苏科版九年级数学上学期期中专项复习：正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积【考题猜想34题9种题型】（原卷版+解析）

06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积（34题9种题型）

一、正多边形与圆有关的计算（共7小题）

1.（2022秋•江苏徐州•九年级统考期中）如图M、N分别是。。的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正

五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN,连接OM、ON

（1）求图1中NMON的度数

（2）图2中/MON的度数是,图3中NMON的度数是

（3）试探究/MON的度数与正n边形边数n的关系是一

2.（2022秋・湖南长沙.九年级统考期末）如图，正六边形ABCDE产的中心为原点。，顶点A,。在无轴上，

半径为2cm.求其各个顶点的坐标.

3.（2022秋.江苏•九年级期中）如图，六边形A8CDE尸是。。的内接正六边形.

（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分

（2）设O。的面积为S/,六边形A8CDEP的面积为求”的值（结果保留n）.

4.（2022秋.江苏徐州•九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1,点。、A

都在格点上，以。为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图.

⑴在图①中国：。的一■个内接正四边形ABCZ）,$正四边形ABCD=；

⑵在图②中画o的一个内接正六边形ABCDEF,S正六边彩ABCDEF=.

5.（2022秋•宁夏吴忠•九年级统考期末）如图，正方形ABCD是半径为R的圆。内接四边形，若R=6,求

正方形ABCD的边长与边心距.

Q

6.（2022秋•江西南昌•九年级南昌市第二十八中学校联考期末）圆周率万的故事

我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率万的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可

割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来

越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率万的值.

（1）对于边长为。的正方形，其外接圆半径为，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代

C

它的外接圆周长，利用公式C=2乃r，可以估算万===_________.

2r

（2）类比（1）,当正多边形为正六边形时，估计万的值.

7.（2023春・浙江台州•九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻

的了解打的意义.

⑴［定义］我们将正"边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正“边形的"正圆

度”h.如图，正三角形ABC的边长为1,求得其内切圆的半径为巫，因此自=;

6

（2）［探索］分别求出正方形和正六边形的“正圆度”勺、k6；

（3）［总结］随着"的增大，心具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括.

二、计算扇形的弧长（共3小题）

8.（2023秋・江苏南通・九年级统考期末）如图，CE是。的直径，半径Q4L弦BC,垂足为点。，连

AB,AC,AE.

9.（2022秋•江苏宿迁•九年级统考期中）如图，,ABC内接于。。，AD〃5c交。。于点。，DFAB交BC

于点E,交。。于点P,连接A尸,CT.

⑴求证：AC=AF；

(2)若。。的半径为3,ZC4F=30°,求AC的长(结果保留无).

10.(2022秋・江苏苏州•九年级统考期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点4(0,4),8(4,4),C(6,2),

(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为.

⑵求弧ABC的长.

三、求某点的弧形运动路径长度(共3小题)

11.(2023秋・江苏淮安•九年级统考期末)如图，A03的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正

方形的边长均为一个长度单位，以点。建立平面直角坐标系，若,AO3绕点。逆时针旋转90。后，得到瓦

(A和A是对应点)

(1)画出△AQ4；

(2)点A坐标为,点与坐标为；

(3)点A的运动路径长为.

12.(2023秋•江苏南通・九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，45,1),5(1,4),将线段绕原点

。逆时针旋转90。到4月.

⑴求点A的坐标；

⑵求点2运动的路径长.

13.（2022秋.江苏.九年级期末）如图，A8为。。的直径，且40=4,点C在半圆上，0C_LA2,垂足为点。,

P为半圆上任意一点过尸点作PELOC于点E,设的内心为M,连接OM

（1）求NOMP的度数；

（2）随着点尸在半圆上位置的改变，NCM。的大小是否改变，说明理由；

（3）当点尸在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长.

四、求扇形面积（共4小题）

14.（2023秋・江苏南京•九年级统考期末）如图1,是।O的弦，AB=2,ZAOB=60°,尸是优弧48上的

一个动点（不与点A和点2重合），组成了一个新图形（记为“图形尸一A3”），设点尸到直线AB

的距离为x,图形尸一A8的面积为工

⑴求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

⑵记扇形Q43的面积为S扇形.AB，当＞=S扇形0AB时.

