条件概率专项练习-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年度高三一轮复习37--条件概率专项练习

一、单选题

1.（2024・河北•模拟预测）若事件A,B发生的概率分别为尸（A）,尸⑻，（P（A）＞O,P（B）＞O）,

则“尸（3⑶=P（3）”是“尸（A|B）=P（A）”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

11o

2.（24-25高三上•浙江•阶段练习）若P（A）=-,P（A|B）=-,P（B|A）=-,则P（A+B）=（）

A2「11-13-3

A.—B.—C.—D.一

515155

3.（24-25高三上•上海•期中）已知事件A与8相互独立，且0＜P（A）P（3）＜1,则下列选项

不一定成立的是（）

A.P（AB）=（1-P（A））P（B）；B.P（AB）=P（A）+P（B）；

C.P（AB）=P0）P（耳;D.P（A|B）P（B|A）=P（AnB）.

4.（24-25高三上•广东湛江•期中）已知某条线路上有A,2两辆相邻班次的BRT（快速公交

13

车），若A准点到站的概率为耳，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为:，在A准点

7

到站的前提下5不准点到站的概率为7,则B准点到站的概率为（）

16

A.—B.-C.—D.-

164168

5.（24-25高三上•安徽•阶段练习）某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入

跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙

不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（）

A.—B.-C.-D.—

135413

6.（24-25高三上•北京•阶段练习）高二某班共有50名学生，其中女生有30名，“三好学生”

人数是全班人数的g,且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会,

则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（）

7.（24-25高三上・甘肃白银•阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对

3

此建筑构件实施打击，该构件有A5两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为历，

B部位损坏的概率为：，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条

2

件下，两个部位都损坏的概率是（）

3「5-17

A.—B.—C.—D.—

13132020

8.（2024.全国.模拟预测）学业成绩是否优秀与日均体育锻炼时长有关.据调查，某校大约

有40%的学生学业成绩优秀，大约有20%的学生日均体育锻炼时长超过1.5h,且其中日均

体育锻炼时长超过L5h的学生学业成绩的优秀率约为50%.现从日均体育锻炼时长不超过

L5h的学生中任意调查一名学生，则他的学业成绩优秀的概率约为（）

A.-B.-C.-D.-

8828

二、多选题

9.（24-25高三上•江苏南通•期中）随机事件A,B满足P（A）=：,尸（8）=:，尸（A忸）=（,则

下列说法正确的是（）

A.事件A与与才8互斥B.事件A与B相互独立

C.P（A+B）=P（B）D.P（B\A）=P（A）

10.（2024高三.全国.专题练习）现有一颗质地均匀的骰子，将其先后拘掷两次，A表示事

件“第一次掷出点数为2”，B表示事件“第二次掷出点数为4”，C表示事件“两次掷出点数之

和是8”，。表示事件“两次掷出点数之差的绝对值为0”，则（）

A.事件B与事件。互斥B.事件A与事件。相互独立

C.P（n|C）＞P（C|D）D.P（B|C）＜P（C|A）

11.（2024・浙江•一模）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲

从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品

在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记4（7=1,2,3）表示第，号箱子有奖品，

约0=2,3）表示主持人打开第/号箱子.则下列说法正确的是（）

A.尸（图4）=；

B.尸（R四）=）

C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大

D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变

三、填空题

12.（2024.全国.模拟预测）已知随机事件A,凡若尸（台⑶],尸曰忸）=,尸⑻=5；则

尸（田=.

13.（24-25高三上•天津西青•期中）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射

击一次命中的概率分别为:，（，；，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少

有一人命中的概率为；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为.

14.（24-25高三上•河北沧州•阶段练习）中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界

文明的伟大贡献,瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，

由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且

甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%.现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次

品，则其来自甲厂的概率为.（结果保留两位小数）

四、解答题

15.（24-25高三上•辽宁•期中）甲乙两人进行〃（"22,〃eN*）场羽毛球比赛，甲每场比赛获

胜的概率为P,乙每场比赛获胜的概率为1-。，记事件A为“"比赛中既有甲获胜也有乙获

胜”，事件8为“〃比赛中甲至多获胜一场”

（1）若p=；,〃=3,求尸（AB）和尸（B|A）；

（2）若P=g,证明：事件A,B独立的充要条件为〃=3.

