有理数及其运算（解析版）-2024-2025学年七年级数学上册（北师大版）

清单02有理数及其运算（22个考点梳理+题型解读+提升训练）

有

理

数

及

其

运T交换律）

算T运算律I一-1结合律I

，分类律

有理数的运算一T加减

|w|j-|薪

q乘方

T科学记数法，有效数拈近似数|

【清单01】正数和负数

（1）概念

正数：大于。的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“一”号的数都是负数，而是在正数前加“一”的数。）

（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

【清单02】有理数

（1）概念

整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）

注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称

为非正整数。

(2)分类：两种

⑴按正、负性质分类:⑵按整数、分数分类:

「正有理数正整数正整数

有理数正分数整数40

l-t-J

李有理数负整数

,负有理数「负整数分数「正分数

负分数负分数

【清单03】数轴

(1)概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度

(2)对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

「比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(3)应用j求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

(注意不带“+”“一”号)

【清单04】相反数

(1)概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。(0的相反数是0)

几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

(2)性质：若a与b互为相反数，贝！］a+b=0,即a=-b；反之，

若a+b=0,则a与b互为相反数。

「两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

(3)多重符号的化简-

-多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数

(注意：当“一”号的个数是偶数个时，结果取正号当“一”号的个数是奇数个时，结果取负号)

【清单05】绝对值

(1)几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

厂个正数的绝对值是它的本身(若|a|=|b|,贝1J2=1)或&=-1))

(2)代数意义j一个负数的绝对值是它的相反数

0的绝对值是0

(3)代数符号意义：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,则a20,|a|=-a,则a=0|

-a=0,|a|=0

_a<0,|a|=-a

注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

(4)性质：绝对值是a(a>0)的数有2个，他们互为相反数。即土a。

(5)非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即间\0。几个非负数之和等于0,则每个非负数都等

于0。故若|a|+|b|=0,则a=0,b=0

1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(6)比较大小

L2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

【清单07】加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0o

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

【清单08】加法运算定律

(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a

(2)加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

【清单09】减法法则

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a—b=a+(-)b

【清单10】乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

(2)任何数同0相乘，都得0。

(3)多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确

定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。

(4)多个数相乘，若其中有因数0,则积等于0；反之，若积为0,则至少有一个因数是0。

【清单11】乘法运算定律

(1)乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即aXb=ba

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即aXbXc=(aXb)

Xc=aX(bXc)。

(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即aX(b+c)=

aXb+aXc()

【清单12】倒数

(1)定义：乘积为1的两个数互为倒数。

(2)性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。

注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.

【清单13】除法法则

(1)除以一个(不等于0)的数，等于乘这个数的倒数。

(2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(3)0除以任何一个不等于0的数，都得0。

【清单01】乘方法则运算

(1)正数的任何次事都是正数

(2)负数的奇次幕是负数，负数的偶次事是正数

(3)0的任何正整数次第都是0

【清单01】混合运算

(1)先乘方，再乘除，最后加减。

(2)同级运算，从左到右的顺序进行。

（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两

步走：先确定符号，再求值。

【清单01】科学计数法

1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成axion的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。

这种记数的方法叫做科学记数法。（lW|a|<10）

注：一个n为数用科学记数法表示为aX10"i

2.近似数的精确度：两种形式

（1）精确到某位或精确到小数点后某位。

（2）保留几个有效数字

注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示

例如：256000（精确到万位）的结果是2.6X105

3.有效数字：从一个数的左边第一个非。数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。

注：

（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0X104的有效数字是3o

（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。

例如:2.605万的有效数字是2,6,0,5o

型需单

【考点题型一】正负数

【典例1】《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方.六不积算，五不单张.”意思就是说，在用算筹

计数时，1〜5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6〜9则以上面的算筹再加下面相应的算筹

来表示.我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放

一支算筹表示负数的方法.如:II=TTT'表不+238,则JI表不—238.那么，

I内’表示的数是（）

A.-136B.+136C.-132D.+132

【答案】A

【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规

定.根据题中规定解答即可.

【详解】

解：根据题意得：“I三y”表示的数是-136,

故选：A.

