七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题03 二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略（解析版）

专题03二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】 1【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】 2【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】 4【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】 5【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】 7【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 9【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】 10【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 12【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】 14【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】 15【过关检测】 16【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】例题：（2023下·浙江·七年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【答案】大头儿子现在的年龄为10岁【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意得：，解得：，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．【变式训练】1．（2023下·全国·七年级专题练习）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】例题：（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意，得：，解得，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m，n人，由题意得：，整理得：，当时，；当时，；当时，；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．【变式训练】1．（2023下·福建南平·七年级统考期末）“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个(2)有四种购买方案，见解析【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可；（2）设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得，再利用方程的正整数解可得答案．【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据题意，得解这个方程组得：，答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得，化简得，所以，因为m，n均为非负整数，所以，所以，且n为非负整数，所以当；当，当，当，所以共有四种购买方案．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键．【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】例题：（2023·广东佛山·校考一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为一斤．问雀、燕每1只各重多少斤？【答案】每只雀重斤，每只燕重斤【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据题意，得，解得，答：每只雀重斤，每只燕重斤．【变式训练】1．（2023下·吉林长春·七年级校考期中）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？【答案】甲带了45钱，乙带了30钱．【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱60．”列方程组求解即可．【详解】解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得，解得．∴甲带了45钱，乙带了30钱．【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】例题：（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，则顺流的速度为千米/时，逆流的速度为千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】设水流的速度是千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，根据题意得：解得：答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.【变式训练】1．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，(1)求小车和摩托车的速度．(2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时(2)小时或小时或小时或小时【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：1小时20分小时．设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，根据题意得：，解得：．答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，根据题意得：或或或，解得：或或或．答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成．工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天(2)元【分析】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据题意得：，解得：．答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；（2）解：根据题意得：元．答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，解得，答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元．（2）解：甲单独完成：（元）乙单独完成：（元）甲、乙两队完成：（元），∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】例题：（2023上·江西九江·八年级统考阶段练习）为落实“五育并举”、提高学生的身体素质，某校在课后服务中大力开展球类运动，现需要购买一批足球、篮球．已知购买1个足球和1个篮球共需140元，购买2个足球和3个篮球共需340元，求足球和篮球的单价．【答案】足球的单价为80元，篮球的单价为60元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设足球的单价为元，篮球的单价为元，根据“购买1个足球和1个篮球共需140元；购买2个足球和3个篮球共需340元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求解．【详解】解：设足球的单价为元，篮球的单价为元，依题意得：，解得：．答：足球的单价为80元，篮球的单价为60元．【变式训练】1．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，保护环境从日常出行做起．我市实行限行政策后，某天小林在某停车场观察到：该停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，已知停车场的车轮总数为110个，求三轮车和小轿车各有多少辆？（请用二元一次方程组解答）【答案】停车场有三轮车10辆，小轿车20辆【分析】设停车场有三轮车x辆，小轿车y辆，根据停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，停车场的车轮总数为110个，列出方程组进行求解．【详解】解：设停车场有三轮车x辆，小轿车y辆．由题意得：，解得：；答：停车场有三轮车10辆，小轿车20辆．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】例题：（2023上·山东·八年级期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨(2)答案见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，根据用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨列出方程组求解即可；（2）根据题意可得，再根据a、b均为非负整数解方程即可得到答案．【详解】（1）解：设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由题意得：，解得：，答：设1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨；（2）解：由题意得：，∴，又∵a、b均为非负整数，∴或或，，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．【变式训练】1．（2023上·四川达州·八年级校考期末）下列两题任选一道（1）初二两班共计有95名学生，他们的体育平均达标率达到标准的百分率是，如果一班学生的达标率是，二班学生的达标率是，那么一、二班人数各是多少人？（2）某单位新盖了一栋楼房，要从相距132米处的自来水主管道处铺设水管，现有8米长的与5米长的两种规格的水管可供选用．请你设计一种方案，如何选取这两种水管，才能恰好从主管道铺设到这座楼房？这样的方案有几种？