四川天府新区某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试题

四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高一上学期期中

考试数学试题

学校:.姓名：班级：—考号:

一、单选题

1.全称量词命题“VXER,x2>0的否定是()

2B22

A.VXER，x<0-玉eR，x<0C・3xeR,x>0

2

D・VXER，X<0

2.已知集合4=|x|(x+l)(x-l)<01JB=x|x>0)'则/c2等于

A-(-1,0)B-(T，Dc-[-1,0]D-(oa)

3.下列各组函数表示同一函数的是()

A.〃x)=x,g(x)=£B.〃x)=l,g(x)=x°

Cf(X)=2xff{m)=2mD-/(x)=x+l，g(x)=X-l

函数/(x)=Jx«l,3］的值域为(

4.)

A.[1同B.C.。，3)D.9

5.已知函数>=/(%)的图象如图所示，则该函数的减区间为()

试卷第11页，共33页

A.(-3,-1)U(1,4)B-(-5,-3)U(-1,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(-5,-3),(-1,1)

6.若不等式工2+履+4>0对一切实数R都成立，则实数左的取值范围为（）

A-[-4,4](-4,4)

C.(一吗_4)“4,+8)D.(-oo,-4]u[4,+oo)

二、多选题

7.已知满足_L+_L=1,则下列结论正确的是（）

XV

A.孙有最小值4B.中有最大值5

C.x+y有最小值4D.x+y有最大值4

三、单选题

8.定义一种新的运算符号“㊈"：a®b=ab+\，已知〃x）=x，g（x）=x-2「且

〃元）8g（x）的最小值是-1.则/的所有取值是（）

A.±1B.收C.1D.土夜

四、多选题

9.下列命题是真命题的为（）

A.若a>b，则/>〃

B.若。屋>6屋，贝！k/>b

试卷第21页，共33页

^^a>b>0m<0mm

C.右且n，则mil一

a2b2

D-若。>b且c<"'则q_c>6-d

10.已知集合4=｛1,2,4｝，3=｛L〃+2｝，若4U8=4,则。的取值可以是（）

A.1B.0C.2D.-2

H.下列说法正确的有（）

A.>=x+；1（x>0）的最小值为/9

B.已知X>1,贝I］y=2x+/--1的最小值为4血+1

X—1

C.函豹）,一封+5的曷小值为2

■V774

D.若正数x,>满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3

五、填空题

12.函数/（x尸」二的定义域为.

X-1

13.设记:则函数〃"）=max"-3,6-2x｝的最小值为一.

1，［b,a<b

ax2—x+5,%V1再W%

14.已知函数〃x）=2'-满足对任意实数‘，都有

一,X>1

-占）［/（々）-/（占）］<0成立，则实数。的取值范围是一

试卷第31页，共33页

六、解答题

15.设°=O£R}为全集,集合Z=30«%«2}，集合3={%］加一1<%<5},

(1)冽=2,求集合/UB和集合(吩/)c5；

⑵若“yd”是“yr的充分不必要条件，求加的取值范围・

At71At19

A

16.已知函数f(x)=x+」(x-0).

⑴判断并证明函数〃x)的奇偶性；

(2)判断函数/(x)在区间(2,+oo)的单调性，并用定义法证明.

2

17.已知函数〃x)是R上的偶函数，当xWO时，f(x)^x-x-

⑴求函数/(x)的解析式，并画出具体函数图象；

(2)若/(2加_1)</(加+1)，求实数力的取值范围.

18.某公司注重技术创新，今年加大了对产品研发的投入.通过市场分析，该公司生产的一

款产品全年需投入固定成本100万元，每生产X千件该产品，需另投入成本R(x)万元，且

试卷第41页，共33页

5x2+400x,0<x<30

满足：R（x）=J25000，由市场调研知，每件产品售价万元，且全

'610x+』“-3300,x230

.x

年内该产品能全部销售完.

