考研笔记 《计量经济学》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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，(2)计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经(3)计量经济学模型研究的经济关系的两个基本特征是随机关系和因果关系。3.为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位?当代计量经济学发展的基本特征答：(1)计量经济学自20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，使其②从1969～2003年诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位是与研究和应用计量经济学有(2)从当代计量经济学的发展方向来看，表现出以下基本特征：4.建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些?(1)设计理论模型，包括选择变量、确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；(2)收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性；(3)估计模型参数；(4)检验模型，包括经济意义的检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。5.计量经济学模型主要有哪些应用领域?各自的原理是什么?(1)结构分析，即研究一个或几个经济变量发生变化及结构参数的变动对其他变量以至整(2)经济预测，即用其进行中短期经济的因果预测。其原理是模拟历史，从已经发生的经(3)政策评价，即利用计量经济模型定量分析政策变量变化对经济系统运行的影响，是对(4)检验与发展经济理论，即利用实际的统计资料和计量经济学模型实证分析某个理论假6.模型的检验包括几个方面?其具体含义是什么?(1)经济意义检验，主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性，其主要方法是将模(2)统计检验，目的在于检验模型的统计学性质，应用最广泛的统计检验准则有拟合优度(3)计量经济学检验，目的在于检验模型的计量经济学性质，最主要的检验准则有随机干(4)模型预测检验，主要检验模型参数估计7.下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型?为什么?(1)S=112.0+0.12R,其中S:为第1年农村居民储蓄增加额(单位：亿元),R为第t年城镇居民可支配收入总额(单位：亿元)。(2)S=4432.0+0.30R,其中S-1为第t-1年底农村居民储蓄余额(单位：亿元),R为第1年农村居民纯收入总额(单位：亿元)。答：(1)不属于揭示因果关系的计量经济而R表示的是城镇居民的可支配收入总额，农村居民的储蓄增加额与城镇居民的可支配收(2)不属于揭示因果关系的计量经济学模型。第1年的农村居民纯收入对当年及以后年份量R对被解释变量S-1之间不存在因果关系，解释变量对被解释变量没有解释能力。8.指出下列假想模型中的错误，并说明理由：RS,=8300.0-0.24-RI,+1亿元)(城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和),为第1年全社会固定资产投资总额(单位：亿元)。(1)居民收入总额RI的系数符号与经济理论和实际情况不符，该符号应该取正号；(2)在解释变量的选取上，全社会固定资产投资总额V对社会消费品零售总额RS没有直接影响，因此，不宜作为RS的解释变量。1.在计量经济模型中，入选的每一个解释变量之间都是()。A.函数关系B.非线性相关关系C.简单相关关系D.独立的【答案】D查看答案2.下列关于截面数据的说法错误的是()。A.截面数据是一批发生在同一时间截面上的调查数据B.截面数据要求样本与母体一致C.用截面数据作样本，容易使模型随机干扰项产生异方差D.用截面数据作样本，可以与母体不一致【答案】D查看答案3.()也称为二进制数据，在计量经济学模型中来表征政策、条件等因素。A.截面数据B.时间序列数据C.虚变量数据D.混和(平行)数据【解析】虚变量数据只取0或1。4.在生产函数模型中，资本用当年价格计算固定资本原值，这是违反了数据的()原B.准确性C.可比性D.完整性5.对模型中参数估计量的符号、大小、相互之间的关系进行检验，属于()。A.经济意义检验B.计量经济学检验C.统计检验D.稳定性检验【答案】A查看答案6.变量的变化率之比称为()。A.乘数【解析】弹性是变量的变化率之比；乘数是变量1.计量经济学是一门应用数学学科。()2.理论模型的设计主要包括选择变量、确定变量之间的数学关系、拟定模型中待估计参数的数值范围。()3.拟定理论模型中待估参数的理论期望值，关键在于确定模型的数学形式。()【解析】拟定理论模型中待估参数的理论期望值，关键在于理解待估参数的经济含4.人口普查数据属于时间序列数据。()6.乘数是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量。()7.最优控制属于计量经济学模型用于经济预测的方法。()三、简答题计量经济学中常用的样本数据有哪几种?请分别举例说明。(1)时间序列数据是一批按照时间先后排列的统计数据，例如20年全国的GDP、各年的(2)截面数据是一批发生在同一时间截面上的调查数据，例如2000年人口普查数据、2008(3)虚变量数据也成为二进制数据，一般取0或1,例如性别、身高是否大于165厘米等。下列设定的计量经济模型是否合理?并说明理由。答：(1)该模型不合理。