七年级数学下册同步学与练（苏科版）-第01讲 探索直线平行的条件（3大考点+7种题型+强化训练）（原卷版）

第01讲探索直线平行的条件（3大考点+7种题型+强化训练）1.能够正确判断同位角、内错角、同旁内角；2.利用直线平行的条件判断两条直线平行；3.建立平面图形基本推理和思考能力。知识点1：同位角、内错角、同旁内角1、同位角：如图所示，具有∠1和∠6这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠2和∠5。同位角的特征：①在被截两直线的同一方；②在截线的同侧。2、内错角：如图所示，具有∠1和∠3这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠2和∠4。内错角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的两侧。3、同旁内角：具有∠1和∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2和∠3。同旁内角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的同侧。知识点2：两条直线平行的条件两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称为：同位角相等，两直线平行。两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称为：内错角角相等，两直线平行。两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称为：同旁内角互补，两直线平行。知识点3：平行线基本公理过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行②平行于同一条直线的两条直线平行题型一：同位角、内错角、同旁内角【例1】．（2023下·七年级课时练习）如图，与，与各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？

图①

图②【变式1】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与构成同位角的是（）A． B． C． D．【变式2】．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（

）

A．与是同位角 B．与是内错角C．与是对顶角 D．与是同旁内角题型二：平行公理的应用【例2】．（2023上·江苏·七年级专题练习）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行．小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．对于两个人的说法，正确的是（

）A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对【变式1】．（2023上·江苏·七年级专题练习）经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【变式2】．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：a、b、c为平面内三条不同的直线，若，，则a、b的位置关系为．题型三：平行公理推论的应用【例3】．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列说法中，正确的个数为(

)（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果，那么（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】．（2023上·江苏·七年级专题练习）已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（

）A．在同一个平面内B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内【变式2】．（2023上·江苏·七年级专题练习）是直线，下列说法正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型四：同位角相等两直线平行【例4】已知：如图，直线与被所截，．求证：．

【变式1】．（2023下·江苏·七年级期中）如图所示，直线，相交于点，过点作射线，使得平分．(1)若，求的度数；(2)连接，若，求证：．【变式2】已知：如图，，和互余，于点，求证：．

【变式3】．（2023下·江苏·七年级期中）如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线．(1)与有什么关系，为什么？(2)，有什么位置关系？请说明理由；【变式4】．（2023下·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：，，，与平行吗？为什么？解：．理由如下：∵（已知），∴°即（）又∵（），且，∴＝（）∴（）题型五：内错角相等两直线平行【例5】．（2023下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线过点若，，，试判断与的位置关系，并说明理由．

【变式1】．（2022下·江苏常州·七年级统考期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴（）．【变式2】．（2022下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．解：因为(已知)，(______)，所以(______)．因为平分，所以(______)．因为平分，所以______，得(等量代换)，所以______(______)．【变式3】．（2023下·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【变式4】．（2023下·江苏无锡·七年级统考期末）如图，点在上，已知平分平分，请说明的理由．解：因为（__________），（________________），所以（________________）．因为平分，所以________（___________）．因为平分，所以_________，得________（____________），所以________（____________）．题型六：同旁内角互补两直线平行【例6】．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，直线与射线相交于点O，，直线与平行吗？为什么？【变式1】．（2023下·江苏徐州·七年级统考期末）根据题意将下列空格补充完整：如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1=∠2，∠C＝∠A．求证：∠AEH＝∠F．证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°∴ED_________（________________）∴∠1＝∠C（______________________________）∠2＝___________（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2，∠C＝∴∠A＝__________∴ABDF（___________________________）∴∠AEH＝∠F（________________）【变式2】．（2023下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，已知、分别是、的平分线，且．求证：．【变式3】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与、相交于点A、C，平分交于点E，，．试判断直线与的位置关系，并说明理由．题型七：垂直于同一直线的两直线平行【例7】．（2023·江苏·七年级假期作业）下列命题是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角 B．垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的余角互补 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【变式1】．（2023下·江苏·七年级阶段练习）在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：如图，（1）任取两点A，B，画直线．（2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是．【变式2】．（2021上·江苏南京·七年级统考期末）在如图，所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．（1）经过点画的平行线．（2）过点，画的垂线．（3）过点，画的垂线．（4）请直接写出、的位置关系．一、单选题1．（2023下·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）下列图中，不是同位角的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与是（

）形成的内错角．A．直线、被直线所截 B．直线、被直线所截C．直线、被直线所截 D．直线、被直线所截3．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，与∠1是同旁内角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠54．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（

）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等5．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，两直线、被直线所截，，下列结论正确的是（）

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（）

A． B． C． D．7．（2023上·江苏·七年级专题练习）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴8．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（

）A． B．C． D．9．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）下列条件：①，②，③，其中能判断的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．310．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，以下条件能判定的是（）A． B． C． D．二、填空题11．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：内错角相等，两直线平行．”小妙做法的依据是：．12．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，请你添加一个条件，使，（只需填上你认为正确的一个条件），你添加的条件是

13．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）在同一平面内，若，则与的位置关系是．14．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，直线、被直线所截，与相交于点，若，当时，．15．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，直线与相交，，，要使直线与平行，则直线绕点顺时针旋转的角度至少是°．

16．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是（填序号）．

17．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为12度/秒和2度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过

秒时木棒a，b平行．18．（2023下·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝．

三、解答题19．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．20．（2023·江苏·七年级假期作业）（1）在学习“平行线的判定”时，课本首先通过以下的“思考”栏目，得到了平行线的判定方法1，即________．（2）平行线的另外两个判定方法都可以根据平行线的判定方法1进行证明．请根据平行线的判定方法1证明判定方法3．已知：如图1，直线和直线被直线所截，且．求证：．（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图2，是直角，那么，都可以通过度量图中已标出的哪个角，来判断两条直轨是否平行？为什么？21．（2023下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，已知，平分，试说明．

证明：因为平分（已知），所以（角平分线的定义）．又因为（已知），所以＝（等量代换）．所以（

）．22．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，，．求证：．（要写出每一步的依据）

23．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有个．24．（2023下·七年级单元测试）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：．证明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代换）∵BE平分∠ABF（已知）∴______（____________）∵FC平分∠BFG（已知）∴______（____________）∴∠EBF＝______∴（____________）25．