浙江省台州市2025届高三年级上册一模数学试题（含解析）

台州市2025届高三第一次教学质量评估试题

数学

2024.11

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将

所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知tanc=2,则cos2i的值为（）

33

C.一D.--

55

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】因为tantz=2,

2222

-2.costt-sina1-tana1-23

所以cos2a=cosa-sm2a=——---------=——-----=———=——.

sina+cosatana+12+15

故选：D

2222

2.椭圆£:二+乙=1与椭圆反：^—+”—=1（0（左＜4）的（）

19429-k4—k

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.离心率相等D,焦距相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆的方程，得到a,b,c,即可判断.

【详解】对于椭圆4：如=9,牙=4方=5,

对于椭圆E2：=9—k,b：=4—k,c；=5,

所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.

故选：D.

3.若复数z是方程尤2一2%+5=0的一个虚根，则z+N=()

A.-2B.2C.-4zD.4z

【答案】B

【解析】

【分析】根据“方程的虚根成对出现，且互为共轨”，同时利用根与系数的关系，即可得到答案.

【详解】因为方程的虚根成对出现，且互为共轨，所以一个根为z时，另一个根必然为三，

所以由根与系数的关系，z+z=2.

故选：B.

4.已知集合4=卜,2+2%<3},§={%忙+%<3卜则“xeA”是“xeB”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求得集合A3,可得结论.

【详解】由7+2%<3,可得—3<%<1,所以A={R—3<x<l},

因为/(%)=2工+》在R上单调递增，又/(1)=3,

由2'+xv3，可得％<1,所以8={%|%vl},所以Au5,

所以“％£A”是"%e3”的充分不必要条件.

故选：A.

v—bx+o+c

5.已知变量％与y的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型〜、八一，：2根据最

E(e)=0,D(e)=c,

小二乘法，计算得经验回归方程为9=L6x+d,若7=10，7=15,则6=()

A.6.6B.5C.-1D.-14

【答案】C

【解析】

【分析】根据样本中心在回归直线上求解.

【详解】因为经验回归方程为9=L6x+。，且[=10，＞=15,

所以6=15—1.6x10=-1,

故选：C

6.已知/(幻是定义在R上的奇函数，当xe(0,+8)时，/(x)=log3x,则/(—9)=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性求解.

【详解】根据题意，/CO是定义在R上的奇函数，

当xe(0,+8)时，/(x)=log3x,

则/(-9)=-/(9)=-log39=-2.

故选：B

7.已知球。的半径为3,P是球。表面上的定点，S是球。表面上的动点，且满足

(2SO+SP》OP=0,则线段OS轨迹的面积为()

A.3立71B.3下itC.6&兀D.66兀

【答案】C

【解析】

【分析】以球。的球心为坐标原点，OP所在的直线为了轴，建立空间直角坐标系，设S(x,y,z),根据

题设可得x=l,在线段OP取点“，使从而得线段QS轨迹为圆锥的侧面，即可求解.

【详解】如图，以球。的球心为坐标原点，0P所在的直线为了轴，建立空间直角坐标系，

因为球。的半径为3,则P(3,0,0),设S(x,y,z),

贝USO=(—x,—y,—z),SP=(3—x,—%—z),所以2SO+SP=(3—3x,—3y,—3z),

又OP=(3,0,0),(2SO+SPyOP=Q,则3(3—3x)=0,得到尤=1,

如图，在线段OP取点，，使所以线段QS轨迹为圆锥O”的侧面，

又|OS|=3,则号叫=5万=2式,所以圆锥OH的侧面积为5=兀|邱|[05]=6及兀,

所以线段OS轨迹的面积为6缶，

z，

故选：C.

8.台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到4X4的方格场地中（每人

站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（）

24122133

A——B.—C.—D.

65356591

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列法求得总的方法数为A%,利用间接法求得两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也

既不同行也不同歹U的方法数为（4X4X3X3）2—4X4X3X3X（2+32）,从而可求概率.