16.（24-25高三上•广西•期中）某校A、3两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择

3

一家用餐，已知该同学第一天选择A餐厅的概率是若在前一天选择A餐厅的条件下，后

2

一天继续选择A餐厅的概率为彳，而在前一天选择B餐厅的条件下，后一天继续选择B餐厅

的概率为也如此往复.

（1）求该同学第一天和第二天都选择A餐厅的概率;

（2）求该同学第二天选择A餐厅的概率；

（3）记该同学第"天选择A餐厅的概率为P”,求数列｛夕,｝的通项公式.

17.（23-24高二下•江苏南京.阶段练习）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.

一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局就不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，

比赛结束，有6面小红旗者最终获胜.根据以往两人的比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的

概率为0.5,乙胜的概率为0.4.

（1）设第一局比赛后甲的红旗个数为X,求X的分布列和数学期望；

（2）求比赛共进行五局且甲获胜的概率；

（3）若比赛一共进行五局且第一局是乙胜，求此条件下甲最终获胜的概率（结果保留两位有

效数字）.

18.（2024高三・全国・专题练习）甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发

球权通过掷硬币确定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球.由历史数据可知，甲发球甲

31

赢的概率为了，乙发球甲赢的概率为

⑴求第1个球甲赢的概率B；

⑵求第〃个球甲赢的概率P“；

⑶定义第“个球甲赢的期望E”=吵”，求f耳.

i=\

19.（24-25高三上•广东惠州•期中）若数列｛4,｝（1<〃<忆"€河,0江）满足见€｛0,1｝,则称

数列｛%｝为上项0-1数列，由所有七项0-1数列组成集合"…

⑴若｛凡｝是12项0—1数列，当且仅当〃=3p（peN*,pW4）时，4=0,求数列｛（T）"%｝的

所有项的和；

⑵从集合此中任意取出两个数列｛«„｝,｛&„｝，记X=£>-可.

k

①求随机变量X的分布列，并证明：£（x）>|；

②若用某软件产生22）项0T数列，记事件4=，，第一次产生数字1，，，3="第二次产生

数字产,且°〈尸（A）<1，0〈尸⑻<1若尸（砌）（砸），比较P（A⑻与尸（即）的大小

参考答案:

1.C

,,、P（AB）/,、P（AB）

【分析】转化P（用力=才/，P（A|B）=方研根据充分性必要性的定义，以及条件

概率公式，分析即得解.

若所以尸（AB）=尸（A）.P（B）,

【详解】因为尸（1A）=P（B）,所以尸国力=

所以「心黯二

反之由「（A|B）=P（A）能推出尸国A）=尸（3）,

所以“P（B|A）=「⑻”是"P（A|B）=尸（A）”的充分且必要条件.

故选：C

2.D

【分析】利用条件概率公式和并事件概率性质求解即可.

1o17?

【详解】由尸（A）=§,P（B|A）=j,可知，P（AB）=P（A）P（B|A）=-x-=^,

/।\1/、P（AB）22

又尸（砌）=丁所以尸（B）=网砸J=/x3=1,

1223

所以「（4+2）=尸（4）+尸（2）—尸（A2）=g+y—石=M.

故选：D

3.B

【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可.

【详解】因为A与B相互独立，所以A与石、口与3、口与不也相互独立，

A选项，P（AnB）=P（A）P（B）=（l-P（A））F（B）,故A一定成立；

B选项,P（Au3）=P（A）+P（3）-P（AB）,

而尸（AB）=尸（A）尸（3）＞0,所以尸（ADB）HP（A）+P（3）,故B不成立;

c选项,P(AUB)=I-P(AUB)=I-P(AS)-P(AJB)-P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),

故C一定成立;

D选项，尸（4忸）尸（叫力=黯.播=丑黑普=P（AC2）,

故D一定成立.