若8米长的水管每根50元，5米长的水管每根35元，选哪种方案最省钱？【答案】（1）一班人数是人，二班人数是人；（2）①共有种选取方案，方案：选取根米长的水管，根米长的水管；方案：选取根米长的水管，根米长的水管；方案：选取根米长的水管，根米长的水管；②选取根米长的水管，根米长的水管最省钱．【分析】本题主考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的应用.（1）设一班人数是x人，二班人数是y人，根据“初二(1)(2)两班共计有95名学生，且他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是”，可列出关于x，y的二元一次方程组解之即可得出结论；（2）①设选取m根8米长的水管，n根5米长的水管，根据需要水管的总长度为132米，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各选取方案；②利用总价等于单价乘以数量，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一班人数是人，二班人数是人，根据题意得：，解得：．答：一班人数是人，二班人数是人；（2）①设选取根米长的水管，根米长的水管，根据题意得：，，又，均为非负整数，或或，共有种选取方案，方案：选取根米长的水管，根米长的水管；方案：选取根米长的水管，根米长的水管；方案：选取根米长的水管，根米长的水管；选择方案所需费用为（元）；选择方案所需费用为（元）；选择方案所需费用为（元）．，选取根米长的水管，根米长的水管最省钱．【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】例题：（2023下·七年级课时练习）水果店老板老李第1次用3900元购进荔枝、龙眼两种水果，销售完后获得利润1200元，它们的进价和售价如表：（总利润＝单件利润×销售量）商品价格荔枝龙眼进价（元/箱）120100售价（元/箱）150140(1)老李第1次购进荔枝、龙眼两种水果各多少箱？(2)老李第2次以原价购进荔枝、龙眼两种水果，购进荔枝箱数不变，而购进龙眼的箱数是第1次的2倍，荔枝按原价销售，而龙眼打折销售，等两种水果销售完毕，结果发现所获利润与第一次不一样，只有960元，则龙眼是打几折销售的？【答案】(1)荔枝20箱，龙眼15箱(2)八折【详解】（1）设老李第1次购进荔枝箱，龙眼箱，根据题意，得解得答：老李第1次购进荔枝20箱，龙眼15箱．（2）设龙眼是打折销售的，根据题意，得，解得．答：龙眼是打八折销售的．【变式训练】1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：类型进价（元/个）售价（元/个）款120款90若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．(1)求和的值；(2)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售、两款足球各多少个?（每款都有销售，且购买款足球的数量都是3的倍数）【答案】(1)m的值为80，n的值为60(2)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球，18个B款足球【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；（2）设该日商场销售个款足球，个款足球，利用总利润每个的销售利润销售数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论．【详解】（1）根据题意得：解得：所以的值为80，的值为60.（2）设该日商场销售个款足球，个款足球，根据题意得：，，又，均为正整数，或，或．答：该日商场销售13个款足球、9个款足球或6个款足球、18个款足球．【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．【详解】解：根据题意设：个位数字为，十位数字为，，解得：，原来的两位数为：，答：原来的两位数是．【变式训练】1．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．(2)第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．根据题意得：，由②，得：③，得：．把代入①得：，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？

【答案】一个小长方形的周长为，面积为．【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是列出方程组，可求解．【详解】解：由题意可得：∴答：一个小长方形的周长为，面积为．【变式训练】1．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）如图：用块相同的长方形拼成一个宽为厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？【答案】每块小长方形的长为厘米，宽为厘米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形、结合“大长方形宽为厘米”列出二元一次方程组求解是解题的关键．【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意得：，解得：，答：每块小长方形的长为厘米，宽为厘米．【过关检测】一、单选题1．（2023上·河南平顶山·八年级统考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（

）A．84 B．48 C．41 D．148【答案】A【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设这个两位数的个位数是x，十位数是y．根据题意，得解得则这首歌的歌词的字数是84个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．【详解】解；设木头长为x尺，绳子长为y尺，由题意得，，故选A．3．（2023上·广西南宁·七年级统考期中）将4个完全相同的小长方形分别放入两个形状大小完全相同的长方形中，两个大长方形未被覆盖部分分别是图（1）和图（2）的阴影部分，如果大长方形的长为，则图（1）与图（2）的阴影部分周长之差是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用，设小长方形的长为，宽为，由图（1）可得，解得，继而根据周长公式求出两个阴影部分的周长，从而得出答案，正确列出代数式是解此题的关键．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图（1）可得，解得：，两个大长方形的形状大小相同，大长方形长为，宽为，图（1）阴影部分的周长为，图（2）阴影部分的周长为，周长差为：，故选：C．二、填空题4．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的．本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为．【答案】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，可以列出相应的方程组．【详解】解：由题意可得，，故答案为：．5．（2023上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）一次数学竞赛有12道题，评分规定为：做对一道题得10分，做错一道题扣5分．小明答了全部题目，但只得了90分，他答对了道题．【答案】10【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小明做对x道题，做错了y道题，根据赛题有12道题，小明答了全部题目，但只得了90分，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设小明做对x道题，做错了y道题，由题意得：，解得：，即小明答对了10道题，故答案为：10．6．（2023上·陕西西安·七年级校考期中）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①），是世界上最早的矩阵，又称幻方，用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如图②）．观察图②根据你所观察的规律，则图③中．【答案】3【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．通过观察和口算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可确定出“幻方”需要的条件，再由此规律列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：通过观察和口算可知，“幻方”需要满足的条件是：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．由幻方的条件得：，解得：，∴，故答案为：三、解答题7．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）古代算题：“今有牛三、羊二，值金八两；牛二、羊三，值金六两．牛羊各值金几何?”请你读懂题意，给予解答.【答案】一头牛价值两金．一头羊价值两金．【分析】本题考查古代数学中的二元一次方程组的问题．本题的两个等量关系为：3头牛的价值+2只羊价值；2头牛的价值+3只羊的价值，根据这两个等量关系可列出方程组．【详解】解：设一头牛值金x两，一只羊值金y两．则，得：，解得：，将代入①得，解得：，则原方程组的解集为．答：一头牛价值两金．一头羊价值两金．8．（2023上·福建莆田·七年级校考阶段练习）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需安排多少名工人加工大小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？（列方程解决问题）【答案】需要安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮【分析】设需要安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，根据2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可得关于x、y的二元一次方程组，再求解即可．