①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②在第①题所作图中，连接PARS,再画一条线，将图形尸一A8分成面积相等的两部分.（画图工具不限,

写出必要的文字说明.）

15.（2022秋•江苏盐城•九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给

出计算弧田面积的公式为：弧田面积=；（弦X矢+矢2）.如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”

指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之

间存在误差.现有圆心角/A03为120。，弦长A8=2鬲的弧田.

（1）计算弧田的实际面积.

(2)按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(取

万近似值为3,百近似值为1.7)

16.(2022秋•江苏南京•九年级统考期中)如图，弓形是由AB和弦所围成的图形，弓形的高是

的中点到A3的距离，点。是A8所在圆的圆心，AB=24cm,弓形48的高为6cm.

o

(1)求.。的半径；

⑵经测量NA03的度数约为106。，则弓形AB的面积为cm2.

17.(2022秋•江苏盐城•九年级统考期中)已知：如图,AB为O的直径，点C、。在i。上，且8c=8,AC=6,

ZABD^45°.

B-----

⑴求80的长；

(2)求图中阴影部分的面积.

五、求图形旋转后扫过的面积(共3小题)

18.(2022春•江苏扬州•九年级校联考期中)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，

△ABC的顶点A,B,C在小正方形的顶点上.将△ABC向下平移2个单位得到然后将△4B/G

绕点。顺时针旋转90。得到△A2&G.

(1)在网格中画出G和△A2&G；

⑵计算线段4G在变换到A2G的过程中扫过区域的面积.

19.(2022秋.江苏淮安.九年级统考期末)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格

点上，其中点A(5,4),B(1,3),将△AOB绕点。逆时针旋转90。后得到△404.

(1)画出△408/；

（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为；

（3）求在旋转过程中线段A3、8。扫过的图形的面积之和.

20.（2022秋.江苏宿迁•九年级统考期中）如图，在10x10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个

（1）建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出ABC的外接圆的圆心P的位置，并填写：

①圆心P的坐标：尸（,）；

②：P的半径为.

⑵将AABC绕点A逆时针旋转90。得到VADE,画出图形，并求线段8c扫过的图形的面积.

六、求不规则图形面积（共5小题）

21.（2022秋・江苏宿迁•九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的。。分别与BC,AC

交于点。，E,过点。作。。的切线。尸，交AC于点E

（1）求证：DFLAC-,

（2）若。。的半径为4,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

22.（2022秋•江苏盐城•九年级校联考期中）如图，在AABC中，ZC=90°,/BAC的平分线交BC于点D,

点。在AB上，以点。为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.

(1)试判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若BD=26,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留无).

23.(2022秋・江苏扬州•九年级统考期末)如图，直线/经过。O上一点C,点A、8在直线/上，且。A=

OB,CA=CB.

(1)直线/与。。相切吗？请说明理由；

(2)若OC=AC,。/的半径为2,求图中阴影部分的面积.

24.(2022秋・江苏•九年级期中)如图，PA,P8分别与。。相切于A,B两点,ZACB=6Q°.

(1)求NP的度数；

(2)若。。的半径长为4cm,求图中阴影部分的面积.

25.(2022秋•江苏泰州•九年级统考期中)如图1,已知扇形纸片AOB,ZAOB^60°,半径。4=3.

(1)求扇形的面积S及图中阴影部分的面积S网；

⑵如图2,在扇形AOB的内部，Q。1与。4，都相切,且与AB只有一个交点C,此时我们称Ox为扇形AOB

的内切圆，试求，。1的面积'；

（3）如图3,在扇形纸片A03中，剪出一个扇形DOE,若用剪得的扇形纸片DOE围成一个圆锥的侧面，能

否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这

个圆锥的表面积；若不能，请说明理由.