【详解】从16个格子中选4个排4个人有A%种排法，

两个男生既不同行也不同列的排法有4x4x3x3种排法，

两个女生也既不同行也不同列的排法有4x4x3x3种排法，

两名女生与两名男生排在一起的排法有4x4x3x3x2,

两名女生中有一名与男生排在一起的排法有4x4x3x3x4x8,

所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列（每人一格）有

（4x4x3x3）2—4x4x3x3x（2+32）种，

所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是：

（4x4x3x3）2—4x4x3x3x3416x9x（16x9—34）33

=晨=91■

故选：D

【点睛】关键点点睛：重点在于求得4个各站一格且两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同

行也不同列的方法数，适用间接法.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列选项正确的是()

14

A.若随机变量X~3(6,7,则。(X)=]

B.若随机变量X~N(6,4),则E(X)=6

C,若随机变量X服从01分布，且P(X=1)=；,则。(X)=；

2

D.若随机变量X满足P(X=左)=，4=0,1,2,则E(X)

建3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量X服从01分

布求解；D.由随机变量X服从超几何分布求解；

【详解】A.若随机变量X~3(6,；),则。(X)=6x；x［l—；)=；故正确;

B.若随机变量X~N(6,4),则E(X)=6,故正确;

C.若随机变量X服从01分布，且P(X=1)=L则。(X)=：x1—：=|,故错误;

3313J9

C。.中

D.由随机变量X满足P(X=k)=次=0,1,2,则

c】

P(X=0)=*P(X=l)=褒=1,p(x=2)=1,

AJAJAJ

所以E(X)=0x话+1x百+2x百=§,故正确；

故选：ABD

10.己知函数/(%)=|。一25^^一回11乂，0€口，且awO,则下列选项正确的是()

A./(%)的最小正周期为兀

B./(%)的图象关于直线x对称

C.eR,|/(x1)-/(x2)|<4

IT

D.mae(1,3),/(x)在［0,—］上有两个不同的零点

2

【答案】BC

【解析】

JTJT

【分析】计算可得了(尤+兀)w/(%),可判断A；计算可得/■(,+x)=/弓一x),可判断B；分a22,a4—2,

7T

0<a<2,—2<a<0四种情况讨论可判断C；结合C选项可知2Wa<3时，/(幻在［0,一］上有一个不同

2

的零点，可判断D.

【详解】对于A,/(x)=|a-2sinx|-|sinx|,aeR,

/(x+7i)=|a-2sin(x+7i)|-|sin(x+7i)|=|a+2sinx|-|sin^^|a-2sinx|-|sinx|,

所以/(幻最小正周期不为兀，故A错误；

对于B,/(^-+x)=a-2sin(］+x)-sin(^+x)=|a-2cosx|-|cosx\,

7-x)=tz-2sin(-|--x)-sin('-x)=|tz-2cosx|-|cosx|,

所以7•(g+x)=/(m—x),所以/(%)的图象关于直线x=g对称，故B正确；

对于C,当a22时，若OWsinxWl,/(x)=a—3sinx,所以a—3W/(x)Wa,

若一LWsinxWO,/(%)=a—sin%,所以a</(x)Va+1,

/(x)min=a-3,/(x)1mx=a+l，所以V%,%R，|/(七)一/(%>W。+1一。+3=4，

同理可得aW-2时，Vxpx2GR,|/(^)-/(X2)|<4,

当0Wa<2时，^—<sinx<1,/(%)=-a+2sinx-sinx=-a+sinx,

2

所以—y(x)Kl—a,

若OWsinxcg,/(x)=a-2sinx-sinx=a-3sinx,贝ij-1'(x)<a,

若一iWsinxWO,/(x)=a-2sin%+sin%=a-sinx,贝！］a</(%)<a+1

所以Vxi，%eR,|y(x1)-/(^2)|<a+-|+l<4,

同理可得一2<a<0时，VA^,X2eR,|/(X,)-/(X2)|<4,故C正确；

TT

对于D,当2«av3时，又^^［。，万］,所以0<sinx<l,

止匕时/(%)=Q—3sinx,/(x)=^-3sinx=0,只有一个解，

TT

所以/(幻在［0,二］上有一个不同的零点，故D错误；

2

故选：BC.