因为作为解释变量的工业、建筑业的增加值均是第二产业增加值Y的构成部分，且工业、建筑业的增加值之和等于第二产业增加值，即Y=X₁+X₂,(2)该模型合理。在模型中，解释变量X1与₂与被解释变量Y之间存在因果关系，对Y(3)该模型不合理。因为一般来说人均可支配收入影响人均消费性支出，而非相反，两者第2章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型2.1复习笔记一、回归分析概述单方程计量经济学模型是相对于联立方程计量经济学模型而言的，它以单一经济现象为研究对象，模型中只包括一个方程，是应用最为普遍的计量经济学模型。1.回归分析基本概念(1)变量间的相互关系经济变量间的关系可分为两类：一类是确定的函数关系；另一类是不确定的统计相关关系。变量间的函数关系与相关关系并不是绝对的，在一定条件下两者可相互转化。(2)相关分析与回归分析①相关分析：主要研究随机变量间的相关形式及相关程度。从变量间相关的表现形式看，有线性相关(往往表现为变量的散点图接近于一条直线)与非线性相关之分。两个变量X和Y的总体相关系数为：其中，Cov(X,Y)是变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别是变量X和Y的方差。若给出X与Y的一组样本(X.Y),i=1,2,…n,则样本相关系数为：多个变量间的线性相关程度，可用复相关系数与偏相关系数来度量。②回归分析：是研究一个变量关于另一个(些)变量的依赖关系的计算方法和理论。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和(或)预测前者的(总体)均值。前一个变量称为被解释变量(或因变量),后一个变量称为解释变量(或自变量)。回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：第一，根据样本观察值对计量经济学模型参数进行估计，求得回归方程；第二，对回归方程、参数估计值进行显著性检验；第三，利用回归方程进行分析、评价及预测。③相关分析与回归分析的联系和区别联系：两者都是研究非确定性变量间的统计依赖关系，并能测度线性依赖程度的大小。区别：第一，相关分析中变量的地位在相关分析中是对称的，而且都是随机变量；回归分析中变量的地位是不对称的，有解释变量与被解释变量之分，而且解释变量也往往被假设为非2.总体回归函数总体回归(曲)线：在给定解释变量X条件下被解释变量的期望轨迹。总体回归函数：圆到像到,表明被解释变量Y的平均状态(总体条件期望)随解释3.随机干扰项离差(又称随机干扰项或随机误差项):满=感一臣,它是一个不可观测的随机变量。总体回归函数的随机设定形式(总体回归模型):线性假设下)。它表明被解释变量Y除了受解释变量X的系统性影响外，还受其他未包括(1)代表未知的影响因素；(2)代表残缺数据；(3)代表众多细小影响因素；(4)代表数据观测误差；(5)代表模型设定误差；(6)变量的内在随机性。4.样本回归函数体，可用该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回样本回归函数的随机形式(样本回归模型):其中，称为(样本)残差(或剩余)项，代表了其他影响Y的随机因素的集合，可看成是H的估计量A。估计图2-1绘出了总体回归线与样本回归线的基本关系。图2-1总体回归线与样本回归线的基本关系二、一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是：在有N个样本观测点{(X,Y):i-1,2,,nm}的情况下，也可以写成如下形式：1.对模型设定的假设假设1:回归模型是正确设定的。模型的正确设定主要包括两方面的内容：(1)模型选择了正确的变量，指在设定总体回归函数时既没有遗漏重要的相关变量，也没有多选无关的变量；(2)模型选择了正确的函数形式，指当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，所设定的总体回归方程恰为该函数形式。当假设1被满足时称模型没有设定误差。2.对解释变量的假设假设2:解释变量X是确定性变量，不是随机变量，在重复抽样中取固定值。假设3:解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一个非零的有限常数，即：样本方差的极限为非零的有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，这类数据不仅使大样本统计推断无效，往往还产生伪回归问题。3.对随机干扰项的假设假设4:随机误差项具有给定X条件下的零均值、同方差以及不序列相关性，即：A==随机误差项“的条件零均值假设意味着“的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数0,随机误差项“的条件不序列相关表明在给定解释变量任意两个不同的值时，对应的随机误注意：(1)根据期望迭代法则，当随机误差项丛的条件零均值假设成立时，一定有如下非(2)根据期望迭代法则，当随机误差项“的条件同方差假设成立时，一定有如下非条件同(3)在随机误差项零均值假设下，同方差还可写成如下的表达式：Var(A|X)=E(A²|x)-[E(A|x)²=E(M²(4)在随机误差项零均值假设下，不序列相关式可等价地表示为：Cov(A₂A,Ix,Y)=E[(AIX)假设5:随机误差项与解释变量之间不相关，即：a当随机误差项“的条件零均值假设成立时，该假设一定成立，因为从“的条件零均值假设式E(A|X)=0中可以得出严的非条件零均值特性式E(A)=0,从而有：因此，假设5并非是必需的。假设6:随机误差项服从零均值、同方差的正态分布，即：假设6是通过样本回归函数推断总体回归函数的需要提出的，在小样本下该假设十分重要。在大样本的情况下正态性假设可以放松。以上假设称为线性回归模型的经典假设，前四个假设专门称为高斯-马尔可夫假设。