四川省某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试题

四川省绵阳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线尤+6y_l=（）的倾斜角为（）

A.-B.-C.—D.—

3636

2.方程表示的曲线是（）

A.两个圆B.一个圆和一条直线

C.一个半圆D.两个半圆

3.如图，已知一艘停在海面上的海监船°上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形

区域，一艘轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B

处岛屿，速度为28km/h•这艘轮船能被海监船监测到的时长为（)

A.1小时B.0.75小时C.0.5小时D.0.25小时

4.椭圆片+心=1的焦点为耳且，点尸在此椭圆上，如果线段°百的中点在〉轴上，那么

123

试卷第11页，共33页

T的值为（）

KI

i7

A.-B.4C.7D.-

72

xoyF22

6.如图所示，在平面直角坐标系中，「是椭圆二+匕=1伍>6>0）的右焦点，直线

a2b1

y=g与椭圆交于"，,两点，且N3"C=90。，则该椭圆的离心率是（）

B.

试卷第21页，共33页

A.BC.1D.2

3-I22

7.如图，平面平面/BE尸，四边形4BE尸为正方形，四边形/BCD为菱形，

ZDAB=60°，则直线所成角的余弦值为(

A,正_B.在_C.亚D.如

3344

8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔

离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，歹U如，与

不+(—)2相关的代数问题，可以转化为点(x,y)与点(a,6)之间的距离的几何问题―

已知点必)在直线4：y=x+2,点在直线4：V=x上,且结合上

述观点，也；+(m-4)2+k-5)2+%2的最小值为()

A.Z^lB.11后C.历一夜D.5

22

二、多选题

9.2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心尸为一个

焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点，(离月球表面最近的点)距离月球表面〃,千米，远月

试卷第31页，共33页

点2（离月球表面最远的点）距离月球表面〃千米，N8为椭圆的长轴，月球的半径为尺千米.

设该椭圆的长轴长，焦距分别为2.，2c，则下列结论正确的有（）

10.瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系xQy中，点尸（xj）

到两个定点/（_0,0）,8（%0）的距离之积等于/（口＞0）的点尸的轨迹称为双纽线，则当°=1

时，下列结论正确是（）

A.点Q,0）在双纽线上

B.点,的轨迹方程为1+g2=212-/）

C.双纽线关于坐标轴对称

D.满足归/|=归邳的点尸有1个

11.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（3+〃z）x+4y-3+3m=0（meR）怛过定点（T-3）

B.圆/+/=4上有且仅有3个点到直线/：彳_?+&=0的距离都等于1

C.圆G：«+/+2工=0与圆C?：/+/一4工一8夕+%=0恰有三条公切线，则加=4

D.已知圆C：/+必=4，点A为直线x+y-4=0上一动点，过点尸向圆C引两条切

试卷第41页，共33页

线尸/、PB,A、B为切点,则直线4g经过定点(1,1)

三、填空题

12.两平行直线4：°x+3y+1=0，4：x+(a-2)y+a=0的距禺为----

13.过双曲线二_仁=1的左焦点片引圆/+r=16的切线，切点为,，延长£7交双曲

1625

线右支于尸点.设M为线段£尸的中点，0为坐标原点，贝1------

14.已知椭圆W+g=i(a>6>0)的左、右焦点分别为片、耳，经过'的直线交椭圆于八，

B,A/88的内切圆的圆心为/，若3而+4忘+5雨=6，则该椭圆的离心率是------

四、解答题

15.已知双曲线c：£一廿=i(a>o,6>o)的实轴长为2血，点R2,n)在双曲线0上.

a2b2

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点尸且斜率为26的直线与双曲线C的另一个交点为0，求|尸0卜

16.已知圆心为C的圆经过点/(1,4),8(3,6)，且圆心C在直线3x-4y=0上.

⑴求圆C的方程：

(2)已知直线/过点Qi)且直线/截圆C所得的弦长为2,求直线/的方程.

17.如图所示，直角梯形/BCD中，/W/8LN8=8C=24D=2，四边形

试卷第51页，共33页

EDCF为矩形，CF=5平面EDCF_L平面4BCD.

(1)求证：〃平面/BE；

(2)求平面/BE与平面瓦喏所成锐二面角的余弦值.