七、求圆锥的侧面积（共3小题）

26.（2022秋•江苏扬州•九年级校联考期中）实践操作

如图，AABC是直角三角形，ZACB=90°,利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中表明相应的字母.（保

留作图痕迹，不写作法）

B

（1）①作的平分线，交2C于点0；②以。为圆心，0c为半径作圆.

综合运用

在你所作的图中，

（2）A3与。。的位置关系是；（直接写出答案）

（3）若AC=5,BC=U,求。。的半径.

（4）在（3）的条件下，求以2C为轴把AABC旋转一周得到的圆锥的侧面积.

27.（2022秋・江苏苏州•九年级校联考期中）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2）,制作

这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,将扇形E4F围成圆锥时，AE、

"恰好重合，已知这种加工材料的顶角ZBAC=90.

⑴求图2中圆锥底面圆直径即与母线长的比值；

（2）若圆锥底面圆的直径瓦＞为5cm,求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积.（结果保留兀）

28.（2021秋•江苏苏州•九年级统考期中）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18c加、圆心角是60的扇形

3s剪去一半径12cm的同心圆扇形OCD所围成的（不计接缝）（如图1）.

A，BB

（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留万）；

（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？

（3）如图3,若在一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少

个？

八、求圆锥的底面半径（共3小题）

29.（2023秋•江苏宿迁・九年级统考期末）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点

A、B、C,请在网格图中进行下列操作：

（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心。点的位置，则D点坐标为二

（2）连接A。、CD,则。。的半径为一（结果保留根号），/AOC的度数为二

（3）若扇形ZMC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径.（结果保留根号）.

30.（2022秋・江苏镇江•九年级统考期中）如图，在一张四边形A3CO的纸片中，ABDC,

AD=AB=BC=2y/2,/。=45。，以点A为圆心，2为半径的圆分别与AS、仞交于点区

⑴求证：DC与A相切；

（2）过点B作CA的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（3）若用剪下的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆

锥的底面？

31.（2022秋•江苏苏州•九年级统考期末）在半径为名的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60。的扇形（图中

的阴影部分）.

（1）求这个扇形的半径；

（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径.

九、圆锥侧面积的最短路径问题（共3小题）

32.（2018秋・甘肃定西•九年级校联考期末）圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点

B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少？

33.（2021秋•云南玉溪•九年级校考期末）如图1,圆锥底面圆半径为1,母线长为4,图2为其侧面展开图.

（1）求阴影部分面积（兀可作为最后结果）；

（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？

34.（2011秋・广东汕头・九年级统考期末）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm,母线长为40cm.

（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积.

（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点8,请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多

少？为什么？

S

B

06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积（34题9种题型）

一、正多边形与圆有关的计算（共7小题）

1.（2022秋・江苏徐州.九年级统考期中）如图M、N分别是。。的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正

五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN,连接OM、ON

（1）求图1中NMON的度数

（2）图2中/MON的度数是,图3中NMON的度数是.

（3）试探究/MON的度数与正n边形边数n的关系是—

360°

【答案】（1）120°；（2）90°,72°；（3）AMON=——.

n

【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得？BOC黄=120?,再根据圆内接正三角

形的性质可得NOBM=/OCV=30。，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得=最后

根据角的和差、等量代换即可得；

360°

（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得/8OC=一1=90。，再根据（1）同样的方法可得

4

360°

NMON=NBOC=90°；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角NBOC=有一=72。，再根据（1）同样的

方法可得AMON=ZBOC=72°；

（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得.