【变式1-1】如果向南走10米记作+10米，那么向北走5米记作（）米

A.+5B.+15C.0D.-5

【答案】D

【分析】本题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反

意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.在一对具有相

反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】解：••・向南走10米记作+1。米，

二向北走5米记作-5米，

故选：D.

【变式1-2】体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试.以每分钟25个为达标，记作0.小明的成绩

记作-2,则他仰卧起坐的个数是（）

A.27B.24C.23D.25

【答案】C

【分析】本题主要考查了正负数的意义，深刻理解正负数的意义是解题的关键.正数与负数表示意义

相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负.

用正负数表示意义相反的两种量：高于每分钟25个记为正，则低于每分钟25个就记作负，由此得解.

【详解】解：25—2=23（个），

故选：C.

【变式1-3］如果节约用电30千瓦时记作+30千瓦时，那么浪费用电20千瓦时可以记作（）

A.-50千瓦时B.-30千瓦时C.-20千瓦时D.+20千瓦时

【答案】C

【分析】本题考查了负数的认识，用正负数表示一对相反意义的量，如果收入用正数表示，支出就用

负数表示.根据正负数的意义即可求解.

【详解】解：节约用电30千瓦时记作+30千瓦时，那么浪费用电20千瓦时可以记作-20千瓦时，

故选：C.

【考点题型二】相反意义的量表示

【典例2】早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在.如果把收入8元记作+8元，

那么支出6元记作()

A.一6元B.-8元C.+6元D.+8元

【答案】A

【分析】本题考查了正负数的应用.根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表

示方法.

【详解】解：如果把收入8元记作+8元，那么支出6元记作-6元，

故选：A.

【变式2-1】中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家.若粮库把运进20吨粮食

记为“+20”,则“-20”表示()

A.卖掉20吨粮食B.运出20吨粮食C.吃掉20吨粮食D.亏损20吨粮食

【答案】B

【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键.

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可解答.

【详解】•••粮库把运进20吨粮食记为“+20”，

“-20”表示为运出20吨粮食，

故选：B.

【变式2-2】如果向东走8m,记作+8m,那么向西走10m,记作.

【答案】—10m/—10米

【分析】此题主要考查相反意义的量，解题的关键是熟知正负数的代表相反的含义.根据正负数的性

质即可求解.

【详解】解：如果向东走8m,记作+8m,那么向西走10m,记作一10m.

故答案为：—10m.

【变式2-3】一次数学测试，如果80分为优秀，以80分为基准简记，例如90分记为+10,那么70分

应记为分.

【答案】-10

【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，高于80分记为正，低于80分记为负，据此解答即

可.

本题考查了相反意义的量，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】解：70-80=-10,

所以70分应记为-10.

故答案为：-10.

【考点题型三】有理数的概念辨析

【典例3】下列说法正确的个数为（）

①有理数与无理数的差都是有理数；

②无限小数都是无理数；

③无理数都是无限小数；

④两个无理数的和不一定是无理数；

⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】本题考查了有理数、无理数的概念和性质，熟练掌握有理数、无理数的概念和性质是解题的

关键.

根据有理数、无理数的概念和性质进行分析，判断每个说法的正确性即可.

【详解】解：①有理数与无理数的差不一定是有理数，例如：1-五,故该项不正确；

②无限小数不都是无理数，无限循环小数是有理数，故该项不正确；

③无理数都是无限小数，故该项正确；

④两个无理数的和不一定是无理数，例如诟+（-何）=0是有理数，故该项正确；

⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，0不是无理数，故该项不正确；

故正确的个数有2个；

故选：A

【变式3-1】在-1,0,|,-6.8和2024这五个有理数中，正数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键.

【详解】正数有：羡和2024,有2个正数.

故选B.

【变式3-2】如果a为有理数，则下列结论中正确的是()

A.-a一定是负数B.2a是偶数C.|a|是正数D.(-a)3=-a3

【答案】D

【分析】本题考查有理数的相关概念.根据题意，逐项判断即可.

【详解】解：A.a为负数时，-a是正数，此项不正确；

B.a为分数时，2a是不是偶数，此项不正确；

C.a为0时，|a|是0，此项不正确；

D.(—a)3=—a3,此项正确.