【详解】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，由题意得，，解得，答：需要安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．9．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.【答案】这个两位数是为34．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．【详解】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得：，解得：．所以，原来的两位数是为34．答：原来的两位数是为34．10．（2023下·七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？【答案】(1)2倍(2)20圈【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得∴．答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得，解得．答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．11．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）为了倡导节约用水，某城市规定：每户居民每月的用水标准为，超过标准部分加价收费．已知某户居民某两个月的用水量和水费分别是，元和，元．(1)求标准内水价和超过标准部分的水价分别是多少？(2)如果小刚家月的水费平均单价为元/，则小刚家月的用水多少？【答案】(1)标准内水价和超过标准部分的水价分别是2和4元(2)小刚家月的用水【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列等式方程是解题的关键．（1）设标准内水价和超过标准部分的水价分别是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；（2）设小刚家月的用水，依题意得，，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：设标准内水价和超过标准部分的水价分别是元，依题意得，，解得，，∴标准内水价和超过标准部分的水价分别是2和4元；（2）解：设小刚家月的用水，依题意得，，解得，，∴小刚家月的用水．12．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知用2辆A型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆型车装满药物一次可运13吨．(1)求1辆A型车和1辆型车都装满药物一次可分别运多少吨？(2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案，求出所有租车方案．（甲、乙两辆车均有在使用）【答案】(1)1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆型车装满药物一次可运5吨(2)有2种租车方案：租A型车6辆，型车3辆；租A型车1辆，型车6辆【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）设1辆型车装满药物一次可运吨，1辆型车装满药物一次可运吨，根据用2辆型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆型车和2辆型车装满药物一次可运13吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可．【详解】（1）解：设1辆A型车装满药物一次可运吨，1辆型车装满药物一次可运吨，由题意得：解得：答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆型车装满药物一次可运5吨．（2）解：由题意，得，整理得：，因为，均为正整数，所以或所以有2种租车方案：①租A型车6辆，型车3辆；②租A型车1辆，型车6辆．13．（2023上·全国·八年级专题练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？【答案】(1)种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元(2)该公司共有二种购买方案，最大利润为元【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键．（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可；（2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可．【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，由题意可得：，解得，，∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．（2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得，，且，∴，∵为正整数，∴或，∴该公司共有二种购买方案，当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元．14．（2023上·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．(1)求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；(2)第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2580元，求A品牌篮球打几折出售？【答案】(1)A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元；(2)A品牌篮球打九折出售．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用．（1）设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出答案；（2）设A品牌篮球打折出售，分别算出A、B品牌篮球的利润，然后根据第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2580元，列出方程，解出即可得出答案．【详解】（1）解：设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元，根据题意，可得：，解得：，∴A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元；（2）解：设A品牌篮球打折出售，∴A品牌篮球的利润为：（元），B品牌篮球的利润为：（元），根据题意，可得：，解得：，∴A品牌篮球打九折出售．15．（2023上·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考阶段练习）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金每次100元，型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨(2)方案1：租用1辆A型车，7辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用9辆A型车，1辆B型车．(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，3辆7型车，最少租车费为940元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金每辆车的租车费用租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意：得，解得：，答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）解：依题意，得：，又∵a，b均为正整数，或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，7辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用9辆A型车，1辆B型车．（3）解：方案1所需租金为（元）；方案2所需租金为（元）；方案3所需租金为（元）．，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，3辆7型车，最少租车费为940元．16．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）当下公园露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式．某户外用品店老板决定采购一批帐篷进行销售，已知A型普通帐篷的进价比B型简易帐篷多100元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．(1)每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？(2)8月份该店以a元每顶售出A型帐篷120顶，以b元每顶售出B型帐篷150顶．销售收入合计为79200元．①用含a的式子来表示b；②9月份该店根据市场变化决定每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在8月的基础上下降了元，9月份A型帐篷的销售数量比8月份增加了60顶，B型帐篷的销售数量是8月份的，该店9月份销售这两种帐篷共获利12600元，求a的值．【答案】(1)每顶A型帐篷进价为300元，B型帐篷的进价为200元(2)①；②【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，代数式表示式（1）设每顶A型帐篷是x元，B型帐篷的进价分别是y元，根据A型普通帐篷的进价比B型简易帐篷多100元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同，列出方程组进行求解即可；（2）①根据a元每顶售出A型帐篷120顶，以b元每顶售出B型帐篷150顶．销售收入合计为79200元，列出式子即可；②利用总利润（A型帐篷的销售价格进价）销量（B型帐篷的销售价格进价）销量，即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设每顶A型帐篷是x元，B型帐