在经典假设下，线性回归模型被解释变量Y有如下条件分布特征：三、一元线性回归模型的参数估计1.参数的普通最小二乘估计(OLS)(1)最小二乘法的判断标准,,要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。最小二乘法给出的判断标准是：样本回归线上的点与真实观测点之差的平方和最小。(2)最小二乘法的原理文样本回归线上的点台与真实观测点与之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。(3)估计方法及结果根据微积分学的运算，当Q对房，的一阶偏导数为0时，达到最小，由此可推得用于估计房、房的下列方程组：记(正规方程组)则参数估计量可以写成：称为0LS估计量的离差形式。D=Ax(样本回归函数的离差形式)其中，用到了正规方程组中的方程(4)估计量和估计值的区别当参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”,或者“点估计”,是参数估计量的一个具体数值；如果仅仅把参数估计结果看成的一个表达式，那么,参数估计式则是的函数，而是随机变量，所以也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。2.参数估计的最大似然法(ML)最大似然法：通过似然函数极大化以求得总体参数估计量的方法。两种参数估计的不同原理：(1)最小二乘法，当从模型总体随机抽取舞组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；(2)最大似然法，当从模型总体随机抽取组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大似然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。3.参数估计的矩法(MM)矩估计的基本原理：用相应的样本矩来估计总体估计。矩估计的解与普通最小二乘法和极大似然法的结果相同。4.最小二乘估计量的性质考察参数估计量优劣性的主要准则：(1)线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；(2)无偏性，即它的均值或期望是否等于总体的真实值；(3)有效性(最小方差性),即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差；(4)渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，它的均值序列趋于总体真值；(5)一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；(6)渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方前三个准则也称作估计量的小样本性质，拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量(BLUE)。后三个准则称为估计量的大样本或渐近性质。高斯-马尔可夫定理：在经典线性回归的假定下，普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性和最小方差性等优良性质，是最佳线性无偏估计量。5.参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计(1)参数估计量房和房的概率分布由于普通最小二乘估计量房和房分别是的线性组合，因此房和肩也服从正态分布，即：于是，房和房的标准差分别为：(2)随机干扰项H的方差O²的估计σ²的最小二乘估计量为(无偏估计量);σ²的最大似然估计量和样本距条件为,不具有无偏性，但具有一致性。参数房和房的方差和标准差的估计量分别是：A的样本方差：A的样本标准差：房的样本方差：房的样本标准差：四、一元线性回归模型的统计检验1.拟合优度检验拟合优度检验：是检验模型对样本观测值的拟合程度。检验的方法：构造一个可以表征拟合程度的指标(称为统计量),它是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。(1)总离差平方和的分解已知由一组样本观测值(XY)(i-1,2,,n)得到样本回归直线：Y的第个观测值与样本均值的离差=Y-Y可分解为两部分之和：其中，j=Y-Y是样本回归线理论值(回归拟合值)与观测值的平均值之差，可认为是由回归线解释的部分；e,=Y-Y是实际观测值与回归拟合值之差，是回归线不能解释的部分。图2-2是离差分解示意图。图2-2离差分解示意图对于所有样本点，考虑这些点与样本均值离差的平方和，可得或称为回归平方和，反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小；称为残差平方和，反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。(2)可决系数R²统计量用可决系数检验模型的拟合优度。在总离差平方和中，回归平方和所占观测值完全拟合，则有R²=1。因此统计量越接近于1,模型的拟合优度越高。可决系数的取值范围为0≤R²≤1,它是一个非负的统计量。2.变量的显著性检验(1)假设检验假设检验的程序：先根据实际问题的要求提出一个论断(统计假设),记为H;然后根据样本的有关信息，对Ho的真伪进行判断，作出拒绝Ho或接受Ho的决策。(2)变量的显著性检验【注】自由度：构成样本统计量的独立的样本观测值的数目或自由变动的样本观测值的数目，它构成了对残差的两个限制条件，因此在一元线性回归模型中，凡包含残差的统计量，其自由度都会减少2个。