故选：D.

【变式3-3]在0,p1.3434434443...,等，3.14中，有理数的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数可以化为有限小数或无限循

环小数，据此即可求解.

【详解】解：在0,p1.3434434443...,y,3.14中，有理数有0,等，3.14三个.

故选：C

【考点题型四】有理数的分类

【典例4】把下列各数分别填在它所在的集合里：

—5,-2004,一(—4)，+(—])'13卜—36%,0,6.2

(1)正有理数集合{}

(2)负有理数集合{}

(3)分数集合{}

(4)非负整数集合{}

【答案】(1)2004,-(-4),y,6.2

(2)—5,_g,—|—13|，-36%

(3)——?—36%,6.2

(4)2004,一(一4)，0

【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答本题的关键.

(1)直接利用正有理数的定义分析得出答案；

(2)直接利用负有理数的定义分析得出答案；

(3)直接利用非分数的定义分析得出答案；

(4)直接利用非负整数的定义分析得出答案.

【详解】⑴解：—(—4)=4,+(-=)=-p-|-13|=-13；

91

正有理数集合｛2004,-(-4),y,6.2...｝;

21

故答案为:2004,-(-4),6.2；

(2)负有理数集合｛-5,-i-|-13|，-36%...)；

故答案为：-5,-i-|-13h—36%；

1

(3)分数集合｛一g,-36%,6.2...｝；

1

故答案为：—士—36%,6.2；

(4)非负整数集合：｛2004,-(—4)，0...｝；

故答案为：2004,一(—4),0.

【变式4-1］把下列各数填入它所在数集的大括号内：

10n••

—2.4,3,7.004,——,1，—0.15,0,—(—6,28)，14,—|—4|

正有理数集合：｛…｝

非负整数集合：｛…｝

负分数集合：｛…｝

【答案】见解析

【分析】本题考查了有理数的分类，根据正有理数、非负整数、负分数及有理数的定义，结合所给数

据进行判断即可.

【详解】解：—(—6.28)=6.28,—|—4|=-4,

正有理数集合：｛3,7.004,-(-6.28)，14｝

非负整数集合：｛3,0,14｝

1n..

负分数集合：｛—2.4,—,-0.15｝

【变式4-2]把下列各数分别填入相应的集合：0,-7,5.6,-4.8,-%y,15,也

整数集合（...）;

分数集合（...）

非负数集合（...）;

负数集合（...）.

【答案】0）—7,15；5.6,—4.8,—8p][0,5.6,y-,15,1—7,—4.8,—8；

【分析】本题考查了有理数的分类，由题意直接根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的集合中

即可，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键.

【详解】解：整数集合（0,—7,15）；

分数集合（5.6,—4.8,—畛y,|）

1

非负数集合（0,5.6,15,-）；

负数集合（-7,-4.8,—8»

【变式4-3】把下列各数分别填入相应的大括号内：

12,22

—4,10%,-1-,-2,101,-1.5,0,0.6,—3,—,—3.1；

正数集合：｛____________________

负数集合：｛____________________

负分数集合：｛____________________

整数集合：｛____________________

非负数集合：｛...｝.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的概念是解题的关键.根据有理数的分类直接

进行解答.

【详解】解：正数集合：｛10%、101、3'亍、06｝；

负数集合：｛一4、一片、—2、一1.5、-3、-3.1）；

负分数集合：｛一岑T.5、-3.1｝；

整数集合：｛一4、-2、0、101、-3｝；

非负数集合：｛10%、101、0、0.■6,年7?、17）,

故答案为：10%、101、—>—>0.6；—4、—1—>—2、—1.5、—3、—3.1；—1—>—1.5、—3.1；—4、

1222

一2、0、101、-3；10%、101.0、0.6、彳、

【考点题型五】有理数的大小比较

【典例5】如果—l<a<0,那么关于-a,a,?1三者的大小关系，下列正确的是（）

1ri

A.-a<-<aB,-<-a<a

11

C-a<-a<-D,-<a<-a

【答案】D

【分析】本题考查简单的有理数比较，倒数，代入满足条件的数字即可.本题可代入一个满足条件的

数字，然后再进行比较即可.