【详解】（1）如图，连接OB、OC,则=

加（^是（。内接正三角形，

.•.中心角？BOC々一=120?,

:点。是。内接正三角形ABC的内心，

/.ZOBM=-ZABC=30°,ZOCN=-ZACB=30°,

22

ZOBM^ZOCN,

BM=CN

在△OMB和，ONC中，■ZOBM=ZOCN,

OB=OC

:.」OMB=_ONC(SAS),

ZBOM=/CON,

ZMON=NBON+ZBOM=ZBON+ACON=NBOC=120°,

故答案为：120。；

（2）如图1,连接OB、OC,

四边形ABCD是。。内接正方形，

360°

中心角ZBOC=——=90°,

4

同（1）的方法可证：ZMON=ZBOC=90°；

如图2,连接OB、OC,

五边形ABCDE是一O内接正五边形，

360°

中心角ZBOC==72°,

同（1）的方法可证：ZMON=ZBOC^12°,

故答案为：90°,72°；

360°

（3）由上可知，NMON的度数与正三角形边数的关系是NMON

360°

4MON的度数与正方形边数的关系是ZMON=——,

4

360°

ZMON的度数与正五边形边数的关系是ZMON=-y-,

360°

归纳类推得：ZMON的度数与正n边形边数n的关系是ZMON=—,

n

360°

故答案为：NMON=——.

n

【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心

角的求法是解题关键.

2.(2022秋•湖南长沙•九年级统考期末)如图，正六边形ABCD瓦的中心为原点O,顶点A,。在无轴上，

半径为2cm.求其各个顶点的坐标.

【答案】A(一2,0),B(-1,一石)，C(1)一出),D(2,0),E(1,6),F(-1,6)

【分析】过点£作EGLx轴，垂足为G,连接。E,得出AOEO是正三角形，再利用RtAOEG中，OG=^OE,

EG=doE。-OG°,得出结论.

【详解】解：过点E作EGLx轴，垂足为G,连接OE,

360°

VOE=OD,NEOD=——=60°,

6

•••△0即是正三角形，ZEOG=60°,NOEG=3。。,

VOE=2cm,NOGE=90。，

，OG=gO£=lcm,EG=yloE2-OG2=V22-I2=cm,

点E的坐标为(1,下,),

又由题意知点。的坐标为(2,0),

由图形的对称性可知A(—2,0),B(—1,—73),C(1,一6),F(―1,73).

故这个正六边形ABCDEP各个顶点的坐标分别为A(—2,0),B(-1,一粗),C(1,一上),D(2,0),

E(1,上)，F(-1,6).

【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30。的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识,

解题的关键是熟练运用这些性质.

3.(2022秋.江苏•九年级期中)如图，六边形ABC。斯是。。的内接正六边形.

⑴求证：在六边形A3C。跖中，过顶点A的三条对角线四等分NBA尺

S.

⑵设。。的面积为S/,六边形A8CZJEF的面积为求U的值(结果保留n).

【答案】(1)证明见解析

C、2石万

【分析】(1)如图，连接AE,AD,AC,根据正六边形的性质得到EF=ED=CD=BC,求得EF=ED=CD=BC，

于是得到/耐E=ZEAD=ZDAC=ZCAB,即可得到结论；

(2)如图，过。作。GLOE于G,连接OE,设O。的半径为r,推出△0£>E是等边三角形，得到DE=

OD=r,NOED=60。，根据勾股定理得至l|OG=JoE?—EG?=也r,根据三角形和圆的面积公式即可得到

2

结论.

【详解】(1)证明：如图，连接AE,AD,AC,

・・•六边形A8COE/是。。的内接正六边形，

；・EF=ED=CD=BC,

EF=ED=CD=BC，

：.ZFAE=ZEAD=ZDAC=ZCAB,

・•・过顶点A的三条对角线四等分NA4R

(2)解：如图，过。作OGLOE于G,连接OE,

设。。的半径为r,

C

9：ZDOE=^~=60°,OD=OE=r,

6

•••△ODE是等边三角形,

：.DE=OD=r,NOE0=6O°,

：.ZEOG=30°,

：・EG=­r,

2

/.OG=y/OE2-EG2=—r,

2

/.正六边形ABCDEF的面积=6xLrx迫厂=述/

222

QO的面积=113,

1

S]_Tir_2yB兀

才否二丁

【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

4.（2022秋•江苏徐州•九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1,点。、A

都在格点上，以。为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图.

⑴在图①中画：。的一个内接正四边形ABCD,S正四边形.°=；

⑵在图②中画：。的一个内接正六边形ABCDEF,S正六边形ABCDEF=.