在变量显著性检验中的原假设与备择假设分别为：给定一个显著性水平α,查1分布表，得到一个临界值(n-2)如果发生,则在1-α的置信度下拒绝原假设Ho,即变量X是显著的，通过变量显著性检验；如果未发,则在1-α置信度下不拒绝原假设Ho,即变量X是不显著的，未通过变量显著性检验。对于一元线性回归方程中的A,可构造如下1统计量进行显著性检验：同样地，该统计量服从自由度为n-2的t分布，检验的原假设一般仍为Fo=0。3.参数的置信区间要判断估计的参数值房离真实的参数值屋有多“近”(i=0.1),可预先选择一个概率,并求一个正数δ,使得随机区间s包含参数A的真值的概率为1-α,如果存在这样一个区间，称之为置信区间；1-α称为置信系数(置信度),α称为显著性水平；置信区间的端点称为置信限或临界值。如果给定置信度1-α,那么t值处的概率是1-α,表示为：缩小置信区间的方法：第一，增大样本容量n;第二，提高模型的拟合优度。五、一元线性回归分析的应用：预测问题Y=R+AX+μ.E(X%)=R+AX故可用%作为=与的预测值。,,E(X%)-R+AX。对于Y的总体均值E(%)与个别值的预测区间(置信区间),有：①样本容量n越大，预2.下列计量经济学方程哪些是正确的?哪些是错误的?为什么?其中带“^”者表示“估计值”。(3)样本回归模型的随机形式：Y=&其中残差可以表示为A。除了这四个式子外，其他表示均是错误的。因此，(1)(3)(4)3.一元线性回归模型的基本假设主要有哪些?违背基本假设的计量经济学模型是否就不可答：(1)线性回归模型的基本假设(实际是针对普通最小二乘法的基本假设)有两大类：(2)在违背基本假设的情况下，普通最小二乘估计量就不再是最佳线性无偏估计量，因此4.线性回归模型的零均值假设是否可以表示为?为什么?的每个观测值都增加2,又会怎样?解：(1)设X为原变量X的单位扩大10倍后的变量，则有,所以：(2)设X⁴=X+2,则Y=Ro+AX=Po+A(x°-2)=(Po-2AX)+AX,,因此，当解释变量,,Y,Ze=x:-(o+ax")=x-[(R-6A)+7.假设有人做了如下的回归：A∑e=0,百=0(4)残差项与估计的Y不相关：证明：(1)由于Y=R+AX,所以：(2)由一元回归模型OLS估计正规方程组中的第一个正规方程：(3)由一元回归模型OLS估计正规方程组中的第二个正规方程：(4)由(2)(3)的结论可得：10.证明：一元线性回归总离差平方和分解式中：由第9题(1)得到：由第9题(2)和(4)得到11.下面数据是依据10对X和Y的观察值得到的：(2)可决系数R²;解：(1)根据题意得n=10,则：P=F-RX=111-0.5344×168又(2)由(1)(2)中计算知：Y=111,Z==1,所以：(3)在5%的显著性水平下，自由度为10-2=8的临界值为=2,故A和A的95%Yy东西海东内蒙古南重以四川贵南四藏陕甘青产433晒新要求通过手工和运用Eviews软件(或其他软件):解：(1)首先作Y关于GDP的散点图。在Eviews软件中，选择Quick/Graph(图2-3),出现SeriesList对话框(图2-4)。h图2-3图2-5在Graph窗口的GraphType栏中选择ScatterDiagram,点击OK按钮，即出现如图2-6所示的散点图。>图2-6其次，表2-2给出了以手工方式计算参数估计值的相关数据。表2-2y江徽進西东南北浙安福江山河湖江徽進西东南北浙安福江山河湖湖南川南宁夏 294.54768.6629.01614.2 142.16188.7-242.4 577.8 4087282.91557316.3 1005912.7 2964288.94684116.1西陕Fo=Y-AX=621.0-0.071×8891.1=-Fo=Y-AX=621.0-0.071×8891.1=-Equation(图2-7),出现EquationSpecification对话框(图2-8)。Graph..图2-7andFOLem.0Rnoxpktoquativmsbeloowedbyhtdmgeitonncudn0图2-8在编辑对话框中输入“YCGDP”,点击0K按钮，得到如下估计结果(图2-9)。Eauation:gUNTITLEDTorkfi1Eauation:gUNTITLEDTorkfi1880充图2-9由此可知，税收Y随GDP变化的一元线性回归方程为斜率的经济意义是：2007年，中国内地各省区GDP每增加1亿元时，税收平均增加0.071(2)在5%的显著性水平下，自由度为31-2=29的t分布的临界值为2.045。因此，从参数的1检验值看，斜率项显著不为零，但不拒绝截距项为零的假设。另外，拟合优度晨=07689表明，税收的76%的变化可以由GDP的变化来解释，因此拟合情况较好。(3)根据回归的模型，当2008年中国某省区GDP为8500亿元时，预测的税收为为了建立预测的置信区间，需要先求出解释变量GDP的均值与离差平方和。表2-2给出了GDP的均值与离差平方和：又在图2-9中已知RSS-2760310,从而随机干扰项的估计的方差为²=RSS/(n-2)=2760310/29=95在5%的显著性水平下，自由度为31-2=29的临界值为2.045。于是在95%的置信度下，预测省区的2008年的税收收入均值的置信区间为593.24±2.045x57.71=5同样地，易知95%的置信度下预测的2008年某省区税收入个值的置信区间为2.3考研真题与典型题详解1.一个参数估计量的大样本性质，并不需要满足()。[北京航空航天大学2009研]A.渐近无偏性B.一致性C.线性性D.渐近有效性【答案】C查看答案2.关于两个变量X和Y相关系数的计算，错误的是()。【解析】3.下列属于线性总体回归函数的是()。B.E(Y|X)=R+AX4.设样本回归模型为Y=R+RX+e,用最大似然法确定A,则正确的是()。记那么5.下列样本模型中，哪一个模型的参数估计值违背了经济理论与实际意义?()产总值)【解析】B项，当收入一定时，如果商品价格上涨一个单位，那么商品需求量上涨0.9个单A.是F分布B.利是t分布D.