数值分析 课件ch8-常微分方程数值解法

常微分方程数值解法08Chapter8.1引言8.1引言在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。

因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。8.1引言常微分方程与解为n阶常微分方程。

8.1引言

方程的通解满足定解条件的解微分关系（方程）解的图示8.1引言一阶常微分方程的初值问题

实际中常常需要求解常微分方程的定解，这类问题最简单的形式是一阶方程的初值问题：定解条件（初始条件）8.1引言

仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程至今无法理论求解。如

等等实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法.8.1引言数值解的思想

两种：单步法、多步法8.1引言*数学界关注工程师关注如果找不到解函数数学界还关注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振动性解的周期性解的稳定性解的混沌性……8.2初值问题数值解法的构造8.2初值问题数值解法的构造Taylor展开可借助Taylor展开（导数法）、差商法、积分法实现离散化来构造求积公式

Euler格式截断误差8.2初值问题数值解法的构造

18世纪最杰出的数学家之一，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

1727年-1741年（20岁-34岁）在彼得堡科学院从事研究工作，在分析学、数论、力学方面均有出色成就，并应俄国政府要求，解决了不少地图学、造船业等实际问题。

24岁晋升物理学教授。

1735年（28岁）右眼失明。

1741年-1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作。

1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失明。

Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成果74卷。

8.2初值问题数值解法的构造差商法

用向前差分近似导数

Euler公式

用向后差分近似导数

向后Euler公式

8.2初值问题数值解法的构造积分法对方程两边取积分取不同的数值积分可得不同的求解公式

用左矩形公式Euler公式

用右矩形公式

向后Euler公式用梯形公式

梯形公式8.2初值问题数值解法的构造

几何意义

Euler法

折线法8.2初值问题数值解法的构造

梯形公式—显、隐式两种算法的平均

8.2初值问题数值解法的构造预估校正法(改进Eluer法)

改进Euler法

平均斜率折线法

8.2初值问题数值解法的构造

例8.2.1:初值问题Bernoulli方程

Euler格式为

8.2初值问题数值解法的构造依次计算下去，部分计算结果见下表.

xn

欧拉公式数值解yn准确解y(xn)

误差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719

8.2初值问题数值解法的构造Euler值8.2初值问题数值解法的构造

改进的Euler格式为

xn

改进Euler数值解yn准确解y(xn)

误差0.20.40.60.81.01.18411.34341.48601.61531.73791.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.00090.00180.00280.00280.0058同欧拉法的计算结果比较，明显改善了精度.欧拉公式数值解yn1.1918181.3582131.5089661.6497831.7847708.2初值问题数值解法的构造8.2初值问题数值解法的构造例8.2.2：用Euler方法求解初值问题

EulerExactError-1-10-0.9-0.9090.009-0.8199-0.83330.0134

解：8.2初值问题数值解法的构造截断误差与代数精度

8.2初值问题数值解法的构造Euler格式的误差

8.2初值问题数值解法的构造改进Euler格式的误差

为便于处理，通常假定

否则见P108

8.2初值问题数值解法的构造

比较

得8.2初值问题数值解法的构造

8.2初值问题数值解法的构造例8.2.3：已知初值问题

8.3Runge-Kutta方法8.3Runge-Kutta方法构造高阶单步法的直接方法由Taylor公式

其局部截断误差为

8.3Runge-Kutta方法基本思想

8.3Runge-Kutta方法

R-K公式

8.3Runge-Kutta方法常数的确定确定的原则是使精度尽可能高以二阶为例

首先

8.3Runge-Kutta方法

希望

8.3Runge-Kutta方法

改进欧拉公式

中点公式8.3Runge-Kutta方法最常用的R-K公式——标准4阶R-K公式

输入a，b，n，y0h=(b-a)/n，x0=afori=1,i<=n,i++K1=f(x0,y0)K2=f(x0+h/2,y0+h*K1/2)K3=f(x0+h/2,y0+h*K2/2)K4=f(x0+h,y0+h*K3)x0=x0+hy0=y0+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6输出x0，y08.3Runge-Kutta方法例8.3.1：用标准4阶R-K公式求

8.3Runge-Kutta方法

8.4线性多步法8.4线性多步法

一般形式：

8.4线性多步法数值积分法

8.4线性多步法

其局部截断误差4阶Adams显式公式

8.4线性多步法

其局部截断误差

注1：隐式公式的显化:(预测校正)

注2：并非所有线性多步法公式都可用数值积分法得到，但都可用Taylor展开法得到。8.4线性多步法Taylor展开法

代入多步法公式

8.4线性多步法得

8.4线性多步法

对应相等，即有方程组:

此时有

8.4线性多步法在

8.4线性多步法米尔尼(Milne)公式

即

此时截断误差

为4阶精度。显式公式8.4线性多步法

隐式公式截断误差

8.4线性多步法Milne显：

Hamming隐：

显化得Milne-Hamming公式：

8.5边值问题的数值解法8.5边值问题的数值解法基本思想：运用数值微分将导数用离散点上函数值表示，从而将边值问题的微分方程和边界条件转化为只含有限个未知数的差分方程组，并将此差分方程组的解作为该边值问题的数值解。二阶常微分方程的第一边