四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二年级上册期中考试数学（含答案）

四川省成都市蓉城名校联盟2024-2025学年高二上学期

期中考试

2024—2025学年度上期高中2023级期中考试

数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色

签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦

擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作

答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81

的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45,36,则该校高一年级的女生人数为

A.350B.400C.500D.550

2.2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以

上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自

己目前生活状态满意程度的指标，常用区间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近

10表示满意度越高.现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4,5,

6,7,7,7,8,8,9,9,则下列说法错误的是

A.该组数据的第60百分位数为7.5B.该组数据的极差为5

C.该组数据的平均数为7.5D.该组数据的中位数为7

3.已知尸为空间内任意一点，A,B,C,。四点共面，且任意三点不共线，若

PD=-PA+-PB+xPC,则》=

34

4.2024年进入8月后，成都市持续高温，气象局一般会提前发布高温红色预警信号

（高温红色预警标准为24小时内最高气温将升至40℃以上），在8月22日后的3

天中，每一天最高气温在40℃以上的概率为三.用计算机生成了10组随机数，结果

5

如下：

|298|244|618|624|061|547|257|098|474|561|

若用0,1,2,3表示非高温红色预警，用4,5,6,7,8,9表示高温红色预警，

则8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概率为

117

5.已知/,3是一个随机试验中的两个随机事件，若尸（/）=；,尸（B）=：，P（NU8）=q,

则事件4与事件8的关系为

A.B^AB.互斥但不对立C.互为对立D.相互独立

高中2023级数学试题第1页（共4页）

——.1___

6.如图，在三棱锥尸一/2C中，BD=-BC,G为AD的中点,PG=xPA+yPB+zPC,

3

则(x,y,z)=

A.弓可字)(555)

C.G4D'(??l)

7.在空间直角坐标系中，已知平面£过点A/0a),%),Zo),且以向量〃=(a,6,c)为法向

量，则平面夕的方程为a(x-Xo)+b(y-yo)+c(z-Zo)=O.若平面尸的方程为

2x-2y+3z-4=0,则点M(l,1,2)到平面6的距离为

2后6后

A.V6B.V17

1717

8.如图，在斜三棱柱ABC-48c中，底面48c为正三角形，。为/C的中点,

AB=BB『2,ZABB,=ZCBB[=120°,则异面直线AD与/月所成角的余弦值为

C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，

全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统

C.2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少

D.2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60%

10.一个袋子中有4个白球，〃个黄球，采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，已

知取出的2个球颜色不同的概率为则〃=

7

A.3B.4C.7D.8

高中2023级数学试题第2页(共4页)

11.在棱长为2的正方体中，点尸在底面/8C。内（含边界）运动，M

为棱cq的中点，下列说法正确的是

A.满足G尸〃平面4BR的点P的轨迹长度为2垃

B.若点P在棱上运动，则点尸到直线用”的距离的最小值为拽

5

C.若平面片则点尸是/C上靠近点C的四等分点

D.尸魂+尸”的最小值为旧

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知空间向量a=（1,2,1）,6=（-2,44）,若°_16,则4=____.

13.5月11日是世界防治肥龌日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6〜17岁的

儿童青少年肥胖率接近20%,肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目

前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex,缩写BMD来衡量人体胖瘦程度以

及是否健康.我国成人的BMI数值标准为BMI<18.5为偏瘦；18.5WBMI<24为正

常；24（BMI<28为偏胖；BMI》28为肥胖.某校为了解学生的健康状况，研究人

员从学生的体测数据中，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，样本中有20

名女生，女生的BMI值的平均数为20,方差为8；有30名男生，男生的BMI值的

平均数为25,方差为18.则样本中所有学生的BMI值的方差为.

14.如图，在直三棱柱NBC-481G中，他=2,AB工BC,P,0分别为BC

棱BC,4G上的动点，S.BP=ABC,C~Q=AC~A1,2e（0,l）,设直

线48与直线P。所成角为6,若尸。〃平面4844，则cos。的最小值|/

G

为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

庚子新春，“新冠”肆虐，面对新冠肺炎的发生，某医疗小组提出了一种治疗的新

方案.为测试该方案的治疗效果，此医疗小组选取了患病程度相同的12名病人志愿者，

将他们随机分成两组，每组6人.第一组用新方案治疗，第二组用旧方案治疗.统计病

人的痊愈时间（单位：天）如下表：

新方案治疗36671010

旧方案治疗589111215

记新方案和旧方案治疗病人痊愈时间的平均数分别为三和歹，方差分别为和.

（1）求了，y,S；,Si；

（2）判断新办案的治疗誓典用方案是否有显著提高.

