数与式（数字、图形规律题）-2022年中考数学压轴题分类（原卷版）

专题02数与式（数字、图形规律题）

一、单选题

1.（2019•湖南株洲•中考真题）从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作为也）构成一个数组

MK=｛ak,bk｝（其中4=1,2,…,S,且将｛做,砧与他“｝视为同一个数组），若满足：对于任意的M=｛%闻

和Afj=｛q,4｝（iw都有q+b尸叫，贝!|S的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

2.（2019・湖北•中考真题）一列数按某规律排列如下：1121231234…，若第”个数为彳5，则〃=

12132143217

（）

A.50B.60C.62D.71

3.（2005•江苏淮安・中考真题）已知一列数：1,-2,3,-4,5,-6,7,...将这列数排成下列形式：

第1行1

第2行-23

第3行-45-6

第4行7-89-10

第5行11-1213-1415

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于

A.50B.-50C.60D.-60

4.（2020•西藏•中考真题）观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n等于（）

A.18B.19C.20D.21

5.（2020・湖北・中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396,则〃=（）

A.17B.18C.19D.20

6.(2020•甘肃天水•中考真题)观察等式2+22=23-2;2+22+23=24-2:2+22+23+24=25-2:...B

知按一定规律排列的一组数210°,2M,*2,…,*9,22。。，若，。。=5,用含S的式子表示这组数据的和是(

A.2s2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2~1S-2

7.（2019・湖北・中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如:

2+V3(2+73)(2+73)

=7+46，除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无

2-也(2-6)(2+向

理数，如：对于，3+/-，3-石，设龙=+逐一,3-石，易知>53-人，故x>0,由

x2=(7J+V5-73-75)2=3+V5+3-V5-2^/(3+75)(3-75)=2,解得》=也，即

根据以上方法’化简注

,3+_J3=V2+，6-3百-/6+3石后的结果为（)

A.5+3指B.5+V6C.5-V6D.5-376

8.（2020・浙江绍兴•模拟预测）如图，直角三角形纸片N8C中，AB=6,4C=8,D为斜边8C中点，第1

次将纸片折叠，使点/与点。重合，折痕与4D交于点8；设月。的中点为2,第2次将纸片折叠，使点/

与点2重合，折痕与交于点片；设£2的中点为4,第3次将纸片折叠，使点/与点2重合，折痕

与工。交于点月，则的长为（）

A.B.空^C.D.

26X52625X523

9.（2018・山东济南•三模）世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置

上的数是（）

一B-----C-----D-----

90,360•840•504

10.（2020•湖北武汉•模拟预测）直线〉=f+〃分别与％轴，歹轴交于点A,B,在内，横、纵坐标

111

均为整数的点叫做“好点”.分别记〃=1,2,3,…时,”08内的“好点”数为％,。2，〃3,…，贝！］—+—+■••+——二

Q4^"2,0

（）

,19「17人30r36

A.—B.—C.—D.—

991919

11.（2019•重庆市育才中学三模）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律

排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为（）

OO

oOOOOOO

OoOOOOOOOOO

0OOOOOOOOOOOOO…

OOOOOOOOOOOOOO

0O00000O

第1个图第2个图第3个图第4个图

A.46B.52C.56D.60

12.（2020•全国•三模）已知A48C的面积为1,如图1,点。，£分别是边8C,NC的中点，图中阴影部

分的面积为H，如图2,点D,E分别是边8C,4C的三等分点，图中阴影部分的面积为反，如图3,点

D,E分别是边BC,NC的四等分点,图中阴影部分的面积为S3……请用含"（”为正整数）的代数式表

示S”为（）

n2n2nri

A，（.+1）2B・（2.+1）2*（〃+l）2D・Q〃+1）2

3c917

13.（2020・湖北•武汉市洪山中学模拟预测）有一列数：■…它有一定的规律性.若把第一个数记

24816

为第二个数记为a?,...............第n个数记为an，则％+出+/+…+。2020的值是（）

A.2020B.2021-^^c-2020-D.2021-^p

14.（2020・山东莒县•模拟预测）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（小心）表示第〃排，从

左到右第加个数，如（4,3）表示8,已知1+2+3+...+〃=则表示2020的有序数对是（）.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987第四排