（1）求出今年该产品的利润P（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式（利润=销售

额-成本）；

（2）今年产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

19.“函数p（x）的图像关于点（根,〃）对称”的充要条件是“对于函数0（x）定义域内的任意

X，都有夕（x）+a（2机-x）=2〃”•若函数/（x）的图像关于点（1,2）对称，且当xe[0,l]时，

f（x）=x2—ax+a+\,

⑴求/（一l）+/（3）的值;

⑵设函数g（x）=a.

2-x

（i）证明：函数g（x）的图像关于点（2,-2）对称；

（仃）若对任意西式°，2],总存在]2,3]，使得/（』）=g（X2）成立，求实数a的取值

2L3.

范围.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCDCBACDBCDBC

题号11

答案ABD

1.B

【分析】由全称命题的否定是特称直接求出即可；

【详解】全称量词命题“VxeR，/NO”的否定是土eR,/<0,

故选：B.

2.D

【分析】求出集合人，再进行交集运算即可.

【详解】结合题意可知/={x|(x+l)(x-l)<o}={xH<x<l}，

因为3={小>0}，所以/C5={X|0<X<1}=(0,1),

故选：D.

3.C

【分析】利用同一函数的定义逐个选项分析求解即可.

【详解】对于A,y(x)的定义域为R，

g⑺的定义域为xe(-叫0)5。,+8)，两个函数定义域不一致，故A错误,

对于B,/(x)的定义域为R，

8(天)的定义域为工€(-00,0)50,+00)，两个函数定义域不一致，故B错误,

对于C,满足同一函数的所有条件，故C正确，

对于D,/(x)和g(x)的解析式不同，所以它们不是同一函数，故D错误.

故选：C

4.D

【分析】由反比例函数的单调性求值域即可.

答案第11页，共22页

【详解】因为函数是反比例函数，在xe[l,3]上单调递减，所以

A3

所以值域为1,1.

_3_

故选：D

5.C

【分析】由图象上升下降的情况判断即可.

【详解】函数y=/(x)的图象在区间(-3,-1)和(1,4)是下降的，在区间(-5,-3)和(T1)是上

升的，

故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).

故选：C.

6.B

【分析】利用一元二次不等式的性质建立不等式，求解参数范围即可.

【详解】因为不等式尤2+履+4>()对一切实数x都成立，

所以左2_16<0，解得后e(-4,4)，故B正确.

故选：B

7.AC

【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解x+y的最值，直接利用基本不等式即可求解

中的最值.

【详解】()(LL}yi>库=4,

x+y=x+y+y)=2+%+2+2y

当且仅当上='，即x=>=2时取等号，故x有最小值4

xy

答案第21页，共22页

1+1=1>2E-故工4工，进而可得个*4,当且仅当工=工，即”=了=2时取等号，

xyyxyxv4xy

故中有最小值4,

故选：AC

8.D

【分析】利用题中的定义得到/(x)(g)g(x)=x2_2a+1，再结合一元二次函数的性质即可

求解.

【详解】由定义知,f(x)®g(x)=xi-2tx+\,

结合二次函数的性质知，当x=f时，③g(x)取得最小值为产+1=_尸+1，

则一产+1=_1，解得”土友，

故选：D.

【点睛】关键点睛：

本题的关键是读懂定乂,求出/(x)gg(x)=x?一2tc+l,

9.BCD

【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.

【详解】对于A：当.=1,6=-2时，12<(_2广故A错误;

对于B：由〃/可知/>0,即£>0,所以由a屋•)>6屋•'可得">，，故B正

确；

对于C：因为帅>°,所以a.J->6.J->0,即1>L>o,

ababba

答案第31页，共22页

由不等式的性质可得人>二，又机所以2<4，故C正确；

baba

对于D：因为,<"，所以_c>"，由不等式的性质可得°_c>6_d，故D正确；

故选：BCD.

10.BC

【分析】由/U8=/可得BQ/，结合条件列方程求。，结合元素互异性检验所得结果.

【详解】因为/U3=4

所以Bq/，又/={1,2,力}，8={1,“+2}，

所以。+2=2或a+2=a?，

解得“_（•）或或“一［,

u—va—乙a——1

当a=0时，/={1,2,0}，8={1,2},满足要求，

当a=2时，N={1,2,4},3={1,4},满足要求，

当a=T时，/=i=a+2,与元素互异性矛盾，

故选：BC.