说明：如果瓦-训》2,笑户,则认为新方案的治疗效果较旧方案是有显著提高，

否则不认为有显著提高.’

16.（15分）

2025届是四川省新高考的第一届.根据新高考改革方案，2025年将采用“3+1+2”

的高考模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”

指考生从物理、历史两门学科中首选一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生

从政治、地理、化学、生物学四门学科中再选两门学科，以等级分计入高考成绩.按照

方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为4,B,C,D,

E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

等级ABCDE

人数比例15%35%35%13%2%

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

高中2023级数学试题第3页（共4页）

为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩

进行赋分，已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为100分，现从该市本次高二

调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如

图所示.

（1）求出图中a的值，并用样本估计总体的方法估计该市

本次化学原始成绩3等级中的最低分（含8等级）；

（2）为更充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的

教和学生的学，若采用分层抽样的方法，从原始成绩在［40,50）

和［50,60）内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分

析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行个案分析，求这2人

中恰有1人原始成绩在［40,50）内的概率.

17.（15分）

如图，在四棱锥尸-/2C。中，底面/2CO为正方形，

PAA.^ABCD,=,E为线段尸3的中点.

（1）证明：平面/EC_L平面PBC；

（2）求直线CE与平面所成角的正弦值.

18.（17分）

中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷

们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中

团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，

当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以

3:0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队

在每场比赛中获胜的概率均为d.

5

（1）求中国队以3:0的比分获胜的概率；

（2）求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；

（3）求至多进行四场比赛的概率.

19.（17分）

柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等

式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用.柯西不等式的一般形式为：设％,

K，b?,4,…，£R,则（a；+a；+—/a；）（b；+.+—卜{）》

也①+出打+…+4瓦），当且仅当4=0（，=1，2,…，〃）或存在一个数鼠使得

at=kbt{i=\,2,…，〃）时，等号成立.如图，ABC-AlBlCl

的体积为4,△NBG的面积为2近.

（1）求点C到平面ABC,的距离；

（2）若ZC=CG，平面/2G1•平面4CG4,M,N分别为

AC,jA.B上的动点，且---，----=y•

11=x

AC,A{B

①用％,y来表示线段MN的长度；

②当线段MN的长度最小时，求平面AMN与平面A.MN夹角的余弦值.

高中2023级数学试题第4页（共4页）

2024—2025学年度上期高中2023级期中考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

12345678

BCBBDACD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求;

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011

ADABACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.-113.2014.马旦

3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

bjj/1\―।斤r—rzH-3+6+6+7+10+10c八

解：(I)由已知可得x=---------------------------=7,.........................................2分

6

2222222

Sj=1X((3-7)+(6-7)+(6-7)+(7-7)+(10-7)+(10-7))=6,................................5分

6

同理可得歹=10,Sf=10；.........................................9分

(2)•.■|x-y|=3,=当＜3,.........................................12分

，新方案的治疗效果较旧方案有显著提高.....................13分

16.（15分）

解：（1）由频率分布直方图可得（0.005+0.010+0.020+“+0.025+0.010）xl0=l,

a=0.030,.........................................3分

V原始成绩B等级及以上占比50%,

［80,100］的频率为0.35,［70,80)的频率为0.3,

.•.原始成绩8等级的最低分落在［70,80)内，设为x,

则(80一x)x0.030+0.35=0.5,解得尤=75,

.•.该市本次化学原始成绩8等级中的最低分为75分；....................7分

(2)•.•原始成绩在［40,50)和［50,60)的频率之比为1:2,

.,.在［40,50)内抽取2人，记为q,a2,

在［50,60)内抽取4人，记为4，b2,b3,Z)4,.........................................9分

从中选取2人，则

Q={a1a2,axb{,Q也,a®,a也,a2br,a2b2,a2b3,a2b4,

b'b2,,他,b2b3,b2b4,b3bJ,

〃⑼=15,.........................................11分

记事件Z=“这2人中恰有1人原始成绩在［40,50)内”，

Q

=8,P(A)=—,.........................................14分

.•.这2人中恰有1人原始成绩在［40,50)内的概率为*....................15分

1

17.(15分)