【详解】解：根据分析可设a=《，代入可得—a*,卜―2,

可得£<a<—a,

故选：D

【变式5-1】一1、0、—2的大小顺序是（）.

A.|>0>-1>-2B.-1<-2<|<0

C.|>0>-2>-1D.-2>-1>|>0

【答案】A

【分析】本题考查有理数的大小比较，根据负数都比。小，正数都比0大，两个负数比较大小时绝对

值越大反而越小比较即可.

【详解】=1、|-2|=2,

-1>—2,

1

>0>—1>—2,

故选：A.

【变式5-2］大于一3.5且小于2.3的整数共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】A

【分析】本题考查有理数的大小比较，根据题意得到大于-3.5且小于2.3的整数有-3、-2、-1、0、

1、2,即可求解.

【详解】解：大于—3.5且小于2.3的整数有—3、—2、—1、0、1、2,

大于-3.5且小于2.3的整数共有6个，

故选：A.

11

【变式5-3】比较大小：--一万（填或“=”）

【答案】＞

【分析】本题主要考查有理数的大小比较，根据两个负数相比较，绝对值大的负数反而小，求解即

可.

故答案为：＞,

【考点题型六】数轴的三要素及其画法

【典例6】如图各图中，表示的数轴正确的是（）

A.-3-2-101234

1111__1____1»

B.-3-2-1123

111.

C.-101

11_____11»

D.-1012

【答案】C

【分析】本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.根据数轴的三要素，即

可解答.

【详解】解：如上图各图中，表示的数轴正确的是

—।------------1--------------1-＞

-I0I

故选：C.

【变式6-1】下图中是数轴的为（）

A.0B.210-1-2

111111

।।।।-A

C.-2T012D.-2-1012

【答案】D

【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素.根据“数轴是规定了原点、单位长

度和正方向的直线”，即可求解.

【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意；

B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意；

C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意；

D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意.

故选：D.

【变式6-2】下列是四位同学画的数轴，正确的是（）

111»11II1

C.21（）I2D.-2-I（）

【答案】C

【分析】本题考查数轴的三要素和画法.掌握原点、正方向、单位长度称数轴的三要素是解题关

键.根据三要素逐一分析即可.

【详解】解：根据原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，即可知C选项正确.

故选：C.

【变式6-3］下列图形表示数轴正确的是（）

A.।21112B.41n能汽售

------------------•->值好批-维_________裨

C.।01D.加I国霸岑

【答案】B

【分析】本题是对数轴的考查，熟记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度以及数轴上的数的特点

是解题的关键.

【详解】解：A.从左向右点所表示的数依次增大，故A错误；

B.符合数轴的三要素原点、单位长度，正方向，故B正确；

C.单位长度不一致，故C错误；

D.画成射线了，故D错误.

故选：B.

【考点题型七】利用数轴比较有理数的大小

【典例7】在数轴上表示下列各数：—10,-4,(—2)2,RI，并用号把它们连接起来.

I____I_____|_____|____|_____|____|_____|____I»

-4-3-2-101234

【答案】在数轴上表示见解析，—4<—1<0<|—33<(—2)2

【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内

容是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大.先在数轴上表示出各个

数，比较即可.

【详解】解：(-2)2=4,|-3||=3|,

-4F0卜3万|(-2)2

―।---1----L_»_l----1----1----1----1----L—»—I----1_>

-5-4-3-2-1012345-4<-|<0<|-3||<(-2)2.

【变式7-1］有理数a,6在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是()

-b=46~~ai

A.a+Z?>0B.b-a<0C.ab>0D.\a\>\b\

【答案】B

【分析】先根据数轴可以得到力<0<a,且网>|a|,再利用实数的运算法则即可判断.本题主要考查

了利用数轴来进行实数大小比较.由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和

“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意

培养数形结合的数学思想.

【详解】解：根据点在数轴的位置，知：/?<0<a,且网>|a|.

A、vft<0<a,且网〉|a|,a+&<0,故本选项错误；

B>vb<a,b-a<0,故本选项正确；

C、a>0,b<0,/.ab<0,故本选项错误；

D、\b\>\a\,故本选项错误.