故选：B.

4.B

【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得B准点到站的概率.

【详解】设事件A为“A准点到站”，事件8为“B准点到站”，

依题意，尸（A）=],尸（A⑻=（瓦4）=记，

/_\P（AB\7/一\7

而P（硒=尤）=而，解得可叫=欣，

ffi3P（A）=P（ABuAB）=P（AB）+P（AB）=1,

则人幽=得，而“的=%）=：,解得

故选：B

5.A

【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一

个出场的方法数，然后由概率公式计算.

【详解「'运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或

甲在中间出场，

方法数为A：+C；C；A；=78,

在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出

场”,

即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为C；A；=18,

1QQ

因此所求概率为P=^l=].

故选：A.

6.D

【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再利用条件概率计

算公式即可得出结论.

【详解】“三好学生”人数是全班人数的g,“三好学生”人数是gx50=10人，男生人数为

20人,

；・“三好学生”中女生占一半，，女，三好学生，，与男“三好学生，，各是5人.

，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，

选上的学生是“三好学生”的概率=』=L

204

故选：D.

7.A

【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公

式代入即可求解.

【详解】解题分析记事件E：第一次打击后就有部位损坏，事件GA,B两个部位都损坏，

则尸（0=1-11-2][1-"，尸（£町=2><!=』，

V'I10大2J2010220

由条件概率公式可得P（川=g

故选：A

8.D

【分析】解法一：先求出日均体育锻炼时长不超过L5h且学业成绩优秀的学生，再结合条

件概率公式求解即可；

解法二：设该校总人数为1000人，分析可得日均体育锻炼时长不超过L5h的学生有800

人，其中学业成绩优秀的有300人，进而结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】解法一：日均体育锻炼时长不超过L5h且学业成绩优秀的学生有

40%-20%x50%=30%.

记“该学生日均体育锻炼时长不超过L5h”为事件A，“该学生学业成绩优秀”为事件B,

则p（4）=l—0.2=0.8,尸（AB）=0.3,

,,、P(AB)0.33

所以P(BA)=--~~—=—=-.

v1'P(A)0.88

解法二：不妨设该校总人数为1000人，则学业成绩优秀的有1000x40%=400（人）,

日均体育锻炼时长超过L5h的有1000x20%=200（人），

且其中学业成绩优秀的有200x50%=100（人），

因此日均体育锻炼时长不超过L5h的学生有1000-200=800（人），

其中学业成绩优秀的有400-100=300（人），

因此，从日均体育锻炼时长不超过L5h的学生中任意调查一名学生，

3

他的学业成绩优秀的概率约为就8-

800

故选：D.

9.ABC

【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可.

【详解】因为A片与一定互斥，所以A对;

P(AB)_P(AB)_1,

P(川8)=p(Ag)=-x-=P(A)P(B),…

P(B)123独立，B对.

3

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=工+工一［=工=1-?=P(分),C对.

23633

P(丽)P(B)-P(AB)/(B)(1-P(A))=P(B)=；MP(A),D错,

P(B\A)=

P(A)-~l-P(A)—-—l-P(A)-

故选：ABC

10.BC

【分析】由互斥事件的定义即可判断A,由相互独立事件的定义即可判断B,结合条件概率

的计算公式代入计算，即可判断CD

【详解】事件B与事件。可以同时发生，即第一次、第二次均掷出4点，

故事件B与事件。不互斥，A错误.

又尸⑷=3尸⑻=＞尸(C)丁，尸3)=卜(如$=尸(A)尸⑷，

从而事件A与事件。相互独立，B正确.

1

1

/1

又n0C36-p(qo)=馅『羊=%p(必c)>p(c⑼成立,c正确.

\--55-

366

则?网C＞尸C|A,D错误.

故选：BC

11.BC

【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可.