18.已知OC的圆心在直线3x-y-3=0上，点C在V轴右侧且到了轴的距离为1,OC被

直线/：无一y+3=0截得的弦长为2.

(1)求℃的方程；

(2)设点。在OC上运动，且点T满足质=2万，(。为原点)记点T的轨迹为£.

①求曲线户的方程；

②过点”(1,0)的直线与曲线£交于42两点，问在X轴正半轴上是否存在定点N,使得x

轴平分//A®?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

19.己知人、*分别是椭圆口片+2=1的左、右顶点，过点*0,9)且斜率为'的直线/

■4

交椭圆C于M、N两个不同的点(M、N与A、8不重合).

试卷第61页，共33页

⑴求椭圆C的焦距和离心率；

⑵若点3在以线段"N为直径的圆上，求左的值；

⑶若后＞0,设。为坐标原点，直线/M、NN分别交P轴于点S、T,当法:久法且

西=〃丽时，求4+〃的取值范围•

试卷第71页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案DDCCAADDBCBCD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角.

［详解］由直线x+^y_i=o得其斜率为g

3

设直线的倾斜角为"(牝［㈣)，贝5nO=_Yi，

3

所以e=至，所以直线的倾斜角为至，

66

故选：D

2.D

【分析】方程可化为(|x|_l)2+(y_l)2=l，去绝对值分x<-1，两种情况解决即可.

【详解】方程可化为(|%|一1)2+(»-=］,

因为120，

所以xV-l或X”

若XV-1时，则方程为(尤+1)2+(了_1)2=1，是以(一1,1)为圆心，以1为半径的左半圆；

若X21时，则方程为(x_l)2+(.y_l)2=l，是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆；

总之，方程表示的曲线是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆与以为圆心，以1为

半径的左半圆合起来的图形.

故选：D

3.C

答案第11页，共22页

【分析】以0为原点，东西方向为X轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心

到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持

续时间为多长.

【详解】如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，

则/(40,0),3(0,30),圆。方程八丁=252,

吉建4s卡也xy3x+4y-120=0

直线方程：---1---=1,即0n，

4030

设°到''距离为"，则"=^^=24<25,

所以外籍轮船能被海监船检测到，

设监测时间为‘，叫一2位-2411(小时)，

282

外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时.

故选：C.

4.C

【分析】根据线段尸分的中点又在了轴上，推出尸与,尤轴，由此可设夕(3,6),代入椭圆

方程求出/,再根据两点间的距离公式求出|摩|和|尸居|可得解.

【详解】由二+《=1可知/=12,b-=3

123

答案第21页，共22页

所以尸/（—3,0）,尸@0）,

♦.•线段尸分的中点M在y轴上，且原点O为线段月乙的中点,

所以PFJ/MO,所以P%_Lx轴，

可设「（3,加），

把尸（3,刈代入椭圆目+且=1,得病=3.

1234

•.・1叫=,4=逋，m=0=^/3.

4242

故选：C

5.A

【分析】由函.臣=丽•（9+石）=拓,石+瓦i,毋求解即可

【详解】CE=CA+AE^所以

而在=拓伍+码=强0+拓•万=2x2xcos6(F+2xlxcosl20o=l

答案第31页，共22页

故选：A.

6.A

【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得3和c的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可

得3c2=24,由离心率定义可得结果.

22

x,y_,V3(Mb

X=±—dB------a,—

【详解】由ab，得＜2,所以2-2

bb

y=—y=-

22

由题意知/（c，°）,所以市一（+如0_2

22

\7

因为NBFC=90°，所以8/_LCF，所以

a2—c2

+=-c2--a2=0-

442

所以3c2=2/，所以e=£=YS

a3

故选：A.

【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心

率公式，属于基础题.

7.D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.

【详解】取的中点0,连接8,

四边形为菱形，

NDAB=60°'

所以'

答案第41页，共22页

由于平面4BCDJ.平面/5跖，且两平面父线为DOYAB'OOu平面48czT

故oc।平面）断尸，又四边形4R尸尸为正方形，

UU-LADLrADtLr

故以O为坐标原点，为'轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设正方形.RFF的边长为2,

ADn.r

则/(0,-1,0),3(0,1,0),尸(2,7,0),C(0,2,后)，

故式=(0,3,g),砺=(2,-2,0)，

则s（AC,BF）=百篙=2丁；丁V6

COV

故直线/0,F8所成角的余弦值好.