故选：B.

【变式7-2］若有理数。在数轴上对应的点如图所示，则。，-a,-1的大小关系是()

•&t

A.CL<—CL<-1B.-CLVa<-1C.-CL<-1VCLD.CL<—1<—CL

【答案】D

【分析】本题考查了有理数大小比较：正数大于0,负数小于0;两个负数比较大小负数的绝对值越

大，这个数越小.也考查了数轴.

【详解】解：由数轴可得a<—L

.,.-a>1,

■■CL<—1<—CL,

故选D.

【变式7-3］把下列各数在数轴上表示出来，并将各数按从小到大的顺序排列，用连接.

2石，—(+3)，|-3|>0.

-5-4-3-2-101234

【答案】各数表示见解析，一(+3)<-3<0<21<［-3|

【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上数的位置比较两个数的大小是解

此题的关键.

先在数轴上表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可.

【详解】解：—(+3)=—3,|-3|=3,

11

把2目，-—(+3),|-3|,0表示在数轴上如图所小：

11

2o1-31

-(+3)-EO3

.•--(+3)<-1<0<2|<|-3|.

【考点题型八】数轴上两点之间的距离

【典例8】在数轴上，距离表示数-2的点4个单位长度的点是()

A.-6B.6C.2D.-6或2

【答案】D

【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，掌握分类讨论思想成为解题的关键.

将数-2分别向左或向右移动4个单位长度，即可解答.

【详解】解：由题意知：将数-2向左移动4个单位长度，对应的点表示的数是-6；将数-2向右移动4

个单位长度，对应点表示的数是2.

故选：D.

【变式8-1】数轴上与原点距离是2的点有两个，它们表示的数是（）

A.一2和0B.2和0

C.一2和2D.一1和1

【答案】C

【分析】本题考查了数轴，根据数轴上与原点距离的定义即可，熟练掌握数轴上点的表示及几何意义

是解题的关键.

【详解】解：数轴上与原点距离是2的点有两个，分别为-2和2,

故选：C.

【变式8-2】数轴上点P表示的数为-3,与点P距离为4个单位长度的点表示的数为.

【答案】—7或1

【分析】本题考查了数轴上两点距离，设该点表示的数为x,根据题意得|-3-加=4,进而即可求解.

【详解】解：设该点表示的数为％,

根据题意得：|-3-刘=4,

解得：*=-7或久=1.

故答案为：-7或1.

【变式8-3】如果数轴上的点a对应的数为3,那么与点a相距4个单位长度的点所对应的数为一.

【答案】7或一1

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，注意分类讨论思想的应用.分情况计算，与点4相距4个

单位长度的点可能在点4的右边，也可能在点4的左边，由此计算即可.

【详解】解：如果数轴上的点A对应的数为3,那么与点2相距4个单位长度的点所对应的数为

3+4=7或3-4=-1,

故答案为：7或-1

【考点题型九】数轴上的动点问题

【典例9】【阅读材料】若数轴上点4、点B表示的数分别为a,b(6>a),则力、B两点间的距离可表示

为b-a,记作AB=b—a.

【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点4再向右移动10个单位

长度到达点8.

(1)请画出数轴，并在数轴上标出尔B两点的位置；

(2)若动点P,Q分别从点48同时出发，沿数轴向左运动.已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q

的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒(t>0).

①用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为；

②t为何值时，点P表示的数与点Q表示的数互为相反数？

③t为何值时，P,Q两点之间的距离为4?

【答案】(1)见解析

⑵①(-2-1)，(8-2t);②t=2；③t=6或t=14.

【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键.

(1)根据题意画出数轴，即可解答；

(2)①用含t的代数式表示即可；

②根据相反数的意义列式计算即可求解；

③根据题意列出绝对值方程即可求解.

【详解】(1)解：如图：

AB

l.lIIIIIII1.1〉

-3-2-10123456789；

(2)解：①t秒时，点P表示的数为(-2-1)，点Q表示的数为(8-2t);

故答案为：(一2-1)，(8-2t);

②由题意得：(-2-t)+(8-2t)=0，

解得：t=2；

③由题意得：|(—2T)_(8—2t)|=4,BP|t-10|=4,

/.t-10=4或10=—4,

解得：1=14或1=6.

