卫星变轨问题 双星模型（原卷版）-2025年物理一轮复习讲义

第五章万有引力与宇宙航行

第3课时专题强化：卫星变轨问题双星模型

学习目标

1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。

2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。

3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

考点01卫星的变轨和对接问题

1.变轨原理

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道I上，卫星在轨道I上做

Mmv2_

匀速圆周运动,有G~~=m—,如图所示.

尸］2门

MmVA2

(2)在N点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，卫星做离心运

ri2ri

动进入椭圆轨道n.

MmVB2Mmv'2

(3)在椭圆轨道8点(远地点)将做近心运动，>m—,再次点火加速，使(?二=加——，

进入圆轨道III.

2.变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道I和in上运行时的速率分别为X、匕，在轨道n上过n点和8点时

速率分别为内、VB.在4点加速，则VA>V1,在B点加速，则V3>VB，又因V1>V3,故有VA>V1>V3>VB，

(2)加速度：因为在/点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道I还是轨道II上经过/点，

卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道II或轨道ni上经过g点的加速度也相同.

(3)周期：设卫星在I、II、III轨道上的运行周期分别为71、？2、？3,轨道半径分别为不吆半

r3

长轴)、3由开普勒第三定律形=左可知

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在I、II、III轨道的机械能分

别为£1、4、E3,从轨道I到轨道n和从轨道H到轨道III都需要点火加速，贝|当＜与＜£3.

［典例1•对卫星变轨问题中各物理量的比较的考查］（2024•黑龙江哈尔滨市第九中学月考）在

发射一颗质量为小的人造地球同步卫星时,先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道I上（离

地面高度忽略不计），再通过一椭圆轨道n变轨后到达距地面高为〃的预定圆轨道皿上。已知

它在圆轨道I上运行的加速度大小为g,地球半径为R,卫星在变轨过程中质量不变，贝1（）

h

A.卫星在轨道III上运行的加速度大小为（六%）2g

B.卫星在轨道ni上运行的线速度大小为区

c.卫星在轨道ill上的动能大于在轨道I上的动能

D.卫星在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能

［拓展训练］2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于

2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹

示意图如图所示，其中轨道I、III为椭圆，轨道n为圆.探测器经轨道I、n、ni运动后在。

点登陆火星，。点是轨道I、II、III的切点，。、。还分别是椭圆轨道III的远火星点和近火

星点.下列关于探测器说法正确的是（）

O'

A.由轨道i进入轨道n需在。点减速

B.在轨道n上运行的周期小于在轨道III上运行的周期

c.在轨道n上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度

D.在轨道III上，探测器运行到o点的线速度大于运行到。点的线速度

［典例2•对变轨问题中的能量变化的考查］2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕.如

图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为八=『的圆轨道上做匀速圆周运动，到4点

时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点8点时，再次改变卫星的速度，使卫星进

入半径为『2=2『的圆轨道做匀速圆周运动.已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的

乘积为定值，卫星在椭圆轨道上/点时的速度为v,卫星的质量为加，地球的质量为加地，

引力常量为G,则发动机在/点对卫星做的功与在8点对卫星做的功之差为（不计卫星的质

量变化）（）

33Gm地m33Gm地m

A-mv24B-mv2

44r44r

53Gm地m53Gm地m

C—mv24D-mv2

84r84r

［拓展训练］（多选）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近

似为圆，且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀

薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是（）

A.卫星的动能逐渐减小

B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小

C.由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变

D.卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量

［典例3•对飞船对接问题的考查］（2023•安徽蚌埠市检测）2022年7月24日14时22分，中国

“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功.“问

天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接

于离地约400km的“天和”核心舱.“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验

舱.下列判断正确的是（）

A.航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力

B.为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙

速度

C.对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度

D.若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T,运行速度为v,引力常量为G,利用这些条

件可估算出地球的质量

［拓展训练］北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实

现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空

间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对

接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置（距空间站200m）。为到达这个位

置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是（）

A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可

B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可

C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

考点02双星或多星模型

1.双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统.如图所示.