_.___.__.1

11.已知棱长为3的正四面体A—5。。,4石=九">,3尸=〃5。,应以=5所,力则下列选项

正确的是()

A.当〃=；时，EFBC=O

B.当〃<!■时，归,<孚

C.当怛网=追时，九+〃的最大值为：

D.当叵卜逐时，则,时的最大值为14+;应

【答案】ACD

【解析】

【分析】选AB,AC,为空间内的基底向量，可计算得EF.BC=O,可判断A；当2=〃=0,

EF=3,可判断B；由已知可得529(2+M)2—9U+〃)+9—18X('；"),计算可判断C；

|AM|2=1［922+9//2+91-9//+9］,^^922+9^2+9=9(2+//)+5,可求『的最大值，可判断

D.

【详解】由正四面体A—BCD,可知NB4C=ZBA£),NC4£)=60°,

选A3,AC,为空间内的基底向量，

1-1-11―

当〃=5,EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+-(AC-AB)=-AAD+-AB+-AC,

BC=AC-AB^所以EF.BC={-AAD+-AB+-AC).(AC-AB)

11.2121

=-AAD-AC+-AB-AC+-AC+AAD-AB——AB——AC-AB

2222

——4x3x3x—i—x3x3x—i—x3?+Xx3x3x-----x3^—x3x3x—=0,故A正确；

22222222

因为EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+//(AC-AB)=-2AD+(l-//)AB+4AC,

当X="=。，EF=AB=3>3y,故B错误；

2

.2o

EF=[-AAD+(1-//)AB+//AC]

.2.2.2

=22AD+(1-JU)2AB~+JU2AC-22(1-//)AD.AB+2//(l-//)AB.AC-2^AD.AC

2

=92+9(1-〃>+9/_"(I_〃)+9〃Q_9必=9分+9〃2_9(2+〃)+9

=9(2+"-9(力+〃)+9-18澳29(彳+〃)2-9U+M+9-18x誓

又归q=追，所以5?9(2+〃)2_9(2+M)+9_]8X(-；〃)，

整理得9(2+"尸一9(彳+*)+4—18义('+〃)-V0,当且仅当几=〃时取等号，

4

24

化简得9(4+〃)2—18(%+〃)+8K0,解得耳+故C正确；

AM=AE+EM=AE+^EF=AAD+^(-AAD+(1-JU)AB+JLIAC)

=1[2AD+(1-JLI)AB+//AC],

所以|=工[2AD+(1-ju)AB+//AC]2=-[922+9(1-咛+9//2+92(1-//)+9〃(1—〃)+

1144

=-[9A2+9A/2+92-9z/+9],

4

由9几2+9〃2+9=9(几+〃)+5,所以=1[182+5],

因为丸2,+〃,2_(2+〃)=_4所以1>,+(〃_1>,=141

92229lo

11.1111

所以"49所以'一广电'所以n加运十]'

所以=-[182+5]<-[18(^+-)+5]=14+3^,故D正确.

1443V224

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：考查空间向量的数量积的计算，运算量大，关键是用基底表示AM,

再利用模的计算公式运算求得最值.

非选择题部分(共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最

一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列{4},则

40=.(填数字)

【答案】55

【解析】

【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到

=1+2+3+...+n=，?(/7+1),即可得解.

2

【详解】解：由题意可知，q=1,4=4+2=1+2,〃3=%+3=1+2+3,…，

%=42T=1+2+3+—+〃，

-+1)

c1rl=1+2+3+...+〃=———,

U…10x(10+1)-

所以a1。二----------二55,

故答案为：55

13.若=—^+改在R上单调递减，则实数。的最大值为.

e'+l

【答案】—##—0.5

2

【解析】

2QX

【分析】由题意可知/'(x)<0在R上恒成立，分离参数，令g(x)=-©+,，由基本不等式求出g(x)

的最小值，即可得出答案.