4

故选：D.

8.D

【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点〃（国,必）到点/（0,4）的距离与点

N（%,%）到点8（5,0）的距离和，过点A作/。口，垂足为C,证明HM=|CN|，由

|CN|+|N同21cBi求目标函数最小值，

答案第51页，共22页

【详解】由已知表示点M（X"M）到点/（0,4）的距离,

22

/x2-5）+y2表示点N&,y2）到点B（5,0）的距离，

所以&+（必一G+加2-5、+/2=|^|+|A®|,

过点A作/C，垂足为C,

因为直线4的方程为工-歹+2=0,4（0,4），

所以|/c|=\^=0，

又直线I]:y=x+2与直线4:y=x平行，MN±/1，

所以I跖v|=^=拒，

所以7W///C,pW|=|/c]，

所以四边形NMNC为平行四边形，

所以MM=|ov|，

22

所以&+5-4）2+^x2-5）+y2=|CN|+|N5|,

又|CN|+|A®,|CB|，

当且仅当C,N,2三点共线时等号成立，

所以当点N为线段C8与直线/2的交点时，

答案第61页，共22页

Jx；+M_4丫+加2-5)2+%2取最小值,最小值为仁同,

因为过点4(0,4)与直线4垂直的直线的方程为尸-x+4,

联立[v=_x+4,可得「=1,

[y=x+2[y=3

所以点0的坐标为所以|CM=J(5-1『+(O-3)2,

225

所以&+(必-4)2+^X2-5)+y2的最小值为,

【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题,

进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.

9.BC

【解析】根据图形椭圆长轴长为2”=2&+“，+〃，利用椭圆几何性质及图形再写出

a-c,a+c即可求角军.

【详解】由题意可知2〃=2尺+股+〃

m+n

所以八+R

2

答案第71页，共22页

因为a-c=H+/w'。畋目及分，

故选：BC

10.BCD

【分析】先由双纽线的定义求出其方程，逐一检验各个选项可判断结果.

【详解】由双纽线的定义可得：\PA\■\PB\=/x+af+y2-/x-af+y2=a2,

gp^(x+a)2+/]-^(x-6Z)2+/J=a4,化简得：(x?+打=2/12-力，

则当"=1时，点尸的轨迹方程为，+严2=2(--严，故B正确；

当*=2时代入方程得(4+/丫=2(4-,显然，=°不满足方程，

所以点(2,0)不在双纽线上故A错误；

把x换成_x，＞换成方程不变，所以双纽线关于坐标轴对称，故C正确；

因为/(-凡0),8(d0)，若满足1pH=|尸耳，则点尸在了轴上，

在方程中卜2+打=2(--r)令x=。，解得尸°,

所以满足户H=卢司的点尸为尸(0,0)，故D正确；

故选:BCD.

11.BCD

【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与

答案第81页，共22页

半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切，由圆心距等于半径即可求得值,

即可判断选项C；设出点p坐标，求出以线段尸c为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减

即可得直线^的方程，即可判断选项D,进而可得正确选项.

AD

【详解】直线（3+加）工+4》一3+3加=0（加£区），

所以加（x+3）+3x+4y-3=0（睦R）,所以卜+3=0,解得卜=-3,

[3x+4y-3=01'=3

所以直线（3+加）x+4y-3+3加=0（加£R）恒过定点（一3,3），故A错误;

X2+y2=4（0,0）x-y+41=oIo-O+V2

圆，圆心为到直线的距离为^—

V1+1

所以直线与圆相交，平行于直线/且距离为1的直线分别过圆心以及和圆相切，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，故B正确；

由G：/+/+2工=0可得（x+]『+/=],圆心八=1，

222,

由C?:x+/-4x-87+m=0^^（x-2）+（y-4）=20-m>0

圆心（2,4），々=同二荷，由题意可得两圆相外切，所以|。©|=八+々，

即，42+32=j20-/«+l'解得：加=4，故C正确；

设尸（加,“），所以〃?+〃=4,

因为P/、PB,分别为过点尸所作的圆的两条切线，所以C"，CBLPB

所以点A，8在以0P为直径的圆上，以°尸为直径的圆的方程为

答案第91页，共22页

22

整理可得：x+y-mx-ny=o,与已知圆C%2+、2=4，相减可得mx同yH4.