⑵特点

_,,Gm\miGm\mi

2

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即--：—=加⑷41，---------=m2C02r2.

Z2L2

②两星的周期、角速度相同，即八=72，COl=CO2-

③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为n+r2=z.

m\F2

④两星到圆心的距离小、-2与星体质量成反比，即一=—.

机2尸1

一~~^

⑤双星的运动周期T=2兀---------.

JG(冽1+冽2)

4兀2£3

⑥双星的总质量加1+加2=/G，

2.多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度

或周期相同.常见的多星及规律：

------、

Gm2GMm

/M①J机〃向

m•----•-----■m(2R)2R2

：

\、RR•

、、/，

、、—一

常见的三星模型

弟尸Gm2

•'、

'1、②——Xcos30°X2=ma向

L/：\£2

/，人、\

，'/0'、、、'、

m♦1----------*机

22

,,*wGmGm

®-^-Xcos45°X2H—『—=ma向

常见的四星模型!\L\'；LQ2L)2

k—*

m

_Gm2GmM

I'7®——Xcos30°X2+二机Q向

2

/‘&\L生）2

加上二。二W1

［典例4•对双星模型的考查］（2024•河北石家庄市调研液空中我们观测到的亮点，其实大部分

并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线

上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所

示，若两中子星的质量之比mP：加（2=左：1。贝1K

甲

A.根据图乙可以判断出心1

B.若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定

C.P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比

D.仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小

［拓展训练］（2023•贵州省贵阳一中高三检测）宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒

星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示.假设该双星1、2的质量

分别为加1、加2，圆周运动的半径分别为厂1、，2，且「1小于「2，共同圆周运动的周期为7，引

力常量为G.则下列说法正确的是（）

A.恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为心

尸］2

B.恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度

C.恒星1的动量一定大于恒星2的动量

D.某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并

前，共同圆周运动的周期不断减小

［典例5•对多星模型的考查K2023•广东珠海市调研）宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质

量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在

两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上

运行，如图甲所示，周期为4；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，

并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为若每颗星的质量都相同，则71:72

为（）

A

[拓展训练]（多选）如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用

可忽略.设每颗星体的质量均为加，三颗星体分别位于边长为『的等边三角形的三个顶点上,

它们绕某一共同的圆心。在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动.已知引力

常量为G,下列说法正确的是（）

A.每颗星体所需向心力大小为2仪彳

B.每颗星体运行的周期均为2兀二

13G机

C.若尸不变，星体质量均变为2加，则星体的角速度变为原来的O倍

1

D.若冽不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的-

4

考点03星球“瓦解”问题黑洞问题

1.星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘

起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心

,GMm[GM[GM\GM__

力，即——=ma）2R,得。=I—「当。＞I—^时，星球瓦解，当。＜I—^时，星球稳定运行.

R2[R37R31R3

2.黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞

运行的天体的运动规律间接研究黑洞.当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的血

倍）超过光速时，该天体就是黑洞.

［典例6•对星球的瓦解问题的考查］2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用

中国天眼FAST,发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A,相关

研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为7=2.15毫秒。假设该星体是质

量分布均匀的球体，引力常量为6.67xlO-UN-m，kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的

时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小

值约为（）

A.1.3xlOlokg/m3B.3xl016kg/m3C.3xl013kg/m3D.3xl019kg/m3

［拓展训练］我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T

=5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67X1011N-m2/kg2.以周

期7稳定自转的星体的密度最小值约为（）

A.5X109kg/m3B.5X1012kg/m3

C.5X1015kg/m3D.5X1018kg/m3

［典例7•对黑洞的考查］（2024•安徽安庆•二模）史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一