解：⑴建立如图所示的空间直角坐标系N-孙z,设尸"=/2=2,

则尸(0,0,2),5(2,0,0),C(2,2,0),£1(0,2,0),£(1,0,1),2分

.•.益=(1,0,1),AC=(2,2,0),SC=(0,2,0),丽=(-2,0,2),

设平面AEC的法向量为4=(X］，M，zJ,

--♦

…n,•AE=x,+z,=0,

贝！Ji—11，

nx•AC=2玉+2yl=0

令％i=l,则必二一1,zx=-\,

•二n\-(1,-LT)，4分

设平面PBC的法向量为%=(%2，乂0),

则3.g=2%=0',

n2-1SP--2X2+2Z2=0

令々=1，贝！J%=0,z2=1,

分

n2=(1,0,1)，6

多•吗=0,/_L,

/.平面AEC1平面PBC；7分

几何法证明也可；

(2)设平面PAD的法向量为股二(见ac),

m•PB=2a-2c=0,

‘一+'

m-PD=2b-2c=0

令。=1,则Q=1,6=1,

m=(1,1,1),10分

设直线CE与平面PBD所成角为。，

m•CE-2A/2

cos<m•CE>=--------=^=——T==---------,14分

\m\-\CE\V3xV63

.----y/2

sin6=Icos<m•CE>\=,

.・.直线CE与平面PBD所成角的正弦值为注.15分

3

18.（17分）

解:（1）设事件4="中国队以3:0的比分获胜”，

•••中国队在每一场中获胜的概率均为a,

5

64

，尸（/）=

125

.•.中国队以3:0的比分获胜的概率为—;4分

125

（2）设事件8="中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况:

①设事件4“中国队从第二场开始连胜三场”（4:1获胜），

・♦.P⑻”_64

一法’

②设事件与=“中国队在两到四场中胜两场，再胜第五场”（3:2获胜），

414192

.•.尸(层)=3x(?2x-x-=——

555625

•・•凡与坊是互斥事件，

64192512

P（B）=p®U与）=尸（幻+尸（当）=沃+方7=方7

125625625

51?

/.中国队在已输一场的情况下获胜的概率为匕；9分

625

2

（3）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件q、c2,瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为

事件口、D2,至多进行四场比赛为事件c,

64

p(G)=

125

me、、，4、214192

P(C2)=3x(一)x—x-=-----,11分

-555625

1a1

尸(2)=(—>=——,

5125

1411?

尸⑷)=3x(》x—x—二——,13分

555625

G,C2,Dl,D2是互斥事件,

...P(C)=P(ClUC2UD1UD2)

=尸（1）+尸（。2）+尸（2）+尸（。2）

64192112529

—______|________________|______—16分

~125625125625―625

至多进行四场比赛的概率为垩.

17分

625

19.(17分)

解：(1)设点C到平面ABCX的距离为d,

由已知可得：

141

=X2分

^C-ABCt§叱BC-HQ©=§=§*S^ABCi，

d—，

.•.点C到平面/BQ的距离为V2；3分

(2)取NG；的中点D,连接CD,

•••AC=CC],

CD1AC,,

又•••平面ABC,±平面ACC4且交线为AQ,

CD1平面ABC,,

CDVAB,

又,:CC,_L且CC|nCD=C,

AB1平面ACQA,,5分

:AC,u平面ACCXAX,

AB1AC,,

可建立如图所示的空间直角坐标系/-平，

①由(1)可知CD=-s/2,

AC=CC1=2,AC]=2V2,

在RtALBG中,SAABC}=；AC].AB=26，

/.AB=2,

G(2,0,2),4(0,0,2),B(0,2,0),

AM

='(2,0,2)=(2x,0,2x),

/.M(2x,0,2x),7分

3

同理可得N(0,2乂2-2y),

:.\MN\=7(0-2x)2+(2y-0)2+(2-2y-2x)2

—2d.2+y2+&+J/-1)2.“9分

②令z=X2+72+(x+j-1)2

=?/+/+(x+y-1)2)((-l)2+(-1)2+12)

121

》~(-x-y+x+y-1)——»

当且仅当二工=,即时取等号，

♦x+yix=y=’12分

-1-11-3

当线段MV的长度最小时，Af(|,O,|),N(0，K),

设平面AMN的法向量为m=(a,b,c)，

-----22

m•AM=—aH■—c=0,

<33，令。=i,则。=—i,人=—2,

----24

m•AN=—bH■—c=0

[33

iti=(-'1,—2,1),14分

同理可得平面的法向量为〃=(2,1,1),

设平面AMN与A、MN的夹角为0，

1

•・・cosQcosvm…F16分

m\-\n\6I

平面AMN与平面A[MN夹角的余弦值为-.17分

2

4

解析:

Q1

1.解：设女生人数为x,则——x=36,x=400,故选B.

900

2.解：A选项：•.•10x60%=6,因此该组数据的第60百分位数为上艺=7.5,故A正确；

2

B选项：该组数据最大为9,最小为4,因此极差为9-4=5,故B正确；

C选项：该组数据的平均数为4+5+6+7+7+7+8+8+9+9,,故c错误；

10

D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7,故D正确，

故选C.