房和房是正态分布【解析】由于普通最小二乘估计量A和A分别是的线性组合，因此A和A的概率分布取7.在一元线性回归模型中，应用最大似然法估计的随机干扰项A的方差o²具有()。A.无偏性B.有效性C.线性性D.一致性【解析】最大似然估计不具有无偏性，(最小二乘估计量的无偏估计)。O也不能表示为另一随机变量的线性函数，有效性是针对8.下列各项中，不属于估计量的大样本性质的有()。B.无偏性C.渐近无偏性D.渐近有效性9.对于一元线性回归模型，以◎表示利用最小二乘法估计的标准误差，r表示样本相关系数，则有()。,由此可得：F=F。=,=1、,其代表的样本回归直线通过点()。A.(X,Y)【答案】D查看答案【解析】在满足基本假定的条件下，最大似然法和最小二乘法的估计结果是相同的，由于R=P-AX,可得=寓，,所以对于两种估计结果而言，样本回归直线都通过点(X,Y)。=÷取，满足()。程14.已知某一直线回归方程的样本可决系数为0.81,则解释变量与被解释变量间的相关系数B.0.81以oB.2.8B.4.17D.5.0018.根据某地区2001~2009年农作物种植面积(X)与农作物产值(Y),可以建立一元线性回归模型，估计结果得到样本可决系数R²=0.9,回归平方和ESS=90,则回归模型的方差o²的无偏估计为()。C.10.000【答案】A查看答案RSS=TSS-ESS=100-90=10。二、判断题1.经典线性回归模型(OLS)中的干扰项不服从正态分布的，OLS估计量将有偏的。()[北京航空航天大学2013研]EB(R)=Ro,只需满足EZA=0,即随机干扰项A具有零均值即可。即使经典线性回归模2.在回归模型中，随机干扰项反映了自变量对因变量的影响。()3.对于一元线性回归模型，在经典线性回归的假定下，参数的最小二乘估计量是最小方差无偏估计。()4.在回归分析中，定义的自变量和因变量都是随机变量。()【解析】在回归分析中，自变量是非随机变量，而因变量是随机变量。5.对于一元线性回归模型，最小二乘方法是被解释变量的估计值与观测值的差值平方和达到最小时所求得的值作为参数的估计量。()6.在经典线性回归的假定中，随机干扰项服从0均值的正态分布，对方差则没有具体的要【解析】在经典线性回归的假定中，随机干扰项服从0均值、同方差的正态分布。7.在一元线性回归模型中，采用最大似然法估计的总体方差的估计量是无偏估计。()【答案】×查看答案【解析】在一元线性回归模型中，采用最大似然法估计的总体方差的估计量²不是无偏估计，而采用最小二乘法得到的估计量是无偏估计。8.对一元线性回归模型进行拟合优度检验利用的是t统计量。()【答案】×查看答案【解析】对一元线性回归模型进行拟合优度检验利用的是可决系数R²统计量，对变量的显著性检验构造的统计量是统计量。9.对于一元线性回归模型，如果自变量是显著的，那么自变量所对应的系数应该显著的不为0。()10.估计量和估计值并没有什么区别，二者是同一概念。()【答案】×查看答案【解析】“估计值”是参数估计量的一个具体数值，而当把估计结果看成是一个表达式时，那三、简答题1.利用最小二乘法对回归模型进行估计时，为什么要对模型进行基本假定?答：回归分析的目的是要通过样本回归模型(方程)尽可能准确地估计总体回归模型(方程)。回归分析估计方法中应用最普遍和广泛的就是最小二乘法，为保证根据最小二乘法得到的参数估计量具有优良的统计特性，通常对模型提出若干基本假定，在这些假定条件满足的情况下，普通最小二乘法得到的估计量是具有最小方差的线性无偏估计量，否则，该方法就不再适用，而要发展新的方法。因此，从严格意义上来说，对模型的假定实际上是针对最小二乘2.试述回归分析与相关分析的联系和区别。答：回归分析是研究一个变量关于另一个(些)变量的依赖关系的计算方法和理论，其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和(或)预测前者的(总体)均值；相关分析主要是研究随机变量间的相关形式及相关程度。(1)回归分析与相关分析的联系回归分析和相关分析都是对变量之间的非确定相关关系的研究，均能通过一定的方法对变量之间的线性依赖程度进行测定。(2)回归分析与相关分析的区别①相关分析研究的是两个随机变量之间的相关形式及相关程度，是通过相关系数来测定的，不考虑变量之间是否存在因果关系；而回归分析是以因果分析为基础的，变量之间的地位是不对称的，有解释变量和被解释变量之分，被解释变量是随机变量，而解释变量在一般情况下假定是确定性变量。②相关分析所采用的相关系数，是一种纯粹的数学计算，相关分析关注的是变量之间的相互关联的程度，而回归分析在应用之前就对变量之间是否存在依赖关系进行了因果分析，在此基础上进行的回归分析，达到了深入分析变量间依存关系、掌握其运动规律的目的。3.评价拟合优度采用的是可决系数，而不用残差平方和，为什么?可决系数与相关系数有什么联系和区别?答：(1)样本可决系数R²反映了回归平方和占总离差平方和的比重，表示由解释变量引起被解释变量的变化占被解释变量总的变化的比重，因而可用来判定回归直线拟和程度的优劣，该比重值越大表示回归直线与样本点拟和得越好；残差平方和反映的是样本观测值与估计值(2)样本可决系数与相关系数的联系与区别③样本相关系数是由随机的X和Y抽样计算得到，因而相关关系是否显著,还需进行检验。1.证明：相关系数的另一个表达式是：,其中庐为一元线性回归模型一次项系数的估计值，S、S分别为样本标准差。[北京航空航天大学2011研]证明：因为β为一元线性回归模型一次项系数的估计值，则2.对于一元线性回归模型Y=a+aX₁+H,试证明：(4)仅仅@是的OLS估计量。即₁₁(3)假如拟合线2=aX经过均值点(Z,F),则F必须等于aX;但是aX等于通常不等于Y,因此均值点(Z,Y)不太可能位于拟合线Y=aX五、计算分析题中：x=第2年政府债券价格(每100元债券),X₁=第1年利率(按百分比)。请回答下列问题：(2)为何方程左边的变量是Y而不是Y₁?(3)在估计的方程中是否遗漏了随机干扰项?