整式的加减（原卷版）-2024-2025学年七年级数学上册（北师大版）

清单03整式的加减（19个考点梳理+题型解读+提升训

练）

考曼帐单

整

式

的

加去括号

减合并同类项

整式的加减运算

整式的加减一

整式加减化简求值

整式加减的应用

整式加减中无关型问题

日历中的规律

探索与表达规律数字中的规律

图形中的规律

【清单01】代数式

i.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：

①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、＞、＜、等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子

一般都是代数式；

③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

2.代数式的书写格式：

①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；

③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如2-xa应写作,a；

33

④数字与数字相乘，一般仍用“X”号，即“X”号不省略；

4

⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4+(a-4)应写作——；注意：分数线具有

a-4

“七”号和括号的双重作用。

⑥在表示和(或)差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，

如—疔)平方米。

【清单02】单项式

1.单项式定义

(1)定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。

说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.

2、单项式的系数：

单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.

说明：(1)单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如3/的系数是3；空的系数是工；

33

4.8。的系数是4.8；

(2)单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号

如—4盯2的系数是—4；—(2/了)的系数是—2；

(3)对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1,不能认为是0,如-。〃的系数是/；。〃的系

数是1；

(4)表示圆周率的口，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部

分，而不能当成字母。如2mxy的系数就是2.

3、单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

说明：

(1)计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式2/^2?

的次数是字母z,y,X的指数和，即4+3+1=8,而不是7次，应注意字母z的指数是1而不是0；

(2)单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式-24丁/24的次数是2+3+4=9

而不是13次；

(3)单项式是一个单独字母时，它的指数是1,如单项式m的指数是1,单项式是单独的一个常数时，一

般不讨论它的次数；

4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“*”或者省略不写。

例如：100x/可以写成100•/或100/

5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.

【清单03】多项式

1、定义：几个单项式的和叫多项式.

2、多项式的项：

多项式中的每个单项式叫做多项式的项.

3、多项式的次数：

多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.

4、多项式的项数：

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.

5、常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.

【清单04】整式

(1)单项式和多项式统称为整式。

(2)单项式或多项式都是整式。

(3)整式不一定是单项式。

(4)整式不一定是多项式。

(5)分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

【清单05】同类项

L定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2.合并同类项：

（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

（2）合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（3）合并同类项步骤：

a.准确的找出同类项。

b.逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

c.写出合并后的结果。

（4）在掌握合并同类项时注意：

a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

b.不要漏掉不能合并的项。

c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

型情单

【考点题型一】用代数式表示式

【典例1】六一儿童节，学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆，租用一辆大巴车和一辆面

包车的费用分别是600和400元，若租了a辆大巴车，租车总费用是元.

【变式1-1】一箱梨的售价为a元，箱子和梨的总质量为mkg,箱子的质量为律kg,则每千克梨的售价

为元.

【变式1-2】标价为机元的商品，若打8折出售，则售价为元.（用含有加的代数式表示）

【变式1-3】为了丰富班级的课余活动，王老师预购置5副羽毛球拍和20个羽毛球，已知买一副羽毛球

拍要a元，买一个羽毛球要b元.王老师一共要花元（用含a、6的式子表示）.

【考点题型二】用代数式的概念及意义

【典例2】下列式子，符合代数式书写格式的是（）

A.B.2gbC.mx7D.%+y

【变式2・1】下列各式中，符合整式书写要求的是（）

1

A.%­5B.4mxnC.—lxD.--ab

【变式2-2］代数式5（y-5）的正确含义是（）

A.5乘y减5B.y的5倍减去5

C.y与5的差的5倍D.5与y的积减去5

【变式2-3】贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式3m,关于这个代数式，下列说

法正确的是（）

A.表示3与zn的和B.表示3与租的商

C.表示单价为3元的钢笔买了小支的总价D.表示3与机的差

【考点题型三】求代数式的值

【典例3】已知代数式3y2—2y+6的值是8,那么6y2—4y的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3-1］若久—2y—2的值为1,则整式2x—4y—3的值为（）

A.-2B.3C.0D.9

【变式3-2］已知2a+36=1,那么l—4a—66=.

【变式3-3】已知。-26=-2,贝|4—2a+46的值为.

【考点题型四】单项式的判断

【典例4】下列代数式中6,-3必；等,/+、2,_3a23中，单项式共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【变式4-1】下列式子孙、—3、a3+1、等、_m2nyI2中，单项式的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式4-2】下列式子中,C）是单项式.