【变式9-1］已知数轴上/、8两点对应的数分别为a、b,且满足奴+1|=-初一3)2

AB

(1)求点4、5两点对应的有理数是；

(2)若点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点尸出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过一

秒时，尸到4的距离刚好等于P到5的距离的2倍.

【答案】—1,3；5或葺

Zo

【分析】(1)根据非负式子和为0它们分别等于。直接求解即可得到答案；

(2)分点尸在2点左侧右侧两类讨论，结合距离问题列式求解即可得到答案；

【详解】解：⑴"\a+1|=-(b-3)2,

•••|a+1|+(6-3)2=0,

.t.a+1=0,b—3—0,

解得：a=-1,b=3,

故答空1答案为：-1,3；

(2)当点尸在5点左侧时，

PB=2t—(8—3)=2t-59A,P=[8—(—1)]—2t—9—23

・・•尸到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍,

.'.9-2t—2(2t—5)—0,

即：16—6t=0,

1Q

解得：

当点P在3点右侧时，

PB=(8—3)—2t=5-2t9AP=[8—(—1)]—2t=9-2t,

•・•尸到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍，

.•.9-2t-2(5—2t)=0,

即：—l+2t=0,

解得：”宏

故答空2答案为：T或卷；

【点睛】本题考查绝对非负性应用及数轴上动点距离问题，解题的关键是注意分类讨论.

【变式9-2】如图，点4表示的数是一5.

AB

(1)在数轴上表示出原点。；

(2)点B表示的数是；

(3)将点B向左移动3个单位长度到点C,那么点C表示的数是；

(4)在数轴上找点D,使点。到4、。两点的距离相等，那么点。表示的数是；

(5)点E在数轴上，与点B的距离为3个单位长度，那么点E表示的数是.

【答案】(1)见解析

⑵2

(3)-1

⑷-3

(5)5或一1

【分析】(1)根据数轴上的点位置和绝对值，确定原点的位置；

(2)原点确定后，确定点B所表不的数；

(3)根据(2)中求得B所表示的数再向左移3个单位长度到点C；

(4)根据距离的表示方法即可求得：

(5)分两种情况分别求出点E所表示的数，一种是点E在点B的左侧，另一种是点E在点B的右侧，根据

距离和绝对值求出所表示的数.

【详解】(1)

解：原点在点/的右侧距离点/五个单位长度，如图所示，原点。即为所求

AOB

J111111111A

(2)解：点8在原点的右侧距离原点2个单位，因此点8所表示的数为2.

(3)解：将点B所表示的数，向左移3个单位长度得到点C,故得到2-3=-1,因此点C表示的数为

-1.

(4)解：•・•点。到4、C两点的距离相等，4表示的数是一5,C表示的数为-1,

・•・设。表示的数为工，则可得—If=x—(―5),解得x=-3

故点D表示的数为-3.

(5)解：①当点E在点B的左侧时，2—3=—1,

②当点E在点B的右侧时，3+2=5,

因此点E表示的数为-1或5.

故点E表示的数为-1或5.

【点睛】本题考查数轴表示数，确定点在数轴上的位置，掌握数轴的相关概念是解题的关键.

【变式9-3】点4B在数轴上分别表示有理数a、b,4、8两点之间的距离表示为48,在数轴上4、B两

点之间的距离48=\a-b\.利用数形结合思想回答下列问题：

⑴数轴上表示4和8两点之间的距离是.

(2)数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为.

(3)若x表示一个有理数，则|久-2|+|x+4|的最小值=.

(4)己知，如图2、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10,B点对应的数为90.若当电子蚂蚁P从

B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从4点出发，以2个单位/秒的速

度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？

【答案】(1)4；

(2)|%-7|：

(3)6；

(4)12秒或28秒.

【分析】(1)根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解；

(2)根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解；

(3)根据数轴上两点之间的距离的求法，然后分情况讨论即可求解；

(4)根据数轴上两点之间的距离的求法，分情况讨论即可求解.