答：(1)估计系数98.2是对常数项的估计，表示当年利率为0时，债券的价格估计值。因为利率不可能为0,所以常数项的实际经济意义不大。估计系数-5.6是对回归直线斜率的估计，表示当利率变化增加(降低)一个单位时，债券价格将平均下降(上升)5.6个单位。估计系数的符号为负，与预期相符，即利率的变动会引起债券平均价格的反向变动。(2)因为方程的右边没有残差项，并且右边得到的结果是债券价格Y的估计值，所以方程V左边的变量是而不是，若左边的变量为，则原方程可等价表示为样本回归模型：=霜婴-城落母热。(3)在估计的方程中没有遗漏随机干扰项，因为随机干扰项是不可观测的，并且该方程是样本回归方程，而不是回归模型，所以不必加入随机干扰项。第3章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型3.1复习笔记一、多元线性回归模型1.多元线性回归模型(1)多元线性回归模型一般形式(总体回归函数的随机表达形式):Y=β₀+RX₁+β₂X2+…+βX+μ,i=1还可以写成如下形式：Y=β₀+RXa+β₂X₂+…+βX+μ₁,i对应矩阵表达式为：其中多元线性回归模型的非随机表达式为：E(Y|X,X₂..X)=A+AX+RX₂+…+βX(2)样本回归函数表达式为：其随机表达式为：其中称为残差或剩余项，可看成是总体回归函数中随机干扰项从的近似替代。以上两式也可表示如下：r₁=βo+β₁xa+β₂Xa+…+βX,i=r=β+R₁xa+R₂Xa+…+βX+e,I=对应的矩阵表达式分别为：其中E(A|X,X₂.--X)=0Cov(X,A|X₁,X₂….XA)=A|X₁,X₂X₂-N(0:c²)假设2:n×(k+1)矩阵X的秩(X)=k+1,即X列满秩。假设3:假设4:假设5:E(Xμ|X)=0假设6:向量服从多维正态分布，即M|X~N(0.c-I.)二、多元线性回归模型的参数估计1.普通最小二乘估计(1)普通最小二乘估计及其矩阵表达随机抽取n组样本观测值(XY)(i=1,2…;nj=0,1.….k),,根据最小二乘原理，参数的最小二乘估计值为：=那么:(2)离差形式的普通最小二乘估计离差形式下参数的最小二乘估计结果为：则多元回归分析中样本回归模型的离差形式为：其矩阵形式为：其中(3)随机干扰项“的方差的普通最小二乘估计普通最小二乘法下，随机干扰项μ的方差的无偏估计量为：2.最大似然估计参数的最大似然估计为：-其结果与参数的普通最小二乘估计是相同的。多元线性回归下随机干扰项方差的估计为：3.矩估计对多元线性总体回归模型婴=÷,存在如下一组矩条件：=对应的样本矩条件可写为：由此得到正规方程组：(Xx)β=xY解此正规方程组得到样本估计参数这种估计样本回归方程的方法称为矩估计法，可以看出矩估计的估计结果与普通最小二乘法以及最大似然估计法的结果一致。矩估计法是工具变量法和广义据估计法的基础。如果某个解释变量和随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件，这就是工具变量法。如果存在大于K+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含大于K+1个方程的矩条件，这就是广义矩估计法。4.参数估计量的性质(1)线性性其中，C=(XX)⁻x'仅与固定的X有关。可见，参数估计量是被解释变量Y的线性组合。(2)无偏性E(p)=E[(xx)²xr](3)有效性参数估计量β的方差-协方差矩阵为：根据高斯-马尔可夫定理，其表示的方差在所有无偏估计量的方差中是最小的，所以该参数估计量具有有效性。5.样本容量问题(1)最小样本容量最小样本容量：从最小二乘原理和最大似然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。从参数估计量β-(xx)¹xr可看出，最小样本容量必须满足样本容量不少于模型中解释变量的数目(包括常数项),即n≥k+1。(2)满足基本要求的样本容量一般经验认为，当n≥30或者至少n≥3(k+1)时，才能满足模型估计的基本要求。若样本容量较小，甚至少于“最小样本容量”,这时需要引入先验信息、后验信息等非样本信息，并采用其他估计方法(如贝叶斯估计方法)来完成模型的参数估计。三、多元线性回归模型的统计检验1.拟合优度检验(1)可决系数与调整的可决系数总离差平方和：残差平方和：回归平方和：ES8-Z(8-),,它反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，残差平方和越小，表明样本回归线与样本观测值的拟合程度越高。且可决系数(R²):用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度，即该统计量越接近于1,模型的拟合优度越高。在多元回归模型之间比较拟合优度，R2就不是一个合适的指标，必须加以调整。调整的可决系数(R²):在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以需将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响，即：其中，n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总离差平方和的自由度。调整的可决系数与未经调整的可决系数之间的关系为：(2)赤池信息准则(AIC)和施瓦茨准则(SC)这两个准则要求：仅当所增加的解释变量能够减少AIC或SC值时才在原模型中增加该解释变量。2.方程总体线性的显著性检验(F检验)(1)方程显著性的F检验即检验模型中参数A·…β是否显著不为零。原假设与备择假设分别为：H₁:β(j=1,2.…,k)不全为零在原假设Ho成立的条件下，统计量服从自由度为(kn-k-1)的F分布。因此，给定显著性水平α,可通过来拒绝(或接受)原假设Ho,以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。