.

巩固练习：

1.如图，在正方体45c中，当动点M在侧面内运动时，总有

NMD、D=NBDQ,则动点M在平面BCQ耳内的轨迹是()

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

2.已知两点耳(-/,0)、居(百,0),设圆。：/+丁=4与x轴交于A、5两点，且动点尸

满足：以线段gp为直径的圆与圆。相内切，如图所示，记动点尸的轨迹为r,则轨迹r的

方程是—.

④利用定义求值

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例1.如图，把椭圆匕+L=1的长轴4?分成8等份，过每个分点作无轴的垂线交椭圆的

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上半部分于6、P2>〃、舄、乙、乙、6七个点，P是椭圆的一个焦点，则

V尸|+|下尸1+|鸟尸I+IBPI+W产I+M尸1+有尸1=—.

例2.关于x的实系数一元二次方程Y-2p尤+4=0的两个虚根4、z2,若4、z2在复平面

上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为—,

巩固练习：

1.已知抛物线C:y2=2Px(0>0)的焦点为F,P(3,m)是抛物线上一点，过点P向抛物线C的

准线引垂线，垂足为若AFDF为等边三角形，则°=—.

⑤利用定义求最值和范围

例1.已知点Q（2夜,0）及抛物线＞=、上一动点P（%,%）,则%+|PQ|的最小值为.

例2.若C（-石,0）、。（6,0）,V是椭圆三+丁=1上的动点，则+的最小值

4-\MC\\MD\

为—,

巩固练习：

1.如图，点F是抛物线C：f=4y的焦点，点A,3分别在抛物线C和圆f+（y-i）2=4的

实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则AAFB周长的取值范围是—.

圆锥曲线的最值和范围：

一、方程思想

例1.已知七,x2是关于x的方程/+如-（2血+1）=0的两个实数根，则经过两点A（x1,%；）,

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8（无2，尤；）的直线与椭圆亮+亍=1公共点的个数是（）

A.2B.1C.0D.不确定

22

例2.已知椭圆6：、+]=1的左右焦点为耳，F2,直线乙过点K且垂直于椭圆的长轴,

动直线4垂直于直线4于点尸，线段超的垂直平分线与4的交点的轨迹为曲线C2,若

A（l,2）,2（再，y）,C（x2,%）是C?上不同的点，且则为的取值范围是.

巩固练习：

1.过直线/:尤+y=3上任一点尸向圆C:f+y2=i作两条切线，切点分别为A,3,线段至

的中点为。，则点。到直线/的距离的取值范围为一.

22

2.过椭圆二+二=1上一点Af作圆/+9=2的两条切线，切点为A、B,过A、3的直

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线与x轴和y轴分别交于P、Q,则APO。面积的最小值为.

二、函数思想

例1.若实数x,y满足、+9=1,则(x+l)(2y+l)的取值范围是.

例2.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)(a>0),尸是函数y=L(x>0)图象上一

动点，若点尸，A之间的最短距离为20,则满足条件的正实数。的值为一.

例3.已知P点是椭圆三+9=1上的动点，。点是圆f+⑶一2)2=1上的动点，则线段PQ长

度的最大值为一.

巩固练习：

22

1.若点。和点尸分别为椭圆工+工=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则。尸."

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的最小值为.

2.已知圆O以钻为直径，半径为2,点O,M都在线段AB上，AO=2,BM=1,过

点M作互相垂直的弦GE和FD,则GE.FD的取值范围是.

三、基本不等式

1.已知抛物线丁=16X的焦点为尸(4,0),过F作直线/交抛物线于M,N两点，则

2.若椭圆三+4=1(。>匕>1)内有圆/+/=1,该圆的切线与椭圆交于A,3两点,

ab~

且满足。405=0(其中。为坐标原点)，贝19储+16廿的最小值是

四、数形结合思想

①直线和圆

例1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆无2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x-3y+c=0的

距离为1,则实数c的取值范围是—.

例2.已知圆。:犬+;/=1,直线/：x-y-2=0,动点P为/上一点，圆。存在一点Q,使得

ZQPO=30°,则点P横坐标的取值范围是.

例3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:(无-a)?+(y+a-3)2=4(。eR).过原点的动直线

/与圆M交于A,B两点.若以线段互为直径的圆，与以M为圆心，为半径的圆始

终无公共点，则实数。的取值范围是—.