【详解】对于A,甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1,即

产(员14)=1,A错误;

对于B,尸（4）=尸（&）=尸（A）=g,P（B3IA）=Pmi4）=1-尸（鸟14）=0,

则尸（员）=尸（A）尸（414）+尸（4）尸（为14）+尸（4）尸（BJ4）=g，+i+o）=g，

11

-y——

因此P⑷4）=3J（A）P⑶A）=一J,B正确；

13

P（B3）P（B3）13

2

对于CD,若继续选择1号箱，获得奖品的概率为:，主持人打开了无奖品的箱子，

若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为：，甲换号后中奖概率增大，C正确，D

错误.

故选：BC

12.-

3

【分析】利用条件概率、独立事件的乘法公式结合事件的关系与运算计算即可.

【详解】由题意可得，P（而）=P（8）P（，忸）=（xg=R,

而P（B）=P[BA+BA）=尸（8A）+尸（函），

1

P(AB)11

又尸（却A）=P⑷”（）一=

尸但A)9一1

5

1

3-

85

9-7-

【分析】根据对立事件结合独立事件概率求法求至少有一人命中的概率，记“三人中恰有两

人命中”为事件“甲命中”为事件N,求P（M）,P（MN）,结合条件概率公式运算求解.

11-11-|8

【详解】记“至少有一人命中”为事件A,所以尸（A）=l-1

29

记“三人中恰有两人命中”为事件M,“甲命中”为事件N,

x1ki二+1LI」12127

贝”（M）=gx一X-=-----,

332323318

1111

P（MN）=Ixlx1-2+1

23323-318

所以尸（N也卜溜=5

7

故答案为：!;y.

14.0.36

【分析】先由古典概率计算抽到各厂产品的概率，再由全概率计算抽到次品的概率，最后由

条件概率计算即可；

【详解】设8表示事件：取得次品.A,表示事件：该产品由第，家工厂生产（，=1,2,3）.第

z・家工厂（z=l,2,3）分别表示甲、乙、丙瓷厂.

尸⑷-一射一二尸（4）-一期一P（AU―则_二

'"300+300+40010*''300+300+40010;…300+300+4005'

尸（对4）=4%,尸4）=3%,尸4）=3%,

332

P（8）=P（A）P（例4）+P（4）P（冽4）+尸⑷尸（川4）=7x4%+历x3%+、x3%=0.033

故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为

3

三义4%

-------«0.36-

0.033

故答案为：0.36.

4?

15.（1）P（AB）=-,P（B|A）=-.

⑵证明见解析

【分析】（1）根据二项分布可求P（AB），根据条件概率的概率公式可求尸（A3）和P（31A）；

（2）当〃=3时，根据独立事件的概率公式可判断事件A,8独立，而当事件A,8独立时,

根据独立事件的概率公式结合数列的单调性可证明〃=3.

【详解】（1）表示“甲乙比赛3场，甲胜一场输两场”，

故P（AB）=C；xgx1|j=：而尸（A）=C；

2

3

(2)若〃=3,贝IJ尸（A）=C；

尸⑷心叫

D1=3

2

而P（AB）=C；xgx故尸（AB）=尸（A）P（B）,

18

所以AB独立,

若A,2独立，则尸（A）=i_2xC：xg]1

2"-1

而P（B）=C：x

而尸（AB）=C；

所以"G[=（"+l）G[{I-41整理得到：热=1一（F，

化简得到：券=1,设4=券，则%芥，

3

故当〃N2时，a〃<〃〃-1,而％=2,%=万,%=1,

n+1

故尹=1有且只有一个正整数解〃=3,

综上，事件A,3独立的充要条件为〃=3.

16.⑴色

25

【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可；

（2）利用条件概率公式计算即得；

（3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.

【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择A餐厅的概率为[x|=卷;

（2）设4表示第1天选择A餐厅,为表示第2天选择A餐厅，则A表示第1天选择选择B餐

厅，

根据题意得尸（4）=1,尸闾尸⑷A）=Q（4囱）=1-；=；,

JJJJ乙乙

所以p（4）=尸⑷尸⑷A）+P闾尸（414）=在1+淑；=4.