消去冽可得：（4一〃）x+砂=4，即〃（y-工）+4工一4=0，

由任一x=。解得F=l,所以直线,8经过定点故D正确.

［4x-4=0［y=l

故选：BCD.

12.±/1

3

【分析】由两直线平行求出实数a的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果.

［详解］由于直线《与4平行，则卜①一2）=3,整理得!/一2口一3=0,解得"3

1/w1〕aw±1

所以，直线4的方程为3x+3y+l=0,直线4的方程为％+y+3=0，即3x+3y+9=0,

因此，两直线间的距离为I一1=迪.

A/32+323

故答案为：晅.

3

【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计

算能力，属于基础题.

13.1

【分析】设一是双曲线的右焦点，因为分别为与尸，的中点，运用中位线定理得

到四。|=3小［,结合双曲线的定义得忸目-卢尸1=8,再结合题中的数据得到山刀=5,

答案第101页，共22页

结合双曲线的定义得由2|_户百|=8，可得到的值.

【详解】设尸,是双曲线的右焦点，连接尸尸

■：M,。分别为大尸，片尸的中点

■■\MO\=^PF'\

闺小，3「-|。7「=5

由双曲线定义得，出=8

故眼0|一眼7|=；|即［一限用+|印|=1|尸F［-但P|)+由7|=-4+5=1.

故答案为：L

14,苴_

5

【分析】首先根据题意，利用向量变形得［历+，卮=-;而，如图在'月上取一点M,使

得忸M：M&|=5：3,连接^\1M=--1A,再结合内心的性质得到

2

S“典：邑/牝：$.如=3：4：5,然后在8中，由余弦定理得cos/A4g=|,在△,片月中,

由余弦定理cosABAF2=片=3即可求解.

2a5

【详解】因为3而+疝+5国=6,

答案第111页，共22页

3一5—►1一

所以2"+-@=--IA,

882

如图，在班上取一点跖使得忸叫:阿闾=5:3，

连接“，则而=」万，

2

则点/为AM上靠近点M的三等分点，

所以&班电做电皿=3:4:5,

所以|/闾:忸7讣|/用=3:4:5,设M闾=3x，则忸闾=4x,|4B|=5x，

由椭圆定义可知：X引+出用+以8|=4"即12x=4a，

所以x=q,

3

所以。//2。口4，忸用=ga,|阴=1，@/巳惮。,

故点A与上顶点重合，

△ABF,,,,2522162

出「+同/_因砰a+a--a

在中，由余弦定理得：c°s”=—2四~］一=—2义5.

X铲

在△/月与中，cos一典解得：£=立，

22a25a5

所以椭圆离心率为1•

5

故答案为：昱.

5

答案第121页，共22页

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得见c的值，根据离心率的定义求解离心率e

的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于凡。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

22

15.⑴二上=i

26

20

⑵了

【分析】（1）将点尸（2,几）代入双曲线C方程即可求解；

（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.

【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2/，所以2a=2及，解得：a=也;

又因为点尸⑵迷）在双曲线。上，所以=解得：b=&,

2b2

22

所以双曲线的标准方程为：二一匕=1

26

（2）设尸。的2，%]

答案第131页，共22页

由题可得过点尸且斜率为2新的直线方程为：痛=2向x-2”即y=2向-3⑻

\2/_y7X2-24X+20=0

联立2-不=1,消去可得：

y=2Kx-3A/6

2420

所以+%=—，xix2=~，

所以\PQ\=，1+左2口%+Z)2-4再七=Vl+24^yj-4xy=y

22

16.(l)(x-4)+(y-3)=10

(2)无=1或5%+12了-17=0

【分析】（1）先求线段N8垂直平分线的方程，与直线3x-4y=0联立，得圆心坐标，再

求圆的半径，可得圆c的标准方程.

（2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程.

【详解】（1）3=1=1,48的中点为Q⑸

AB3-1

48的垂直平分线方程为y_5=_lx（x_2），即y=-x+7，

将V=f+7联立可得卜=4,即圆。的圆心坐标为。（4,3）.