11.ABD

【分析】利用基本不等式即可判断A；变形后利用基本不等式判断B；结合对勾函数的单

调性可判断C；将、+2丁=3个化为工+工=3,结合，，1”的巧用，即可判断D.

xy

【详解】对于A,由则”=、+，22晨1=2,当且仅当工=工，即是等号成

x~\x%

立，

答案第41页，共22页

Y=117

则XT时，y=x+?x>0）取得最小值为，因此A正确;

对于B，m时，xT>0,则

444/—

y=2x+--------1=2（1）+——+1>22（x-l）-------+1=4丁2+1，

x-1x1VX1

当且仅当2（x-l）=/一，即％=行+1时取等号，

X—1

则》=行+1时，y=2x+——-1取得最小值为4亚+1,因此B正确;

x-1

对于C,X?+5+4+1

令"J/+4JN2,则》=/+1在［2，+8）上单调递增,

故一+；的最小值为2+>|,因此C错误;

对于D,正数x/满足"+2^=3肛，即工+工=3,

%y

，当且仅当*=>=1时

则4+寸⑵+加疗+£+5"2^^+5〉

取等号,

则当尤=y=l时，龙+2〉取得最小值为3,因此D正确,

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

答案第51页，共22页

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12.{小片1}

【分析】根据分母不为0,直接列不等式求解即可.

【详解】函数/(X尸二7有意义则

x-l

解得X型

所以函数/(X尸工的定义域为{小二1}

故答案为：

【点睛】本题考查了具体函数的定义域，是基础题.

13.0

【分析】根据题意，由所给的定义化简函数/(x),再结合分段函数的性质，代入计算，即

可求解.

【详解】当>326-2尤时，解得转3，

当x-3<6-2x时，解得x<3，

贝=—2x,x<3,

'7"3,无23

因为y=6-2x在(-8,3)上单调递减，

y=x-3在［3,+oo)上单调递增，

所以x=3时,/(x)有最小值,且〃3)=3-3=0-

故答案为：0

答案第61页，共22页

14.OWW1

【分析】根据条件得到〃x)在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、二次函数

及反比例函数的性质，即可求解.

【详解】因为&-占)[/&)-/(*)]<0，且再f

不妨设再<々，贝U龙2-西>0，y(x2)-/(X1)<o,

所以“X)在定义域上单调递减，

当”>1时，〃x)=2在区间(1，+°°)上单调递减，

X

当xW1时，/(x)=ax2-x+5，

当4=0时，/(x)=-％+5在区间上单调递减，

又/(1)=_1+5=4>2,所以q=0满足题意，

Q>0c/1

0<a<—

当时，由题有人21，解得2,

2a

tz+4>2

综上，实数。的取值范围是0WW

故答案为：oww

15.(1)4口8=何0Wxv5｝，(稔4)cB=｛x[2<x<5｝；

(2)m<1

答案第71页，共22页

【分析】（1）将代入集合8求解，利用集合的并集和补集、交集运算求解即可;

ffl一乙

（2）利用充分不必要条件的定义，根据真子集关系列不等式可求实数优的取值范围.

【详解】（1）当加=2时,5={X|1<X<5},

又力=词04》42「所以守/={x|x<0或x>2}，

所以/口8=卜|0"<5}'（吻4）c3={x[2<x<5}；

（2）因为“xe/”是“xeB”的充分不必要条件，所以A是8的真子集，

又8={x|机-l<x<5「B*0，

m-l<5m<1

所以,所以

2<5

16.（1）奇函数，证明见解析

（2）函数〃尤）在区间（2,+oo）上单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据条件，利用奇偶函数的判断方法，即可求解；

（2）根据条件，利用函数单调性的定义，通过作差/（/）_/（灰），变形化简得到

fM<f（x2）>即可求解・

【详解】（1）奇函数，证明如下，

易知，函数的定义域为（-8,0）U（0,+8），关于原点对称，

X/（-%）=-x+—=-（%+-）=-f（x）,所以函数/（X）的奇函数.

