数值分析 课件 ch5-线性方程组的直接解法

线性方程组的直接解法05ChapterCh5线性方程组的直接解法研究数值解法的必要性

求解线性方程组根据克莱姆(Gramer)法则方程组的解可表示为两个行列式之比

Ch5线性方程组的直接解法

计算量太大寻找数值解法有必要5.1Gauss消元法5.1高斯消元法

5.1高斯消元法

消元5.1高斯消元法

回代5.1高斯消元法思路1.消元过程：将一般线性方程组化为上三角矩阵方程组2.回代过程：回代求解

0高斯消元法基本思想5.1高斯消元法消元过程

5.1高斯消元法

5.1高斯消元法

将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.5.1高斯消元法

回代过程5.1高斯消元法

5.1高斯消元法例5.1.1

解方程组

解：用Gauss消去法计算：

若将1，2两行互换

5.1高斯消元法

顺序消去法的缺点消元过程中选择适当的主元素是十分必要的Gauss主元素消去法5.2高斯主元素消元法5.2高斯主元素消元法全主元消去法思路

消元5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法列主元消去法思路

消元5.2高斯主元素消元法

5.2高斯主元素消元法

解：

5.2高斯主元素消元法一些特殊情况,主元就在对角线上,不需选主元.元素满足如下条件的矩阵

即对角线上每一元素的绝对值均大于同行其他各元素绝对值之和,这样的矩阵称为按行严格对角占优矩阵,简称严格对角占优矩阵.例：

性质：严格对角占优矩阵必定非奇异.

5.3高斯消元法的变形5.3高斯消元法的变形LU分解

5.3高斯消元法的变形LU分解

5.3高斯消元法的变形LU分解可见,消元过程相当于下述矩阵乘法运算：

由分块乘法可得：

直接计算可得

5.3高斯消元法的变形LU分解

，则

5.3高斯消元法的变形

记为单位下三角阵/*unitarylower-triangularmatrix*/记

U=

5.3高斯消元法的变形LU分解

5.3高斯消元法的变形直接LU分解

根据矩阵乘法法则,先比较等式两边第1行和第1列元素有：

5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形例5.3.1

解：

由得

得由

得由

由

得得由

得

再由

得5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形

5.3高斯消元法的变形追赶法

5.3高斯消元法的变形

其中：5.3高斯消元法的变形

上述方法为求解三对角方程组的追赶法，也称Thomas算法.

5.3高斯消元法的变形例5.3.3

5.3高斯消元法的变形由得

由得

5.3高斯消元法的变形平方根法

记为

5.3高斯消元法的变形

5.4向量和矩阵的范数5.4向量和矩阵的范数

向量范数的性质

5.4向量和矩阵的范数常用范数

(p-范数)

(无穷范数)

(1-范数)

(2-范数)5.4向量和矩阵的范数

5.4向量和矩阵的范数5.4向量和矩阵的范数矩阵范数

5.4向量和矩阵的范数5.4向量和矩阵的范数常用矩阵范数

它们满足如下相容关系：

5.4向量和矩阵的范数5.4向量和矩阵的范数

5.5误差分析5.5误差分析例，考查以下三个方程组及其准确解其准确解其准确解其准确解可以看到，后两个方程组与第一个方程组相比，系数矩阵或右端向量仅有0.0005以下的误差，但准确解却相差很大。对这样的方程组，无论用多么稳定的算法求解，一旦计算中产生误差就使解面目全非，所以该方程组的性态很差。5.5误差分析

5.5误差分析

绝对误差放大因子

相对误差放大因子5.5误差分析

(只要A充分小，使得

是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解。大5.5