【答案】（1）图见解析，32

（2）图见解析，24g

【分析】（1）只需要作直径AC、BC,并使得AC13D即可；

（2）如图所示，取格点8,C,D,E,F,然后顺次连接A、B、C、D、E、厂得到正六边形，再求出求面

积.

【详解】（1）解：如图所示，正四边形ABCD即为所求；

S正四边形旗8=；408£>=；、8*8=32，

故答案为32；

B

①

（2）解：如图所示，正六边形ABCDE尸即为所求;

过点。作于",

:正六边形ABCD5F,

360°

，ZBOC=——=60°,

6

又,；OB=OC,

：.△O3C是等边三角形,

OB=2BH=4,

22

OH=yJOB-BH=2A/3,

,•9正六边形ABCOEF=6s&OBC=6x—x4x273=24』.

故答案为：24G.

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知正多边形和圆的相关知识是解题

的关键.

5.（2022秋•宁夏吴忠・九年级统考期末）如图，正方形ABCD是半径为R的圆。内接四边形，若R=6,求

正方形ABCD的边长与边心距.

【答案】正方形ABC。的边长为60,边心距为3拒.

【分析】过点。作垂足为E,利用圆内接四边形的性质求出ZBOC=90。，ZOBC=45°,然后在

RtO3E中，根据勾股定理求出BE、OE即可.

【详解】解：过点。作OEL3C,垂足为E,

•.•正方形ABC。是半径为R的。。内接四边形，R=6,

360°

:.ZBOC=^-=90°,ZOBC=45°,OB=OC=6,

4

BE—OE.

在RtOBE中,/BEO=90。,

由勾股定理可得

OE2+BE2=OB-,

.-.OE1+BE1=36,

:.OE=BE=3值,

:.BC=2BE=642,

即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为60,边心距为3行.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，

正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正”边形每个中心角都等于3型60°-.

n

6.（2022秋・江西南昌•九年级南昌市第二十八中学校联考期末）圆周率万的故事

我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率订的值一“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可

割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来

越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率"的值.

（1）对于边长为。的正方形，其外接圆半径为，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代

它的外接圆周长，利用公式C=2疗，可以估算万C===_________.

2r

（2）类比（1）,当正多边形为正六边形时，估计"的值.

【答案】（1）—a,20;（2）3

2

【分析】（1）由正方形的边长AB=a,用勾股定理得求AC="7,由直径等于正方形对角线长可得r=冬，

由正方形的周长4“等于它的外接圆周长4。=2打，可求得万号=美=2夜即可；

（2）设正六边形的边长AB=m,可知正六边形的周长为6如其外接圆半径为根.由C=6帆=2］尸，可得

"=£=3即可.

2r

【详解】（1）正方形的边长AB=a,

在RtZkABC中，由勾股定理得,

AC2=AB2+BC2=2a2,

***AC=yflci，

・••正方形的对角线长为缶，

2r=y/2a,

y/2a

r=---，

2

・・•用该正方形的周长4〃替代它的外接圆周长,

C=4a=271r,

4a4〃4=2后

2x--a

2

故答案为冬；2小

(2)解：设正六边形的边长AB二处

则该正六边形的周长为6处其外接圆半径为“

C=6m=271r,

.C6m

.,71=----=------=3,

2r2m

所以估算乃值为3.

【点睛】本题考查估算出圆周率万的值问题，掌握用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出

圆周率1的值是解题关键.

7.(2023春・浙江台州•九年级校考期中)李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻

的了解万的意义.

(1)［定义］我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆

度”3.如图，正三角形ABC的边长为1,求得其内切圆的半径为巫，因此&=

6

(2)［探索］分别求出正方形和正六边形的“正圆度”总、k6；

(3)［总结］随着”的增大，勺具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括.

【答案】⑴也

71

(2)1,空

nTC

(3)随着〃的增大，K越来越接近于1,见解析

【分析】(1)根据“正圆度”的定义进行求解即可;

(2)设正方形边长和正六边形的边长都为1,求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进

行求解即可;

(3)根据(1)(2)所求可知随着”的增大，幻越来越接近于1,再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得

到答案.