3.解：由四点共面的推论可知，-+-+x=l,故戈=2，故选B.

3412

4.解：由题意可知，表示8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的随机数有：298,244,

618,624,257,098,561共7个，8月22日后的3天中恰有2天发布高温红色预警信号的概

7

率为一，故选B.

10

21121

5.解：P(AV\B)=-=P(A)+-P(AB)=-+——P(4B)=—,得=—,

32336'

XvP(AB)=-x-=-=P(A)-P(B),故选D.

236

6.解：〈G为AD的中点，.•.同='评+_1而，X-.-BD=-BC,:.PD=-PB+-PC,

22333

:.P'G=-PA+-(=^PB+-PC)=-PA+-PB+-PC,故选A.

2233236

7.解：•.•平面7的方程为2x-2y+3z-4=0,取平面£内一点7(2,0,0),则平面P的法向量为n=(2,-2,3),

又•.•"(1,1,2),.•.丽^(TW),.•.点M到平面/3的距离为」JA;j"=卡=，故选C.

8.解：-：BD=^(BA+BC},AB}=BB}-BA,

:.Bb-AB\=^(BA-BB,+B'C-BB-\BA\2-BC-BA)

=^(2x2x(-1)+2X2X(-1)-22-2X2X1)=-5,

又•••|前|=G，瓦|=2/\，cos<丽，荔;>=-*,.•.异面直线AD与48］所成角的余弦值为3,

66

故选D.

9.解：A选项：根据折线图知，2019〜2023年全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，

35128元，36883元，39218元，逐年递增，故A正确；

B选项：根据折线图知，2020年、2022年增长速度在下降，故B错误；

C选项：根据扇形图知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904元，不是

最少，故C错误；

D选项：2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比：

29.8%+22.7%=52.5%<60%,故D正确，

故选AD.

4〃+〃•44

10.解:;."=3或〃=4；故选AB.

(n+4)(〃+3)7

5

Zj

11.解：A选项：点尸的轨迹为AD,.•.&)=2后，故A正确；G

B选项：建立如图所示的空间直角坐标系Z)-平,

则用(2,2,2),M(0,2,l),设P(2,40)(0<4(2),

.\^P=(0,2-2,-2),瓦必=(-2,0,-1),

.•.点P到BXM的距离为4=J(RA)2-(RA.鸣竺)2

V\B,M\

故B错误；

C选项：设尸(x,y,O),:.PM=(-x,2-y,V),

又可可=(-2,-2,0),B~M=(-2,0,-1),尸M_L平面BRM,

_£

PM-B~Di=2x+2y-4=0,=］故也，。)，

PM-B^M=2x-l=0

，点P是zc上靠近点C的四等分点，故C正确;

D选项：点M关于平面xZ)y的对称点为AT(0,2,-1),

PA}+PM=尸4+PM'24M=V17,

故尸&+PM的最小值为,故D正确,

故选ACD.

12.解：:a±b,a-b=-2+2A+4=0,A=-1.

onan

13.解：设所有学生的BMI值的平均数为7,方差为$2,则彳=—!_x20+…-x25=23,

20+3020+30

2030

S2=---------x(8+(20-23力+------*(18+(25-23)2)=20.

20+3020+30

14.解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系4-孙z,设3C=a,BB、=b,

则.(0,0,0),4(0,2,0),G(a,0,0),4(0,2-B(0,0,6),

A~B=(0,-2,6),C,4=(-a,2,0),BC=B~C,=(a,0,0),B~B=(0,0,b),

XvBP=ABC,C~Q=XC~A1,2e(0,1),

B[P=B~B+BP=B^B+ABC=^a,0,b),即尸(2a,0,6),

B[Q=+CjQ==(a—Aa,2A,0)»即0=(a—2a,22,0),

PQ=(a-2Aa,2A,-b),由题意用已=(a,0,0)是平面4844的一个法向量,

PQ,B、G=(a—22a,22,—6)•(a,0,0)=a〜—22a~=0,A=—

.­.PQ=(0,l,-b),又45=(0,-2,ft),

2

.cosg.\PQ-\B\_b+2W+4「+4

F0H4旬后了诉痴\b4+5b2+4

5+41〃+〉5

卜一1=巫,

{202义,+5

4L。的最小值为逆.

当且仅当62=最，即6=行时等号成立,cos

3

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2024—2025学年度上期高中2023级期中考试

数学多维细目表

能力层次核心素养

内容难度权重

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