(2)关于拟合优度检验与方程总体线性的显著性检验关系的讨论原理不同：拟合优度检验是从已经得到估计的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度；方程总体线性的显著性检验是从样本观测值出发检验模型总体线性关系的显著性。关联：模型对样本观测值的拟合程度高，模型总体线性关系的显著性就强。两个统计量之间存在下列关系：3.变量的显著性检验(T检验)(1)t统计量由于房服从如下正态分布：于是，构造的t统计量为：(2)T检验在变量显著性检验中，针对某变量X,(j=1,2.….k)的原假设与备择假为：:H₀:β,-0,H₁:β,≠0。给定一个显著性水平α,得到临界,于是可根(或来决定拒绝(或接受)原假设H₀,从而判定对应的解释变量是否应包含在模型中。在一元线性回归中，t检验与F检验是一致的，并且两个统计量之间的关系为F=t²。4.参数的置信区间在变量的显著性检验中,则在1-α的置信度下F的置信区间为：其中，为t分布表中显著性水平为α,自由度为n--k1的临界值。在实际应用中，置信度越高越好，置信区间越小越好。但是置信度的高低与置信区间的大小存在此消彼涨的关系，置信度越高，在其他情况不变时，t检验的临界值越大，置信区间越大；如果要求缩小置信区间则必须降低对置信度的要求。缩小置信区间的方法：(1)增大样本容量；(2)提高模型的拟合优度，以减小残差平方和e'e;(3)提高样本观测值的分散度。四、多元线性回归模型的预测1.E(X)的置信区间对于模型Y=Xβ,被解释变量的预测值为名=X₀β,X₀=(1X₁:X₂….XA)。其中,取随机干扰项的样本估计量2,可构造t统计量：则在1-α的置信度下E(X)的置信区间为：2.Y的置信区间若已知实际的预测值%,那么预测误差为：一一。则构造统计量则在1-α的置信水平下Yo的置信区间为：五、可化为线性的多元非线性回归模型1.模型的类型与变换(1)倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法如：著名的拉弗曲线描述的税收5和税率的关系是一种抛物线形式：一般地，关于解释变量的非线性问题都可以通过变量置换变成线性问题。=InQ=InA+aInK+βlnL+μ(1)普通最小二乘原理(2)高斯-牛顿(Gauss-Newton)迭代法(3)牛顿-拉弗森(Newton-Raphson)迭代法H:βH=β+2=…β+=0F3.参数的稳定性在两个连续的时间序列(1.2,m)与÷路÷2-网÷中，相应的模型分别为：其中，β、α分别是两时间序列对应模型中的参数列向量，Y(i=1,2)是对应模型的被解释记RSSL、RSSa分别为对应于无约束模型和受约束模型的残差平方和，RSS₁与RSS₂为两时间序列对应的回归模型在各自时间段上分别回归后所得的残差平方和，则有差平方和RSSA;(2)邹氏预测检验邹氏参数稳定性检验要求n>k,即第二个时间段中样本数不能小于待估参数的个数。如果邹氏预测检验的基本思想：先用前一时间段码个样本估计原模型；再用估计出的参数进行后一时间段m个样本的预测。如果预测误差较大，则说明参数发生了是稳定的。即需用第一时间段估计的参数P(j-1,2,:),考察第二时间段预测误差①在两时间段的合成大样本下做OLS回归，得到受约束模型的残差平方和RSSA;②对前一时间段的气个子样本做OLS回归，得到残差平方和RSS;③计算F统计量在事先给定的显著性水平下进行假设检验。如果F大4.非线性约束沃尔德检验(WD)与拉格朗日乘数检验(LM)。它们的共同特点是：在大样本下，以共同的”检验为基础，而自由度就是约束条件的个数。(1)最大似然比检验记L(β₂²)为一似然函数，对给定的样似然函数L(pa2)的值最大。如定义似然比为L(p,d²),如果该比值很小，说明受约束似然函数值与无约束似然函数值差距较大，则应拒绝约束条件为真的假设；如果该比值接近于1,则受约束似然函数值与无约束一般有LM≤LR≤W,因此，在有限样本中，它1.多元线性回归模型的基本假设是什么?试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性答：(1)多元线性回归模型的基本假设是针对随机干扰项与针对解释变量两大类的假设。存在(完全)线性关系(完全多重共线性)。(2)在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量非随机性或与随机误差项不相关2.在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同?在一元线性回归分析中二者是否有检验；而F检验则被用作检验整个回归关系的显著性，是对回归参3.为什么说对模型参数施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小?在什么样的条件下，受约束回归与无约束回归的结果相同?如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。问：保一个变量的说法是否有意义?该模型是否有违背基本假设的情况?如何修改此模型以使其由于四类活动的总和为一周的总小时数168,说明四个解释变量存在完全的线性关系，因此可以考虑去掉其中的一个解释变量，如去掉第四个解释变量X4,用新构成的三变量模型更加合理。如这时就测度了当其他两变量不变时，每周增加1小时的学习时间所带来的学5.考虑下列两个模型：=骨Z(1)证明：(2)证明：两个模型的最小二乘残差相等，即对任何，有“。(3)在什么条件下，模型(b)的R2小于模型(a)的R2?证明：(1)模型(b)可变形为：Y=R+(A+1)Xa+AX₂+U,(2)在(1)成立的条件下，有：(3)模型(a)的样本可决系数为：的解释变量的离差平方和小于模型(a)的被解释变量的离差平方和时，才会有模型(b)的R2小于模型(a)的R2。