A.(64,4)B.(65,4)C.(64,61)D.(65,61)

15.2020•湖南资兴・一模）下图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以。为起点结六条线04OB,OC,OD,

OEQF后,再从线04上某点开始按逆时针方向依次在ON,OB,OC,OD,OE,OF,OA,…上结

网，若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、…，那么第2020个结点在（）

A.线。1上B.线OD上C.线。K上D.线。尸上

16.（2021・浙江•一模）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅

图形中“•，，的个数为4,第2幅图形中“•”的个数为电，第3幅图形中“•”的个数为生，…，以此类推，贝I

1111

1+1+丁+…+『的值为t（）

2061「589431

A.B.C.-----

2184840760

二、填空题

17.（2021・湖北恩施•中考真题）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五

边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；

■•■•♦■・

••・•••••••••••••

图形・••••••••••••••

•••••••••••••••・・・

五边形数1512223551

将五边形数1,5,12,22,35,51,排成如下数表；1第一行

512第二行

223551第三行

观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为.

18.（2020•黑龙江大庆•中考真题）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律

摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为.

19.（2019・湖北恩施•中考真题）观察下列一组数的排列规律:

112121123412145

3,5?5?9,9,3，n?U?17?17J33?33，iT?33,33

那么，这一组数的第2019个数是.

20.（2011•四川南充・中考真题）长为1,宽为a的矩形纸片如图那样折一下，剪下一个边长

等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形

宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作

终止.当n=3时，a的值为

第一次操作第二次操作

21.（2018•湖南娄底•中考真题）设%,%,4KK是一列正整数，其中外表示第一个数，出表示第二个数，依

此类推，%表示第"个数（，是正整数），已知q=1,4%=（%「1户（%-1孔贝1］。刈8=.

22.（2015・湖南郴州•中考真题）请观察下列等式的规律：

1X3233X5235

八」，，—，

5X72577X9279

则一--+―-—+―-—++--------

1X33X55X7…99X101

23.2020•辽宁本溪•一模）如图，直线y=x+2与J轴相交于点4,过点4作x轴的平行线交直线＞=gx+l

于点片，过点Bx作歹轴的平行线交直线y=x+2于点&,再过点4作x轴的平行线交直线＞=gx+1于点

B2,过点鸟及作7轴的平行线交直线y=x+2于点4,…，依此类推，得到直线y=x+2上的点4，4,

4，…，与直线y=*x+l上的点名，B2,四，…，则4-4,的长为.

24.（2020•辽宁立山•模拟预测）如图，等腰4ABC中,ZB=9O°AB=4,以A为圆心，直角边AB为半径作

弧，交AC于Ci，作。41AB于B],设弧BCi、CiB^B|B围成的面积为Si.然后再以A为圆心AB1为

半径作弧，交AC于C2，作Cz与lAB于Bi，设弧C2B2,与片围成的面积为S?,按此规律，得到的阴

影面积y=.

25.Q021•山东滨州一模）已知k为正整数，无论k取何值，直线4：＞=丘+%+1与直线4：y=/+l）x+%+2

都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线4和4与x轴围成的三角形面积为S*,则'=,

S[+邑+$3+…+Hoo的值为.

26.（2020•四川青白江•三模）如图，等腰RtMBC中，乙4c5=90。，AC=BC=1,且/C边在直线a上，

^AABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点Pi，此时AP尸41;将位置①的三角形绕点巳顺时针旋转

到位置②，可得到点尸2,此时/巳=1+行；将位置②的三角形绕点尸2顺时针旋转到位置③，可得到点

B，此时/巳=2+收；....按此规律继续旋转，直至得到点尸2020为止，则在2020=.

27.（2017•河北•模拟预测）观察下列等式:

第1个等式:

第2个等式:

第3个等式:5看"日

第4个等式:a『册=#-2,

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第n个等式：an=.

（2）a!+a2+a3+...+an=

28.（2019・四川岳池•中考模拟）将数1个1,2个;，3个（，…，n个!（n为正整数）顺次排成一列：1、

23n

LLLL1.一、一…，I己％=I,。？==大，…，S]=,*S*2=4+出，*S*3=%+。2+•…，

《、3、3、§、3nn22

S〃=%+&+…,则S2019=

、解答题

29.（2021•山东青岛•中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形.）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论.

