七年级数学下册压轴题攻略湘教版-专题01 解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略(解析版)

专题01解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一求二元一次方程的正整数解】 1【考点二解二元一次方程组】 2【考点三二元一次方程组的错解复原问题】 5【考点四二元一次方程组的特殊解法】 8【考点五新定义型二元一次方程组问题】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一求二元一次方程的正整数解】例题：二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】B【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．【详解】解：方程2x＋3y＝11，解得：y＝，当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，则方程的正整数解有2组，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y．【变式训练】1．二元一次方程的正整数解有（

）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C【分析】用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案．【详解】解：由得：，当x＝1时，；当x＝2时，；当x＝3时，；∴二元一次方程的正整数解有3组，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够求出所有的正整数解是解题的关键．2．方程的所有正整数解为______．【答案】【分析】先用x将y表示出来，然后根据x、y均为正整数运用列举法即可求解．【详解】解：由可得y=，∵x、y均为正整数，∴＞0，即x＜5当x=2时，y=4，∴方程4x+3y=20的正整数解为．故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解答本题题的关键．【考点二解二元一次方程组】例题：解二元一次方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法即可求解；（2）利用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：，把①代入②，得，解这个方程，得，把代入①，得，解得，所以这个方程组的解是；（2）解：，①×3，得③，②+③，得，解得，把代入①，得，解得，所以这个方程组的解是．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．【变式训练】1．解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）解方程组，采用加减消元法，由得：，求出的值，再代入式中，即可求得的值，从而得到答案；（2）解方程组，采用代入消元法，由得：，将代入得，，求出的值，再将的值代入即可求得的值，从而得到答案．【详解】（1）解：，由得：，解得：，将代入得：，解得：，方程组的解为；（2）解：，由得：，将代入得，，解得：，把代入得，，方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的解法有加减消元法和代入消元法，根据方程组的特点，选取合适的方法是解题的关键．2．解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）运用加减消元法解答即可；（2）整理后，运用加减消元法解答即可．【详解】（1）解：，由得：，解得：，代入中，解得：，所以，原方程组的解为；（2），由①得：③，③②得：解得：，将代入②得：，所以，原方程组的解为：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法．【考点三二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2023下·七年级课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题：解方程组：解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误；(2)请写出此题正确的解答过程．【答案】(1)加减消元，五(2)【详解】（1）加减消元

五（2）①×2，得6x－2y＝8，③②－③，得－y＝2，解得y＝－2．把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4，解得，故原方程组的解为【变式训练】1．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）小明解二元一次方程组的过程如下：解：第1步：①两边同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程组的解是(1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据．(2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解．【答案】(1)等式性质2，等式性质1(2)不正确，第②步错误，见解析【分析】（1）根据等式性质即可得出答案；（2）根据加减消元法解方程组的步骤进行判断即可．【详解】（1）解：①两边同乘以2，得，③，该步骤利用的是等式性质2；，得，该步骤利用的是等式性质1；故答案为：等式性质2；等式性质1；（2）错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下：两边同乘以2，得：③，得：，解得：，将代入①得：，解得：，故原方程组的解为．【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．2．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①，得．③第一步②③，得．第二步．第三步代入①，得．第四步所以，原方程组的解为．第五步填空：①以上求解步骤中，第一步的依据是；②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是（填序号）；A．数形结合B．类比思想C．转化思想D．分类讨论③小彬同学的解题过程从第步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：．【答案】①等式的性质2②C③二；【分析】①根据等式的性质进行计算即可；②将“二元”转化为“一元”，进而得到解决；③利用二元一次方程组的解法求解即可．【详解】解：①把的两边都乘以3得，根据是等式的性质2，故答案为：等式的性质2；②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，故答案为：C；③小彬同学的解题过程从第二步开始出现错误，正确的解答如下：解：①，得③，②③，得，，代入①，得，所以，原方程组的解为，故答案为：二，．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．【考点四二元一次方程组的特殊解法】例题：（2023下·山东济宁·七年级统考期末）阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【答案】【分析】设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可．【详解】解：设，，方程组变形得：，整理得：，得：，即，把代入得：，，解得：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法．（1）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解；（2）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：，设，，则原方程组可化为，得，解得，将代入②，得，解得，解得，即，解得；（2）解：，设，，则原方程组可化为，得，解得，将代入②，得，解得，解得，即，解得．2．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读题：解方程组，解：设，，则原方程组可化为解得，即，所以这种解方程组的方法叫换元法．(1)运用上述方法解方程组，(2)已知关于x，y的方程组的解是，请你直接写出关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意采取换元法两次解二元一次方程，（1）参照题干提供的换元思路，利用换元法进行计算即可解的答案；（2）将方程组变形后采取换元法进行计算即可；【详解】（1）解：设，，则方程组可化为，解得：，即，所以；（2）根据题意得：，，解得：．【考点五新定义型二元一次方程组问题】例题：（2023下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）我们定义：若整式与满足：为整数，我们称与为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于的平衡整式．(1)若与为关于的平衡整式，求的值；(2)若与为关于的平衡整式，与为关于的平衡整式，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，，解方程即可作答；（2）由题意得，解方程组即可作答．【详解】（1）由题意得，，解得；（2）由题意得，解得，则．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※．(1)若1※，3※，求a、b的值；(2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据定义的新运算可得，，从而可得，然后进行计算即可解答；（2）利用定义的新运算得出等式，利用因式分解变形，即可解答．【详解】（1）解：※，※，，，即，解得：，的值为，的值为；（2），，※※，，，，，，，、之间的数量关系为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键．2．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，．(1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；（2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可．【详解】（1）解：依题意得，解得：，∵，∴，解得：．（2）解：由题意得：的解为，由方程组得：，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解等知识点，根据新定义列出二元一次方程组、利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）二元一次方程的正整数解共有（