1x33>/3

【详解】(1)解：由题意得，3=J3=~

2兀二一

6

故答案为：—;

71

(2)解：假设正方形边长1,

此时正方形的内切圆半径为g,

,1x44

k.=----=—

设正六边形的边长为1,内切圆圆心为O,则402=嘤360°=60。,

6

又：OA=OB,

’A03是等边三角形，

/.OA=OB=1,AC=~,

2

OC=Vox2-AC-=—,

2

（3）解：&wl.65,勺。1.27,4wLl。，随着”的增大，心越来越接近于1.由张衡、祖冲之的研究，精

进万的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长工也与对应的

内切圆周长更接近，其比值更接近于L

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键.

二、计算扇形的弧长（共3小题）

8.（2023秋•江苏南通・九年级统考期末）如图，CE是O的直径，半径Q4L弦BC,垂足为点。，连

AB,AC,AE.

（1）求证：ZACB=ZE；

⑵若NACB=30。，AC=3,求AC的长.

【答案】（1）见解析

⑵乃

【分析】（1）根据垂径定理得到，则根据等弧所对的圆周角相等即可证明结论；

（2）先利用（1）的结论得到NE=30。，再根据圆周角定理得到NAOC=60。，则可判断为等边三角

形，所以。4=AC=3,然后根据弧长公式求解即可.

【详解】（1）证明：：半径Q4J_弦BC,

:.ZACB=ZE.

(2)解：VZE=ZACB=30°,

：.ZAOC=60°,

'：OA^OC,

，，OAC为等边三角形,

OA=AC=3,

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，

灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

9.（2022秋•江苏宿迁•九年级统考期中）如图，,ABC内接于0。，A£）〃3c交。。于点。，DFAB交BC

于点E,交。。于点R连接AfC尸.

⑵若。。的半径为3,ZCAF=30°,求AC的长（结果保留兀）.

【答案】（1）证明见解析；

⑵1

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得=等量

代换可得NAFC=NACF,即可得出答案；

（2）连接AO,CO,由（1）中结论可计算出NA产C的度数，根据圆周角定理可计算出/AOC的度数，再

根据弧长计算公式计算即可得出答案.

【详解】（1）证明：：AD〃BC,DFAB,

四边形A5E。为平行四边形，

ZB=ZD,

,:ZAFC=/B,ZACF=ND,

：.ZAFC^ZACF,

：.AC^AF.

(2)解:连接AO,CO,如图,

F

由（1）得/4FC=/ACF,

/AFC=180。-30。=75o

ZAOC=2ZAFC=150°,

150义九义35TT

AC的长/=

180~2,

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考

查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养.

10.(2022秋•江苏苏州•九年级统考期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点4(0,4),8(4,4),C(6,2).

(i)该圆弧所在圆的圆心坐标为.

⑵求弧ABC的长.

【答案】(1)(2,0)

⑵后

【分析】(1)根据垂径定理结合网格的性质可得答案；

(2)借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可.

【详解】(1)解：由垂径定理可知，圆心是A8、BC中垂线的交点，

由网格可得该点尸(2,0),

故答案为:(2,0)；

y

(2)解:连接AC,

根据网格可得，。尸=CQ=2,OA=PQ=4,

ZAOP=ZPQC=90°,

由勾股定理得，

AP=dop。+32=,2〉+4?=2后尸C,

•.,AP2=22+42=20,CP2=22+42=20,AC2=22+62=40,

：.AP2+CP2^AC2,

：.ZAPC=90°,

：.弧ABC的长为？0万挖6=亚兀,

180

答：弧ABC的长为有兀.

【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确

定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提.

三、求某点的弧形运动路径长度（共3小题）

11.（2023秋・江苏淮安・九年级统考期末）如图，A08的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正

方形的边长均为一个长度单位，以点。建立平面直角坐标系，若oAOB绕点。逆时针旋转90。后，得到△4。四

（A和A是对应点）

（1）画出"。耳；

(2)点A坐标为,点B［坐标为；

(3)点A的运动路径长为.