个临界半径特征值。该值的含义是：如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就

被压缩成一个黑洞，即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速

度的血倍，该星球半径R=6400km,表面重力加速度g取10m/『，不考虑星球的自转，则

该星球的史瓦西半径约为（）

A.9纳米B.9毫米C.9厘米D.9米

［拓展训练］科学研究表明，当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的血倍）大于光速

时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为比地球的半径为R,地球的环绕速

度（第一宇宙速度）为H，光速为c,则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（）

2oFR2kc2Rkvi2R2kvi2R

A.-------B.-------C.-------D.--------

kc222c2c2

课时作业练

基础对点练

1.（2023•江苏南京市期中）地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星

探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分,

在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一

号”在飞往火星的过程中（）

____小星轨道

A.速度变大B.速度不变

C.加速度变小D.加速度不变

2.（2023•广东广州市第二中学三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射

意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图

所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，贝1（）

A.天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度

B.天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期

C.天间一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”

D.着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒

3.2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、

汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站.对接过程的示意图如图所

示，天和核心舱处于半径为七的圆轨道皿；神舟十二号飞船处于半径为n的圆轨道I，运行

周期为方，通过变轨操作后，沿椭圆轨道H运动到2处与天和核心舱对接.则神舟十二号飞

船（）

轨道in黄天和核心舱

A.在轨道i和轨道n运动经过/点时速度大小相等

B.沿轨道II从/运动到对接点2过程中速度不断增大

C.沿轨道II运行的周期为T1（上仝）3

J2rl

D.沿轨道I运行的周期大于天和核心舱沿轨道III运行的周期

4.（多选）（2023•广东省模拟）如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道I

上运动，卫星在椭圆轨道I的近地点工的加速度大小为曲，线速度大小为vo,/点到地心的

距离为R,远地点3到地心的距离为3R,卫星在椭圆轨道的远地点2变轨进入圆轨道H,卫

星质量为m，则下列判断正确的是（）

轨道n

—-

'WII

卫星在轨道n上运行的加速度大小为严

卫星在轨道II上运行的线速度大小为苧

卫星在轨道II上运行周期为在轨道I上运行周期的3退倍

maoRmvo2

卫星从轨道I变轨到轨道II发动机需要做的功为----------

618

5.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着

陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区.若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动

轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和

火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是（）

火星、汽

4东科一号

A.飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期

B.在与火星会合前，飞船“天间一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度

C.飞船“天间一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒

D.飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间

6.（2023•山东济南市模拟）2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次

发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志

着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同

一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实

现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（）

运行嘉骡J1气方向运行方乌黑I1天舟五号

天舟五苫吟心士•门运行方向叱:

运行方件尹上日工万向

/青间媪喷与'、'、、

/痂站、/空间站鳖不'

空间站

方向方向

ABCD

7.如图所示，“食双星”是两颗相距为"的恒星/、8,只在相互引力作用下绕连线上。点做

匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星.观察者

在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面.观测发现每隔时间7两颗恒星

与望远镜共线一次，已知引力常量为G,地球距N、8很远，可认为地球保持静止，贝!］（）

//一”'、\

；做：方广一产

、〜〜_-J

A.恒星/、2运动的周期为7

B.恒星/的质量小于2的质量

兀2,

C.恒星/、2的总质量为——

GF

D.恒星/的线速度大于3的线速度

8.（多选）宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双

星系统.设某双星系统/、2绕其连线上的某固定点。做匀速圆周运动，如图所示.若/、2

两星球到。点的距离之比为3：1,则（）

A.星球4与星球8所受引力大小之比为1：1

B.星球/与星球8的线速度大小之比为1:3

C.星球/与星球5的质量之比为3：1

D.星球/与星球2的动能之比为3：1

9.一近地卫星的运行周期为70,地球的自转周期为7,则地球的平均密度与地球不因自转而

瓦解的最小密度之比为（）

ToTTo2T1

A.——B.—C.—D.—

TTorTo2

10.黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑

2GM

洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞.已知某黑洞的逃逸速度为v——，其中引力常