,3c21

A.-B.一C3D

7Ta-而

【变式4-3】在式子5久2_刈|,a+b中，单项式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点题型五】单项式的项和次数

【典例5】单项式-2/y的系数和次数分别是（）

A.2、3B.-2、3C.2、2D.-2、2

【变式5-1】代数式-誓的系数是,次数是.

【变式5-2］已知0+3）专/阳+1是关于x,＞的五次单项式，则加的值是,

【变式5-3】单项式-等的系数与次数的乘积为.

【考点题型六】多项式的判断

【典例6】在下列整式、b-m2,竽，拳2.5V中多项式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式6-1】下列各式中是多项式的是（）

I1r

A.-xyB.2xC.-D.x2-2

【变式6-2】下列式子京6,安，|+p/+%—3中，多项式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式6-3】在式子击、去一久、6孙+1、手中，多项式有个.

【考点题型七】多项式的项、项数或次数

【典例7】多项式2好_丫2+盯—4%3y3+1是次项式，其中最高次项的系数是

A.3,3B.3,-3C.5,-3D.2,3

【变式7-2］若关于久、y的多项式3%同必+%2y-4是四次三项式，则m的值为.

【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值

【典例8】多项式3，啊/2+町2+2是四次三项式，则加的值为（）

A.2B.-2C.±2D.0

【变式8-1］若多项式3㈤+（m-5）%2+3是关于x的五次三项式，则m的值为

【变式8-2］若多项式2/aT「（a-3产+7是关于X的二次三项式，则a的值为.

【变式8-3］若3%阿—（2-租/+5是关于x的二次三项式，那么小的值为.

【考点题型九】整式的判断

【典例9】下列式子：久2+2,5+4,竿，?，5支，。中，整式的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【变式9-1】下歹!J式子%3一薛8-*abc+6,0,高丹皇中，整式有（

A.3个B.4个C.5个D.6个

【变式9-2】下列代数式中，整式有几个（）

p2久+y,3a2b,0.5,a

A.4个B.5个C.6个D.7个

【变式9-3】代数式：2x+y,1a2b,g,0,5中整式的个数（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点题型十】去括号和添括号

【典例10】下列去括号中正确的（）

A.%+（3y+2）=%+3y—2B.a2—(3a2—2a+1)=a2—3a2—2a+1

C.y2+（-2y-l）=y2-2y-lD.—(2m2—4m—1)=-2m2+4m—1

【变式10-1］下列添括号正确的是（)

A.a—b+c=Q—（b+c）B.d—b+c=Q—(—b—c)

C.a-b+c=ct—（b—c）D.a—b+c=a—(—b+c)

【变式10-2】下列各式中，去括号正确的是（）

A.—(2a+1)=-2a+1B.—(―2a—1)=—2a+1

C.—(2a—1)=—2a+1D.—(—2a—1)=2a—1

【变式10・3】下列等式正确的是()

A.-ci+b=—(a—b)B.—CL+b=—(b+a)C.2—3x=-(3%+2)D.30—x=5(6—x)

【变式10-4】添括号：一比2-1=—（）.

【考点题型十一】同类项和合并同类项

【典例11］若2£!机+262与—a362n是同类项，则6―八的结果为（）

A.1B.0C.-2D.-1

【典例121下列运算正确的是()

A.2a—3a=-1B.a2b-3ab2=-2a2h

C.4a-2a=2aD.a2h2—ah=ab

【变式12・11下列运算中，正确的是()

A.3a+4b=7abB.7a-3a=4

C.2a+2a=4a2D.a2b—ba2=0

【变式12-2］下列各组是同类项的一组是()

233

A.xy^xyB.-2ab^baC.ac与beD.TIC3X^9XC3

【变式12-3］下列运算正确的是()

A.2a2+/=3。5B.2a2—a2=2

C.3abc+ah=4abcD.2a2b+ba2=3a2b

【变式12-4］若一7%M+2y与_3%3y九是同类项，贝Ij⑺一九）2013的值为

【考点题型十二】整式的加减运算

【典例13】计算：

2()

(l)(8a-7b)-2(5a-66);(2)(4x—5xy)+6%y—|%2

【变式13-1］化简下列各式：

(1)3/+2a+2—6a2—1—5a；(2)3Q2+2a+2—6a2—1—Set；

Q

(3)(4a2b-3ah)+(5a2b+4ab)；(4)3X2-［5X-(-X-3)+2x2］.