[3x-4y=03=3

答案第141页，共22页

圆C的半径为忸q="（3-4）2+（6-3）2=如,

所以圆C的标准方程为（》_对?+（丁-3）2=10-

（2）设圆心C到直线/的距离为“，由弦长公式得2JJ■二7=2A/H7=2,故d=3・

若直线/的斜率不存在，则x=l，此时圆心c（4,3）到直线/的距离为3,符合题意.

若直线/的斜率存在，则设直线/的方程为＞-1=依-左，即弱一了一人+1=0,

所以匕上皿=解得a=Q,则直线’的方程为Qx-y+”=0.

护工121212

故直线/的方程为x=l或5x+12y-17=0.

17.（1）证明见解析；（2）至I.

31

【分析】（1）取Be中点G,连接DG，先证明平面ABCD，然后以。为原点，DA

所在直线为x轴，OG所在直线为＞轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，证明

而垂直平面48E的一个法向量即可；

（2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可.

【详解】⑴取go中点G,连接a；.

答案第151页，共22页

BG=-BC=1

2

•••AD//BC>AD=\

.•.4D〃5G，，四边形/BGD为平行四边形

DGHAB

■：AD1AB

ADVDG

平面EDCF_L平面ABCD

四边形EDCF为矩形EDLDC'平面EDCFC平面ABCD=DC

ED±平面ABCD

如图，以。为原点，Z)/所在直线为x轴，QG所在直线为》轴，所在直线为z轴建立

空间直角坐标系

则/(1,0,0),2(120),£(o,0,@,4一1,2,⑹，

屉=卜1,-2,6),方=(0,2,0)

设平面NBE的一个法向量为］=(x,y,z),

答案第161页，共22页

2y=0

不妨设工二百，y=0，贝Uz=l,

n=

又•.•丽=卜1,2,右）

/.DF-n=~\f3+VJ=0

/.DF_Ln

又；£）月仁平面ABE

DFH平面ABE

（2）砺=卜1,-2,6）,5F=（-2,0,V3）

设平面BEF的一个法向量为=E，%zJ，

_&-2必+J^Z]=0

-2X]+A/^Z]=0

不妨设玉=26，则乂=百，Z[=4，

w=（273,73,4）-

设向量前与「的夹角为。，

贝卜"•〃=|m|-|w|-cos0

八73x2^/3+0x73+1x455同

COS“=/=__/=—7==----------

,函+同+42.'㈣Qof431

答案第171页，共22页

...平面ABE与平面EFB所成二面角的余弦值为也

31

【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解

平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

【分析】(1)由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程;

(2)①利用代点法求出点？的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点

N的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.

【详解】(1)由题意可设圆C的圆心C的坐标为(1,4，；圆C的圆心C在直线

3x-y-3=0上，

，3-6-3=0，解得：6=0，即圆心为0,0)，

，圆心到直线/的距离为〃=2啦，设圆C的半径为乙弦长为20■庐=2万二i，

由已知2介一8=2

所以户=9，所以圆C的标准方程为(x_02+y2=9；

(2)设T(x,y),O(x'力，则由=(x-x'j-y'),而=(-x,-y)，

由"=270得：卜-x'=-2x,所以卜'=3x

[y-y^-2y\y'=^>y

。在圆C上运动，(3x-l『+(3y)2=9,

答案第181页，共22页

整理可得点7的轨迹方程E为：,」；+y=1

当直线48J.X轴时，x轴平分

当直线斜率存在时，设直线N3的方程为^=左（》_1）,

联立m+r=1化简可得（""）'+〔一一2“卜+“T=°

y=左(％—1)

方程（1+左2卜2+1_g一2rJx+/一|=0的判另IJ式

A=1-2左-4(*2+l)^2-1^=y/l2+4>0

设N«,0），4（出必），3（孙%），

-+2k2k2--

x+x=3----=----------------9f

1?21+k2121+k2

若x轴平分/'即，则L+G=°,所以上—+上。=0,

$一t%2-t

又必=左（项一1），%=左（々-11

所以2再%2-（%+1乂石+超）+2/=0'

所以

2Y-+2k2

3

2t+1)+2f=0'

,7TF\+k2

所以《2