【答案】(1)见解析

(2)(-44),(-3,3)

(3)71

2

【分析】(1)分别作出点A、2绕点。逆时针旋转90。后得到的对应点4、4，顺次连接点。、4、4即可

得到504；

(2)根据(1)中的图形写出点4、耳的坐标即可；

(3)根据点A的运动路径是以点。为圆心，Q4长为半径，圆心角为90。的弧长，勾股定理求出Q4,利用

弧长公式求出点A的运动路径长即可.

【详解】(1)解：如图所示，△A。可即为所求，

(2)由图可知，点A的坐标为(TJ),耳的坐标为(-3,3),

故答案为：(-41)，(-3,3)

(3)点A的运动路径是以点。为圆心，长为半径，圆心角为90。的弧长，

Q4=Vl2+42=A/17,

点A的运动路径长为胆巫=叵兀.

1802

故答案为：^^-71

2

【点睛】此题考查了图形的旋转的作图、弧长公式、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的作图和弧长公式是

解题的关键.

12.(2023秋•江苏南通・九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，45,1),8(1,4),将线段A8绕原点

。逆时针旋转90。到44.

⑴求点A的坐标；

⑵求点2运动的路径长.

【答案】⑴(一1,5)

⑵

【分析】(1)连接。4、。4,作轴于点E,AC，x轴于点C,可证明△AOE2"OC,得OE=OC=5,

A,E=AC=I,则点A的坐标是(-1,5)；

(2)由旋转得。耳=02,ZBOB1=90°,以点。为圆心，。8的长为半径作2月，根据弧长公式求出2月的

长，就是点8运动的路径长.

【详解】⑴解：连接。4、。4，作轴于点E,ACLt轴于点C,则4EO=ZACO=90。，

将线段A3绕原点。逆时针旋转90。到44，

OA}=OA,NAOA=ZCOE=90°,

幺OE=ZAOC=90°-ZAOE,

在，AQE和3Aoe中，

4EO=NACO

<ZA^OE=ZAOC,

O\=OA

：.A4QE当AAOC(AAS),

A(5,l),

:.OE=OC=5,AiE=AC=l,

「点A在第二象限，

.・•点A的坐标是(-1,5).

(2)由旋转得。耳=。3,ZBOB,=90°,

以点。为圆心，。8的长为半径作84，则点3运动的路径长为3月的长，

作轴于点。，

8(1,4),

:.BD=1,OD=4,

OB=yjBD2+OD2=712+42=厉，

.,90x"xg历兀

期1802

二点3运动的路径长是叵.

2

【点睛】此题重点考查图形与坐标、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识,

正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

13.(2022秋・江苏.九年级期末)如图，为。。的直径，且49=4,点C在半圆上，OC±AB,垂足为点。,

P为半圆上任意一点过尸点作PELOC于点E,设△OPE的内心为M,连接0M

(1)求NOMP的度数；

(2)随着点尸在半圆上位置的改变，NCM。的大小是否改变，说明理由；

⑶当点尸在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长.

【答案】(1)135。

⑵不改变，理由见解析

⑶岳

【分析】(1)由内心的定义可知NMPO=NMPE=；NEPO,求出NMOP与/

MPO的和为45。，利用三角形的内角和定理即可求出/OMP的度数；

(2)连接CM,证△COMgZXPOM,即得出/。0。=/。河尸=135。，可知NCM。的大小不改变，为135。；

(3)连接AC,证明△AC。为分别为等腰直角三角形，求出。。=2后，ZCQO=9Q°,分析得出当点。在半

径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径

长.