【变式13-2］化简：

22

(l)p+3pq—6—8p+pq；(2)3(2/—孙)-4(/+Xy—6)-

【变式13-3］化简下列式子：

(1)m—5m2+3—2m-l+5m2；(2)(2x2-3xy+4y2)-3(^x2—xy+|y2).

【考点题型十三】整式的加减中的化简求值

【典例14］先化简，再求值：-7(2a2b-ab2)+5(-ab2+2a2。)，其中。=1,b=-l.

【变式14-1】先化简，再求值：；(4。2+2a—8)-(ga-3)，其中a=l.

【变式14-2】先化简，再求值：2x—2(3/+乂—/y)+3(/+y),其中乂=一2,y=3.

【变式14-3】己知4=/—3久y+y2,5=x2_^Xy_y2

⑴求4—B;

(2)如果24-3B+C=0,求C

【考点题型十四】整式加减的应用

【典例15】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）.

图⑴图⑵

（1）如图（1）,请用代数式表示窗帘的面积:;用代数式表示窗户能射进阳光的面积:

；（结果保留n）

（2）小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表

示窗户能射进阳光的面积:.；（结果保留Tt）

（3）当a=3米，b=2米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为

________（it取3）

【变式15-1】窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm）,其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正

方形.已知下部小正方形的边长为xcm.计算:

（1）窗户的面积是多少？

（2）窗户的外框的总长是多少？

(3)当久=20时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？

【变式15-2］如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便,

学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化(阴影部分).设走道的宽为x米.

(1)求走道的全面积为.

(2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积;

(3)经商议按25元/米2的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元?

【变式15-3】今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去

外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产

的汽车有x辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：

土特产种类甲乙

每辆汽车运载量(吨)43

每吨土特产利润(元)140160

(1)求这10辆汽车共装运土特产的数量(用含有x的式子表示)；

(2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润(用含有光的式子表示).

(3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利加元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车

为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求小的值.

【考点题型十五】整式加减中的无关型问题

【典例16］已知多项式M=(2%2+3%y+3%)-2(%2_町+

1

(1)先化简，再求值，其中％y=-1；

(2)若多项式〃与字母x的取值无关，求〉的值.

【变式16-1】已知关于刀的多项式4、B,其中4=小好+2尤一1,B-x2-nx+2(m,n为有理数).

⑴化简3B-4；

(2)若3B—4的结果不含x项和小项，求加、〃的值.

【变式16-2］已知4=2久2-5xy-7y+3,B-x2-xy+1.

⑴求44一(24+B)的值；

(2)若A-2B的值与y的取值无关，求x的值.

【变式16-3］定义：若x-y=?n,则称x与y是关于m的相关数.

(1)若5与a是关于2的相关数，贝必=.

(2)若4与B是关于爪的相关数，A-3mn-5m+n+6,B的值与m无关，求8的值.

【考点题型十六】日历中的规律

【典例712024年1月日历排列如图所示，用“JT形的方式任意框五个数.

202忤1月

—*二三四五六日

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

293031

⑴若框住的5个数中，正中间的一个数为10,则这5个数的和为:

(2)用式子表示“X，形框内五个数的和.

(3)“JT形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理

由.

【变式17-1】在一张日历上，在同一行上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是()

A.63B.39C.27D.50

【变式17-2】下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个请你用一

个等式表示a、b、c、d之间的关系

日一二三四五六

1

23：45678

I

910：1112：131415

1________________•

16171819202122

23242526272829

30

【变式17-3］如图是某月的日历，现有一个十字形框框出5个数,请观察图形解答下列问题:

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

(1)日历图中十字形框框出的5个数之和是该十字形框正中间数的一倍；

(2)如果用a表示正中间的数，这5个数的和等于一，这个关系对其他这样的十字形框成立吗?

(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么？

(4)如果将十字形框改为H形框，你能发现哪些规律？

(5)你还能设计一个什么形状的包含数字规律的数框？

【考点题型十七】数字中的规律

【典例18】求1+2+22+23+…+22°21的值时，可令5=1+2+22+23+…+22021,则2s=2+22

+23+…+22022,因此2S—S=22022—1.依照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52022的值为

A.52022—1B.52023_1C.-~—