【详解】(1)数轴上表示4和8两点之间的距离是|8-4|=4,

故答案为：4：

(2)数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为仅一7|,

故答案为：|x—7];

(3)根据绝对值的定义有：|久-2|+|x+4|可表示为点x到2与-4两点距离之和,

根据几何意义分析可知：

当x<—4时,|x—'2|+|x+4|——X+2—X—4=—2x—2>6,

当一4<x<2时,|x—2|+|x+4|=~x+2+x+4=6,

当x>2时，\x-2\+|x+4|=x-2+x+4=2x+2>6,

当％在一4与2之间时，|%-2|+|x+4|的最小值=6,

故答案为：6:

（4）AB=90-（-10）=100,

相遇前：（100-40）+（2+3）=12（秒），

相遇后：（40+100）+（2+3）=28（秒）,

则经过12秒或28秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度.

【点睛】此题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离表示和采用数形结合的思想是解

题的关键.

【考点题型十】倒数的概念和相反数的概念

【典例10]—6的倒数是（）

11

A.6B.-6C.6~D.--6

【答案】D

【分析】此题主要考查倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数.

根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：•••—6x（—0=1

6的倒数是-《

O

故选：D.

【变式10-11一2023的相反数是（）

A.-2023B.2023C.七D.一夫

【答案】B

【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，根据只有符号不同的

两个数是互为相反数解答即可.

【详解】解：-2023的相反数是2023.

故选B.

【变式10-2]一9的倒数是（）

334

氏C

A.4--4-3-D.以上答案都不对

【答案】B

【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可.

【详解】解：•.•—公（一0=1,

.一辆倒数是一也

故选：B.

【变式10-3】下列各组数中，互为相反数的是（）

A.3和弓B.3和一3c.|—小耳D.抑一（一乡

【答案】B

【分析】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义.利用相反数的定义判断.

【详解】解：3和1不互为相反数，A选项不符合题意；

3和-3互为相反数，B选项符合题意；

两个数不互为相反数，C选项不符合题意；

两个数不互为相反数，D选项不符合题意.

故选：B.

【考点题型十一】相反数的性质运用

【典例11］已知a+4与2互为相反数，那么a=.

【答案】-6

【分析】根据相反数的定义求解即可.

【详解】解：:a+4与2互为相反数，

a+4+2=0,

/.a=-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键.

【变式11-1］若m、n互为相反数，则|m-5+n|=.

【答案】5

【分析】根据互为相反数的两个数的和为0,可得-5的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得

答案.

【详解】解：m,几互为相反数，

|m-5+n|=|-5|=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了绝对值，先算m+九的值，再算绝对值.

【变式11-2］若a,6互为相反数，c,d互为倒数，贝U3(a+b)—4(cd)=.

【答案】-4

【分析】互为相反数的两数和为0,互为倒数的两数乘积为1,据此作答.

【详解】a,b互为相反数，故a+6=0：

c,d互为倒数，故cd=l；

则3(a+b)-4(cd)=3X0—4X1=-4

故答案为：-4.

【点睛】本题考查相反数、倒数的性质，解决本题的关键是熟悉相反数、倒数的性质并应用.

【变式11-3］若(a-2)2与|6+3|互为相反数，贝必―匕=

【答案】5

【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0,这两个非负数的值都为0”解出。、方的值，再代

入所求代数式计算即可.

【详解】解：:(。-2)2与|6+3|互为相反数，

.•.(a-2)2+|b+3|=0,

.■-a-2=0且6+3=0,

解得a=2且b=-3,

.■-a—b=2—(-3)=2+3=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：

(1)绝对值；

(2)偶次方；

(3)二次根式(算术平方根).

当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.

【考点题型十二】绝对值定义、绝对值的性质

【典例12】一个数的绝对值等于*则这个数是.

【答案】

【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义进行求解即可.

【详解】解：••・一个数的绝对值等于

•••这个数是士*

故答案为：士*

【变式12-11—3的绝对值是（）

11

A.-3B.3C.--D.-

【答案】B

【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，进行解答即可.

【详解】•.•负数的绝对值等于它的相反数，

；•—3的绝对值是3,

故选：B.

【