巩固练习：

1.已知直线/:立一＞+左=0和_M:(x-2)2+(y-2)2=l,若直线/上存在点A,M上存在

B,C两点，使得ZBAC=工，则％的取值范围为.

3----

2

2.已知集合A={(x,y)|(无一3-4cosq)2+(y-5-4sin^)=4,0ER],

B={(x,y)|3x+4y-19=0}.记集合P=A「B,则集合P所表示的轨迹的长度为.

3.在平面直角坐标系中，已知点尸(3,0)在圆C:(元-加了+(y-2)2=40内，动直线过点产，

且交圆C于A,5两点，若AABC面积的最大值为20,则实数〃?的取值范围是.

②几何意义(包含线性规划)

例1.已知圆C:(x+2)2+_/=1,尸(x,y)为圆。上任意一点.

(1)求匕匚的最大值和最小值；

x-1

(2)求尤-2y的最大值和最小值；

(3)求(尤-1)?+(y-1)。的最大值和最小值.

flgllr4

例2.设x、y满足约束条件匚，贝心=炉+(}；-4)2的取值范围是.

"[-1骸!k-y0-

例3.在平面直角坐标系xOy中，A,3是圆O：f+y2=2上两个动点，且Q4_LO8.若A,

3两点到直线/:3x+4y-10=0的距离分别为4,d2,则4+4的最大值为-

例4.若函数/(x)=|asinx+Z?cosx-l|+|Z2sinx-acos玳a,Z?eR)的最大值为H,则

a2+b2=.

巩固练习：

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1.已知P(x,y)是椭圆£+5=1上的一个动点，则x+y的最大值是.

2.函数f(x,y)=y]9x2+4+J9x2-12孙+4y?+1+J4y'-16y+20的最小值为

,达到最小值时，尤,y的值分别为—.

3.函数=_1+sm夕(0WxW1)的最小值为g(。),则对一切0,J,g(。)的

2+cos62

最大值为.

4.已知x»0,Y+(y—2)2=1,则W=3,+2/2+5厂的最值是_.

,f+V

③是否存在三角形

例1.如图：平面上两点P(0,l),Q(3,6),在直线y=x上取两点M,N,使|MV|=J5

且使|PM|+1睦V|+1NQ|的值取最小，则N的坐标为

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例2.居是椭圆上+乙=1的右焦点，P是椭圆上的动点，A(L用)为定

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点，贝||24|+|「片|的最小值为.

例3.点P在椭圆?+1-=1上运动，Q、R分别在两圆(龙+1)?+V=1和(％一1)2+/=1

上运动，则IPQI+IPRI的最大值为,最小值为

例4.点M是抛物线C:x2=2py(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点

尸在抛物线。上，在AFPM中，sinZPFM=AsinZPMF,则；I的最大值为.

巩固练习：

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1.椭圆工+匕=1的右焦点为b，点P是椭圆上一动点，点又是圆C：尤2+(y—3)2=1上

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一动点，求1PMl+|P目的最大值及此时点P的坐标.

2.已知圆M:炉+⑶―=1,圆N:/+(y+l)2=1,直线4、4分别过圆心M、N,且《

X2V2

与圆/相交于A、3两点，4与圆N相交于C、。两点，点尸是椭圆一+"=1上任意

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一点，则巳4-23+/>(7-7>。的最小值为一.

④曲线的图像

例1.由曲线f+y2=|x|+|y|所围成的图形面积为.

例2.在约束条件|x+l|+|y-2|,,3下，目标函数z=x+2y的最大值为.

例3.若曲线G:y=2+JT2-2X与曲线C2：(y-2)(y-辰+左)=0有四个不同的交点,则实数

%的取值范围是.

巩固练习：

1.已知女wZ,若曲线f+y2=%2与曲线孙=左无交点，则女=.

丫2

2.如果方程j+y|y|=l所对应的曲线与函数y=/(x)的图象完全重合，那么对于函数

y=/(兀)有如下结论：

①函数/。）在H上单调递减；②y=/（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；

③函数/（尤）的值域为（-8,2］；④函数/（x）=/（x）+x有且只有一个零点.

其中正确结论的序号是—.

3.已知曲线C：学-