JJJN乙J

（3）设4表示第〃天选择A餐厅，则匕=P（A）,P（4）=1-匕，

根据题意得尸（AJ4）=1，尸（AJ4）=1J=：

由全概率公式得，

p（A+J=尸（4）尸（4」A）+P（4）P（4JA）=m匕+万（1一匕）=一而匕+],

即"$匕+1整理得加-尚亮,高，

又6Vm,°，

所以是以2为首项，-士为公比的等比数列，

所以匕

〃1155I10J

5

所以匕=+一.

11

17.（1）分布列见解析，期望为3.1

（2）0.225

（3）0.48

【分析】（1）求出X的可能取值和相应的概率，得到分布列，计算出数学期望;

（2）分两种情况，计算出概率相加得到概率；

（3）设出事件，利用条件概率公式得到答案.

【详解】（1）X的可能取值为2,3,4,

其中尸（X=2）=0.4,P（X=3）=0.1,P（X=4）=0.5,

所以分布列为

X234

P0.40.10.5

数学期望为磁=2x04+3x0.1+4x0.5=3.1

(2)比赛共进行五局且甲获胜，则前4场甲赢2场，平局2场，最后一场甲赢,

或前3场甲赢2场，输1场，第4场和第5场最后一场甲均赢，

故概率为Cjx0.52x0.1x0.5+Cfx0.52x0.4x0.5=0.225,

(3)设比赛一共进行五局且甲最终获胜为事件A,

比赛一共进行五局且第一局是乙胜为事件B,

故尸(AS)=0.4X05=0.025,

事件3包含三种情况，一共进行五局，甲后4局获胜，

第2场，第3场和第4场中乙胜1场，平局2场，第5场乙胜，

第2场或第3场甲胜，剩余3场乙胜，

P(3)=0.4x0.54+C；0.12x0.43+C；0.5x0.44=0.05252,

故比赛一共进行五局且第一局是乙胜，此条件下甲最终获胜的概率为

尸(必需二燃不。48

18.(1)Pi=—

140

4

⑵。“=+-

9

220+99，711

T'729145820

【分析】(1)设第1个球的发球人为甲为事件4,第1个球的发球人为乙为事件综，第1

31

个球甲赢为事件4,由条件概率公式可得P(A|4)="P(4|B0)=M，进而由全概率公式求

解即可；

(2)先利用全概率公式找到P„与Pe的递推关系式,进而得到数列|凡是首项为三，

IyJ360

公比为工的等比数列，结合等比数列的通项公式求出P,.;

(3)结合题意写出E”的表达式，进而利用分组求和法、错位相减法求心

【详解】（1）设第1个球的发球人为甲为事件4,第1个球的发球人为乙为事件稣,

第1个球甲赢为事件A,

由题知，P（4）=尸（综）=/,尸（川人）="尸（A回）=『

由全概率公式知，PI=P（A）=尸（4）尸⑷4）+尸（练）尸（A网）K+；xg=*,

19

.•・第1个球甲赢的概率四=的.

（2）设事件4：第〃个球甲赢，事件纥：第〃个球乙赢，

由题知，当〃22时，尸⑷4T）=1,P⑷纥_J=g,尸（纥_i）=l-P"T，Pi=,,

由全概率公式知，当心2时，PA=P（A）=P（AJ4JP（4T）+P（4I为（与_J

31Z1、111

=4P"T+g（1_P”T）=与P"T+5'

419411

Pl——，

9409360

,数列1p“-4是首项为2,公比为目的等比数列,

IyJ36020

411riiv-1

irnY4

•■-A=l8XUj+9-

：4n

(3)由(2)知，E=np=x।+~9'

nn1

，的前"项和为1，

①一②得,

11丫

+1+1

_12o[I20JJ〃rnY_11_iLxfnY__nxrnY

=18X18120；=而一162I20J18120)'

20

.110220+99n/11Y

-n-7291458X|<2oJ'

易知数列[募，的前n项和为2"(；+D,

..-HO220+99〃.f[丫2〃(〃+l)

R,-7291458Xl2oJ+-9-,