【详解】因为/(x)=^1_-1+在R上单调递减，

e'+1

2eY

所以/'(x)＜0在R上恒成立，所以广(劝=+。4°在区上恒成立,

ev+l

所以0*一二一0在R上恒成立，令武、

(e+1)

2e*_2e*221

则g(x)

(ex+l)2(ex)2+l+2ev5,

eA+—+22+2

ex

当且仅当e*=」，即％=0时等号成立，所以aW—工,

e*2

故实数。的最大值为-工.

2

故答案为：—.

2

14.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey=o,其中。＜0,若圆C上仅有一个点到直线x+百y—2=0距离为

P

1,则一的值为;圆。的半径取值可能为(请写出一个可能的半径取值).

D

【答案】①.退②.g(满足0(厂＜1即可，答案不唯一)

【解析】

【分析】根据题意，圆C过原点且原点到直线x+gy-2=0的距离为1,则《一£,一£)在直线y=

上，且与x+百y=0相切，与x+ey—4=0无交点，可解问题.

【详解】根据题意，与直线x+Gy-2=0的距离为1的点都在直线x+岔y=0和x+百y-4=0上,

又圆C:/+V+或=0过原点且原点到直线直线x+石y-2=0的距离为1,

则一~5］在直线'=1%上‘且与月'=°相切，

所以5=A/3,

又因为圆C与x+百y—4=0无交点，所以re(0,l),如图.

故答案为：6-（满足。＜度＜1即可，答案不唯一）

2

【点睛】关键点点睛：根据题意，发现圆C过原点且原点到直线x+百y-2=0的距离为1是解题关键.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VA3C的内角A,3,C所对的边分别为名b,c,n.2c-b=2acosB.

（1）求角A；

（2）若VA3C的面积为46，。为AC的中点，求长度的最小值.

【答案】（1）A=j;

⑵2叵.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解.

（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求解即得.

【小问1详解】

在VABC中，由2。一/?=2〃855及正弦定理得，2sinC-sini?=2sinAcos5

则sin5=2sin（A+B）-2sinAcosB=2（sinAcosB+cosAsinB）-2sinAcosB

=2cosAsinB,而sin5＞0,贝IJCOSA=L,又人£（0,兀），

2

所以

【小问2详解】

依题意，SaABC='尻sinA=4，^,由（1）知4=工，得Z?c=16,

23

在△ABD中，由余弦定理得Bl?=（2）2+02一2・2・c・cosA=2-+c2—工6c

2242

be——be=8,当b=2c=时取到等号，

所以5。的最小值为20.

16.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD是正方形，侧面是正三角形，PC=AC.

(1)求证：平面平面ABCZ)；

(2)求直线P3与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵如

4

【解析】

【分析】(1)由已知条件，结合勾股定理，可以判定CDLPD,根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；

(2)以4。中点为原点，AF所在直线为V轴，构建空间直角坐标系，利用空间向量，即可求得线面所成

角的正弦值.

【小问1详解】

不妨设正方形ABCD边长为2,则=CD=2,AC=PC=20,

由PC?=,得

再由CDLAD,PD^AD=D,PD,ADu平面PAD,得CD,平面？AD,

因为CDu平面ABC。，所以平面？AD_L平面ABC。.

【小问2详解】

取AD中点。，连结尸0,则POJ_A£),由(1)可知，平面？平面ABC。，

平面/VLD平面cA5CD=A£),所以PO_L平面ABC。，

以。为原点，8,OP所在直线分别为％z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

则P(0,0,百),B(2,-l,0),C(2,1,0),D(0J,0),PB=(2,-1,-百),

n-DC=0,(2x=0,

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

nPD=0,1y-底=0,

\PB-n\_273_V6

取〃=(0,Jil)，记PB与平面PCD所成角为e，贝|sine=

\PB[\ri\4724

17.已知函数/(>)"+4炉—5x.