）组A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据二元一次方程的解的概念：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，∵x与y是正整数，∴，∴，∴，∴或2或3或4，对应的或9或6或3，∴二元一次方程的所有正整数解有：，，，，共4组，故选：B．【点睛】此题考查了解二元一次方程，掌握二元一次方程正整数解的概念是解题的关键．2．（2023下·浙江·七年级校联考阶段练习）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．若，且，则的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】利用题中的新定义化简已知等式列出方程组，求出方程组的解即可求出所求．【详解】解：根据题中的新定义得：，①②得：．故选A．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知，满足方程组，则的值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】C【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加，再整理即可求出的值．【详解】解：，得：，∴，即，故选：C．二、填空题4．（2021下·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期中）二元一次方程的正整数解是．【答案】【分析】将x看做已知数表示出y，分别令x为正整数，确定出y为正整数，即为方程的正整数解．【详解】解：方程，变形得：，由于x和y为正整数，当时，．故答案为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，求出y．5．（2023下·四川·七年级统考期末）对于实数，定义关于“”的一种运算：，例如：．若，，则的值是．【答案】1【分析】根据新定义建立关于x，y的方程组，两式相加即可求出的值．【详解】解：∵，，，∴，，得，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于x，y的方程组是解答本题的关键．6．（2023上·安徽安庆·七年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为．【答案】【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意可得的解为，即可．【详解】解：∵的解为∴的解为，即：；故答案为：．三、解答题7．（2024下·全国·七年级假期作业）解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】解：（1）将①化简，得，③②＋③，得．将代入②，得，所以原方程组的解是（2）由①得，③②－③，得，解得．把代入②，得．解得．故原方程组的解是8．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）解方程组：(1)；(2)．(3)（限用代入法）(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查解二元一次方程组．（1）运用加减消元法求解；（2）运用代入消元法求解；（3）根据要求运用代入消元法求解；（4）令，，采用换元法进行求解更简便．【详解】（1），得，解得：，把代入①，得，解得：，∴方程组的解为．（2），由①，得，把③代入②中，得，解得：，把代入③，得，∴方程组的解为．（3），由①，得③，把③代入②中，得，解得：，把代入③，得，∴方程组的解为．（4）令，，则方程组可化为，解得：，∴，解得：，∴原方程组的解为．9．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）下面是小华同学解方组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：②得：③．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）①+③得：．．．．．．．．．（2）将代入②得：．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）所以该方程的解是．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）；(2)请你帮小华同学写出正确的解题．【答案】(1)（1）（2）(2)见解析【分析】（1）根据加减消元法的步骤判断即可；（2）利用加减消元法正确求解．【详解】（1）解：第一次出错在（1）步，第二次出错在（2）步，故答案为：（1），（2）；（2）正确的过程为：解方程组：，解：②得：③，③+①得：，解得：，将代入②得：，所以原方程组的解为．【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是键是能熟练运用加减消元法．10．（2023下·贵州遵义·七年级校联考期中）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：解方程组：，解：①×2，得③…第一步；②﹣③，得；将代入①，得…第二步；所以，原方程组的解为…第三步；(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，第一步的依据是；(2)第步开始出现错误，具体错误是；(3)直接写出该方程组的正确解：．【答案】(1)加减消元，等式的基本性质(2)二，合并同类项计算错误(3)【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案；（2）根据解方程的方法即可得出答案；（3）根据②﹣①×2，求出的值再代入①即可得出答案．【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质；（2）第二步开始出现错误，具体错误是合并同类项计算错误；（3）①×2，得③②﹣③，得，整理可得，将代入①，得，解得，所以，原方程组的解为．【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．11．（2024下·全国·七年级假期作业）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下：解：设，，则原方程组可化为解方程组，得即解得(1)请你把小华的做法填写完整；(2)请你根据小华的做法，解方程组：【答案】(1)1，2，，11(2)【详解】解：（1）1

2

11（2）设，，则原方程组可化为解方程组，得即解得12．（2023下·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．(2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可；（2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．【详解】（1）解：对于，令，则原方程组可化为，解得