【详解】(1)解：；OC_LAB,

ZOEP=90°,

：.ZEOP+ZEPO=90°,

为△OPE的内心,

/.NMOP=NMOC=；ZEOP,NMPO=NMPE=gZEPO,

：.ZMOP+ZMPO=^(NEOP+/EPO)=45°,

AZOMP=180°-CZMOP+ZMPO)=135°；

(2)/CM。的大小不改变，理由如下：

如图2,连接CM,

图2

在△(%>〃和△POM中，

CO=PO

<ZCOM=ZPOM,

OM=OM

：./\COM^/\POM(SAS),

ZCMO=ZOMP=135°,

.•./CMO的大小不改变，为135。；

(3)如图3,连接AC,CM,

003

,：CO±AB,

：.OA=OC,

•••AACO为等腰直角三角形,

:.AC=及AO=4应,

取AC中点°,连接。。

则NCQO=90。，

:.CQ=[AC=2枝,

当点尸在半径0C的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，所对圆心角为90。，

.90万x2-^2_[―

••---------=\2兀，

180

内心M所经过的路径长为©r.

【点睛】本题考查了三角形内心的定义，全等三角形的判定，弧长公式等，解题关键是能够根据题意判断

出当点尸在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上.

四、求扇形面积（共4小题）

14.（2023秋・江苏南京•九年级统考期末）如图1,是।。的弦，AB=2,ZAOB=^）°,尸是优弧AB上的

一个动点（不与点A和点B重合），尸4尸民48组成了一个新图形（记为“图形尸一48”），设点尸到直线A3

的距离为x,图形尸-A3的面积为H

⑴求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）记扇形OAB的面积为S扇形，当y=S扇形时.

①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②在第①题所作图中，连接尸4P8,再画一条线，将图形A3分成面积相等的两部分.（画图工具不限,

写出必要的文字说明.）

【答案】（l）y=x+g乃一6.自变量x的取值范围是0<xV2+若.

（2）①图见详解②见详解.

【分析】（1）根据垂径定理做辅助线，分别求出SQB、S扇形3八SPAB,然后由面积的和差关系建立等式

即可；

（2）①扇形OAB的面积为S扇形.AB，当y=S扇形.AB时，那么根据同底等高即可；②扇形QW的面积为S扇形，

当y=S扇形OAB时，也就是画一条线把y=S扇形OAB平分，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可作图.

【详解】（1）解：：在o中，AB是，o的弦，

...OA=OB.

•；ZAOB=60°,AB=2,

。45是等边三角形，Q4=O3=AS=2.

如图1,过点。作OC_LAB,垂足为C.

则AC」A8」x2=l.

22

在昭△OAC中，ZOCA=90°,OA=2,AC=1.

根据勾股定理，得oc=麻=运=亚7了=6・

~AB,OC=—x2x6=G.

Z_AL//iD22

又：ZAOB=60。，OAB是等边三角形且边长是2,

S扇形O4B=X%X2?=：%.

又：点尸到直线AB的距离为X,AB=2,

••SAPAB=-^ABX=^X2-X=X.

.,.图中的阴影部分的面积y=SAPAB+Slii)fi0AB-S^0AB=x+—7t-\[3.

自变量x的取值范围是0<XW2+VL

（2）解：①如图2所示，点々（或巴）即为所求（只要求作出一种情形即可）;

②以点<的情况为例，

过点。作OCLAB,垂足为C,延长0C交于点D

连接《C、CD,则折线［-C-O即为所求.

弧线的画法：

以点片的情况为例,

以《为圆心，4A长为半径画弧，交于点?则A尸即为所求.

【点睛】本题考查圆章节的垂直定理性质以及三角形扇形面积公式等知识内容，掌握面积等量代换是解题

作图的关键.

15.（2022秋•江苏盐城•九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给

出计算弧田面积的公式为：弧田面积=；（弦X矢+矢2）.如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”

指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之

间存在误差.现有圆心角/A03为120。，弦长AB=2后m的弧田.

（1）计算弧田的实际面积.

（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取

万近似值为3,6近似值为1.7）

【答案】（1）弧田的实际面积为-退jm?；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与

（1）中计算的弧田实际面积相差O.ln?.

【分析】（1）先利用勾股定理及含30。的直角三角形的性质求解A。与A2的长度，接着算出AAQB的面积，

再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积.

（2）利用题中的公