-XX

（2）函数/（x）在区间仅,+oo）上单调递增，证明如下，

答案第81页，共22页

任取3V%2'且石,工2£（2,+8），

则/⑺-/区）=%+&-马-3=区^2）+慢士="1义工父，

再x2x1x2x{x2

因为再<%,且工1，工2£（2,+°°），所以xx—x2<0,xxx2>4,xxx2-4>0,

得到/（不）-/（七）<0，即/（占）</（>2），所以函数/（X）在区间（2,+00）上单调递增•

17.（l）〃x）=F：+x，x>0,图象见解析；

lx-x,x0

⑵（0,2）.

【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义，求出x>0时，函数/（x）的解析式，结合二次

函数及偶函数的性质画出图象即可；

（2）根据函数的图象以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得

|2m-l|<|m+l|,运算求解即可,

【详解】（1）当x>°时，则一x<0，

由题意可得：〃_x）=（r）2_（_x）=x2+x，

因为函数〃x）是R上的偶函数，所以,

所以/（X）=f（-x）—x2+x,

所以函数/⑺的解析式为〃x）=；x；+x,x>0,

结合二次函数知识易画出了（X）图象如图所示：

答案第91页，共22页

X

（2）结合该函数/（x）的图象可知：/（X）在（一%0）上单调递减，在£0，国°°。上单调递

增.

又因为函数“X）是R上的偶函数,且/（2m-l）</（加+1）,

所以|2加-1|<帆+11

整理可得：〃尸-2根<。，解得：0<,«<2-

故实数加的取值范围为曾0,2。.

-5x2+200x-100,0<x<30

18.⑴尸(x)={25000

-10x-+--3--2-0--0-,-%>30

（2）产量为50千件时，获得的利润最大，最大利润为2200万元.

【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润尸卜）万元关于年产量％千件的函数关系

式；

（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为50千件时，所获

利润最大为2200万元.

【详解】(1)尸(x)=600x_T?(x)-100,

答案第101页，共22页

当0<x<30时’

P(x)=6Q0x-(5X2+400X)-100=-5X2+200x-100'

当x»30时，

尸(x)=600x-(610无+空W-3300,100=一lOx一变％3200,

-5x2+200x-100,0<x<30

所以P(x)=J25000

')-lOx----------+3200,x>30

、x

⑵当0<x<3。时，

尸(x)=-5尤2+200x-100=-5(x-20)2+1900'

当xG20时，P(x)max=1900；

当xN30时'

尸(x)=-10x-^^+3200=-10[x+^^]+3200

<-10x2jx-^^+3200=2200-

当且仅当x=50时等号成立，

所以当x=50时，=2200-

所以该公司今年该产品的产量为50千件时，获得的利润最大，最大利润为2200万元.

1%⑴/(一1)+〃3)=4

⑵(i)证明见解析；(ii)卜1,3].

【分析】(1)由函数/(x)的图像关于点(1,2)对称，可得/(-1)+/(3)=4;

答案第111页，共22页

(2)(i)证明g(x)+g(4r)=-4即可；(近)由名⑴在一2事的值域为［-利，设

/(x)在［0,2］上的值域为/，问题转化为Nq［-1,4］，先求解A,分类讨论轴与区间的关系,

研究二次函数的值域即可.

【详解】(1)因为函数/(力的图像关于点(1,2)对称，

则/(x)+/(2_x)=2x2=4，

令x=-l，可得/(7)+/⑶=4.

0y

(2)(i)证明:由g(x)=会,

2x+2（4—x）2x8-2x4x-8

得g（x）+g（4f）=-4=2x（-2）＞

2—x2-（4-x）2—x2—x2-x

所以函数g(x)的图像关于(2,-2)对称•

/..、/、2x_4_4

(U)g(小二一2+寸-2不

则g@2)在％e1-2,与上单调递增，

2L3.

所以g(%)的值域为［T，4「

设/(x)在［0,2］上的值域为4,

对任意王e［0,2］,总存在力，使得〃xj=g(x2)成立,