(i)求函数y=/(x)的单调递减区间；

(2)若不等式上㈣—61nx<a(x—l)2对任意xe[l,+s)恒成立，求实数a的取值范围.

X

……(-4-后-4+731^1

【答案】⑴

(2)a"

【解析】

【分析】(1)求导/'。)=3炉+8%—5,由分(x)<0求解;

(2)设7z(x)=f+4x-5—61nx-a(x-l)2,xe[l,+co),由〃(2)<0得到,再分a24和

l<a<4求解.

【小问1详解】

解：/(%)的定义域为A,f'(x)^3x2+8x-5,

令3/+8x-5=0,解得％=—4一用，々=-4+4,

1323

由/'(x)<0,解得一4一用<》<一4+庖,

33

所以函数/(%)的单调递减区间是[土与，上星].

【小问2详解】

t己h(x)=x2+4x-5-61nx-a(x-1)2,xG[1,+oo),

x^7,62(X-1)[(1-6Z)X+3]

h(x)=20x+4----2«(x-l)=------------------,

xx

因为/z(2)V。，所以7—61n2—Q<0,得QN7—61n2>7—6=l,

3

令〃(%)=0,解得％=1或1=——,

ci—1

3

当a>4时，----<1,“(X)<0在[1,+8)上恒成立，

a-1

因此，人。)在工+8)上单调递减，

得h(x)<h(I)=0,即-61nx<a(x-l)2对任意XG[1,+8)恒成立.

X

当l<a<4时，对任意/i'(x)>0,

因此，//(%)在上单调递增，

当/e[广丁]时，A(xo)>A(l)=O,

不满足题意.综上，a>4.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由力(2)<。得到。21降低了难度，然后根据两根x=l或

3

%=----的大小，分〃之4和<4而得解.

〃一1

18.已知抛物线「9=4》的焦点为尸，准线为/,双曲线口：土-工=1的左焦点为工

236

(1)求/的方程和双曲线匕的渐近线方程;

(2)设。为抛物线匚和双曲线「2的一个公共点，求证：直线。T与抛物线相切;

(3)设P为/上的动点，且直线PT与双曲线匕的左、右两支分别交于A,5两点，直线PE与抛物线J

1J3

交于不同的两点C,。，判断内+潟是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

\AB\\CD\

【答案】(1)准线/的方程为x=—1,双曲线的渐近线方程为y=

(2)证明见解析(3)是,B.

6

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；

2x2—y2=6[x—y/3y+3=0

(2)结合题意联立方程组2和，，化简即可求解；

y=4x[y=4x

y———1)

(3)由题意得k——k,设ly—k(x+3),l:y——k(x—1),联立方程组<和

PTPFPTPF[y2=4x

y=k(x+3)।,

r2,，利用韦达定理表示CD和MBI，化简即可证明.

2x2-y"=6

【小问1详解】

准线/的方程为x=—1,双曲线的渐近线方程为y=±"c.

【小问2详解】

2x2-y2=6

联立方程组2，

消去y得d—2%—3=0,解得x=3(舍负)，由对称性，不妨取Q(3,2百)，

又由1(-3,0),求得直线QT的方程为x—+3=0,

联立方程组,3—0,消去x得V一4百y+i2=0,

y=4x

因为A=-48=0,所以直线QT与抛物线「1相切.

【小问3详解】

因为7(—3,0),F(l,0),得准线I为线段7F的中垂线，

则直线PT与直线PF的倾斜角互补,即kpT=—kpF,

设L:y^k(x+3),lPP:y=—k(x—1),由条件知0＜阀〈拒,

y=-k(x-l)

联立方程组《消去y得左2好一（242+4）x+左2=0,

/=4%

则13=%+X。+2=4)+D，

y=k(x+3)

联立方程组，2，,消去y得(2—左2)三一2/x—42—6=0,

2%-y~=6

1

贝J|AB\=J1+/|xA-xB|="：D，

z—/c

1A/3_2-lc