6.考虑下列三个试验步聚：(3)对一泡%,进行回归。证明：由(2)得残差U::代入(3)的回归中得：该模型形式与步骤(1)中的完全相同，因而必有A=元。直观来看，测度的是X₂以外的因素对X₁的影响。因此对(3)中的模型来说，对Y的影响只能归结到X1对Y的影响上来，与X₂7.考虑以下过原点回归：(1)求参数的OLS估计量；(2)对该模型，是否仍有结论解：(1)根据最小二乘原理，需求参数估计量A,房使得残差平方和最小，即：对其分别求关于A、房的偏导，并令偏导值为0,即得到正规方程组：(2)由(1)中的正规方程组知，对该模型仍有：8.对下列模型：模型(b)即为：笺=÷Y-÷,则β的最小二乘估计值为：对于模型(c),β的最小二乘估计值为：显然，模型(a)和(b)分别是模型(c)在/=2和/=-β的约束下的变形式。因此，如果限制条件正确，从表达形式上看，模型(a)与(b)的回归算法更为简洁；如果限制条件不9.下表给出三变量模型Y-βo+AXa+F₂Xa+H的回归结果：平方和(SS)自由度(dE)来自回阳(1)求样本容量n,残差平方和RSS,回归平方和ESS及残差平方和RSS的自由度。解：(1)已知总离差自由度为14,解释变量的个数k=2,所以：(4)不能确定X1和X2各自对Y的影响。根据上述信息，可决系数0.9910.试由教材中的(3.6.16)式推导出(3.6.17)式。11.在一项对某社区家庭对某种消费品的消费需要调查中，得到下表所示的资料。单位：元对某商品的商品单家庭月对某商品的商品单价第家庭用16273849S请用手工与软件两种方式对该社区家庭对该商品的消费需求支出作二元线性回归分析，其中手工方式要求以矩阵表达式进行运算。(1)估计回归方程的参数及随机干扰项的方差²,计算R2及R2。(2)对方程进行F检验，对参数进行4检验，并构造参数95%的置信区间。(3)如果商品单价变为35元，则某一月收入为20000元的家庭的消费支出估计是多少?构造该估计值的95%的置信区间。解：手工计算(1)根据题意，二元样本回归方程的参数估计值为：β=(xx)²(Xr),其中根据随机干扰项方差的估计得到：而=YY-YXβ-βXY+βxX(xx)⁻¹xY又SA=√c=√302.41×0.000011=√在5%显著性水平下，查表得临界值,可见，三个检验均拒绝原假设，即三个总体参数均显著地不为0。常数项、X₁与X2参数的95%的置信区间分别为；在Eviews软件下，回归结果如图3-1所示。bchdatmitin1橙001B4E田《t天M图3-1由于Xo=(13520000),Y均值的预测的标准差为：12.检验教材例3.6.2去掉P的模型InQ=5.45+0.5240nX-0.视为无约束模型；如果施加约束条件A+F₂-0。则可转化为如下受约束模型：InQ=5.45+0.52401nX-0.R²=0.9749R²=0.9722F=368.32RSS=0.0R²=0.9730R²=0.9716F=722.该值小于5%显著性水平下相应的临界值=,因此，去掉城镇居民消费价格指数P的模型仍满足零阶齐次性条件。在对无约束模型进行OLS估计的回归结果窗口中，选择View/CoefficientTests/Wald-CoefficientConstrictions..(图3-2)。8-ridualTertCittmd¥arile-LitabilityIetLndindantVarihlm-Likelih14.71351图3-2在出现的WaldTest对话窗口中输入‘(图3-3)。图3-3点击OK按钮，即得F检验统计量的检验结果(图3-4)。口×NullHypothesis:C(2)+C3图3-413.下表列出了中国某年按行业分的全部制造业国有企业及规模以上制造业非国有企业的工业总产值Y,资产合计K及职工人数L。工业总产资产合计工北总产资产合计134567891590.拓(1)利用上述资料，进行回归分析。(2)回答：中国该年的制造业总体呈现规模报酬不变状态吗?Date:10/23/09Time:VariableCoefficientStd.Error1-StC0.7963480.4255385.0703030.793209F-statisticProb(F-statistic)0.图3-5InY=1.154+0.609InK+给定显著性水平5%,自由度为(2,28)的F分布的临界值为=,因此总体上看，1nK,InL联合起来对1nY有着显著的线性影响。在5%的显著性水平下，自由度为通过检验。如果设定显著性水平为10%,I分布的临界值为=L,这时1nL的参数表明，工业总产值对数值的79.6%的变化可以由资产合计的对数值与职解释，但仍有20.4%的变化是由其他因素的变化影响的。(2)从上述回归结果看，,即资产与劳动的产出弹性之和近似为1,表明中H₀:α+β=1。3-6所示。Date:10/23/09Time:VanableCoefficientStd.CC0.2731380.4188915.0886130.8464600.4913311.159927图3-6在5%的显著性水平下，自由度为(1,28)的F分布的临界值为4.20,氯13114,不拒Restrictions,在出现的对话框中输入“C(2)+C(3)=1”,单击OK后出现图3-7所示的结果。图3-73.3考研真题与典型题详解一、单项选择题1.已知含有截距项的四元线性回归模型估计的残差平方和为则其随机误差项H的方差的普通最小二乘估计为()。C.25.00=·0,样本容量为20,2.要使模型能够得出参数估计量，所要求的最小样本容量为()。【答案】A查看答案其质量如何，所要求的样本容量的下限。故样本容量必须不少于模括常数项),即n≥k+1。3.在应用过程中发现，若对回归模型增加一个解释变量，可决系数R²一般会()。D.不能确定4.调整的多重可决系数R²与R²多重可决系数的关系为()。即5.在n=45的一组样本估计的线性回归模型，包含有4个解释变量，若计算的多重可决系数为0.8232,则调