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1,第三边长也是1.按照（最长边长，最

短边长，第三边长）的形式记为（LU）,有1个，所以总共有1x1=1个整数边三角形.

表①

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

11(1,1,1)11个11x1

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当

最短边长为1时，第三边长只能是2,记为（2,1,2）,有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2,记

为（2,2,2）,有1个，所以总共有1+I=lx2=2个整数边三角形.

表②

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（2,1,2）1

22个11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:

表③

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（3,1,3）1

32个22x2

2（3,2,2）,（3,2,3）2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况:

表④

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

41（4,1,4）13个22x3

2（4,2,3）,（4,2,4）2

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:

表⑤

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

3

5————

4（5,4,4）（5,4,5）2

5（5,5,5）1

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有个.

（2）在整数边三角形中，设最长边长为"，总结上述探究过程，当〃为奇数或〃为偶数时，整数边三角形

个数的规律一样吗？请写出最长边长为"的整数边三角形的个数.

（3）最长边长为128的整数边三角形有个.

拓展延伸:

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个.

30.(2020•山东青岛・中考真题)实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动.方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分

别为1元、2元、3元....100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张

奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共

有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1,2,3,«(〃为整数，且"23)这"个整数中任取个整数，这。个整数之和共有多少

种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法.

探究一：

(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的2个整数1,21,3,2,3

2个整数之和345

如表①，所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中最小是3,最大是5,所

以共有3种不同的结果.

(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表②

所取的2个整数1,21,3,1,42,32,43,4

2个整数之和345567

如表②，所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数，其中最小是3,最大是

7,所以共有5种不同的结果.

(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.

（4）从1,2,3,…，"（”为整数，且〃23）这"个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有

种不同的结果.

探究二：

（1）从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.

（2）从1,2,3,…，"（"为整数，且〃》4）这"个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有

种不同的结果.

探究三：

从1,2,3,”（〃为整数，且"25）这〃个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同

的结果.

归纳结论：

从1,2,3,…，«（"为整数，且力23）这〃个整数中任取个整数，这。个整数之和共有

种不同的结果.

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元....100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有

种不同的优惠金额.

拓展延伸：

（1）从1,2,3,36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结

果？（写出解答过程）

（2）从3,4,5,…，«+3（”为整数，且"22）这（"+1）个整数中任取+个整数，这。个整

数之和共有种不同的结果.

31.（2017•安徽•中考真题）【阅读理解】

我们知道，酶感布餐带酝唾置B那么那喟螯图翳喟”需逑结果等于多少呢？

在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1,即】一；第2行两个圆圈中数的和为一,」，即

2-;……；第〃行K个圆圈中数的和为幽即，」.这样，该三角形数阵中共有空止个圆圈,

所有圆圈中数的和为瘠嚼霄哪雪钵三融,

【规律探究】

将桑拿教学数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数

(如第,：1行的第一个圆圈中的数分别为，，1,2,，；),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为_________.

由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：尊卜&鬻嘘劈修蝙，口.因此，

【解决问题】

1,一?—+…+!iii-

根据以上发现，计算.■'的结果为.

32.(2016・云南・中考真题)有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是忐；

第二个数是忐

第三个数是由

对任何正整数n,第n个数与第(n+1)个数的和等于2

nX(n+2)

(1)经过探究，我们发现:1L_1

1X2~122X3-233X「34

设这列数的第5个数为a,那么a>^-gaM-g，哪个正确？

565656

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并

（n+1）个数的和等于-「一”；

且证明你的猜想满足“第n个数与第

（）

nXn+2

(3)设M表示‘5","v，1

-2,这2016个数的和，即+1_

I22232201620162,

求证:2016<¥^4031

20172016'

33.（2021・安徽包河•三模）观察以下等式：第1个等式：42+32=52；第2个等式82+152=172；第3个等式:

122+352=372；第4个等式：162+632=652；……；按照以上规律,解决下列问题:

U）写出第5个等式：；

（2）写出你猜想的第〃个等式：（用含〃的等式表示），并证明.

34.（2021•山东•青岛市崂山区教育教学研究室一模）问题提出：在平面上，给出“个圆把平面至多分割成

多少个区域？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题