天津市河东区2024-2025学年高一年级上册期中质量检测数学试题【含解析】

河东区2024-2025学年度第一学期期中质量检测

局一数学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.

1,已知集合/=3tK2},8={小〉0},则WB（）

A.{x|x<2}B,

C.{x\x>1}D.{x|x〉0}

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的运算进行求解即可.

【详解】由集合N={x|—l<x<2},5={x|x>0},

则N={x|-l<xV2}u{x|x〉0}={x|x2-1）,

故选：B.

2.若夕：Hx〉I,/-3x+2〉0,则夕的否定为（）

A.3x>l,x2-3x+2<0B.3x<l,x2-3x+2<0

C.Vx<l,x2-3x+2<0D.Vx>l,x2-3x+2<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.

【详解】命题P：it〉：1,/—3x+2〉0是存在量词命题，其否定是全称量词命题,

所以命题?的否定为Vx〉l,x2-3x+2<0.

故选：D.

3.下列关系中，正确的有（）.

①%R；②国Q；③卜3|eN；©|-V5|eQ.

A1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【解析】

【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断.

【详解】对于①：因为R为实数集，所以且eR，正确；

3

对于②④：因为Q为有理数集，所以后gQ,卜后卜布色。，②正确，④错误;

对于③：因为N为自然数集，卜3|=3eN,正确；

所以正确的有3个.

故选：C.

4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利

奥特首次使用和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若

a>6>0,则下列结论正确的是（）

11,,,

A.—>—B.a+m<b+mC.出>b，D-3C<be

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.

【详解】由。>6>0=>。6>0=>幺所以选项A不正确；

ababba

由Q>b=a+加>b+加，所以选项B不正确；

由a〉b〉0nG〉VFna5〉A所以选项C正确；

当。=0时，显然3C<不成立，所以选项D不正确，

故选：C

5.函数/（x）=3——别的部分图象大致为（）

【答案】A

【解析】

【分析】分析函数/(x)的奇偶性，单调性，/(0)的正负，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】因为/(x)的定义域为R,又/(—x)=3(—eE=3/_/=/(x),所以/(x)是偶函

数，

因为/(。)=一1<0,排除BC选项，

当x»0时，f(x)=3x2-=3x2-ex,所以/'(x)=6x—e”,

令g(x)=/'(x),所以g'(x)=6-e)

所以当0<x<ln6时，g'(x)〉O,当x>ln6时，g'(x)<0,

所以g(x)在(O』n6)上单调递增，在(In6,+⑹上单调递减，

即/'⑴在(O,ln6)上单调递增，在(ln6,+s)上单调递减，

又以0)=—1,/,(ln6)=61n6-6>0,/(4)=24-e4<0,

，

所以存在占e(O,ln6),x2e(ta6,4)1使得/'(玉)=0,/(x2)=0,

所以当xe(O,xJ时，/,(x)<0,当》€(石,X2)时，

当》€(》2，+°°)时，/'(x)<0,

所以/(x)在(O,xJ上单调递减，在(国,/)上单调递增，在(9，+⑹上单调递减，故A符合.

故选：A.

6.已知函数歹=/(x)的定义域为R.则“/(0)=0"是"/(x)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】因函数的定义域是R,若/(x)为奇函数，则f(—x)=—f(x),

令x=0,可得/(0)=0,故"/(0)=0"<="/(x)为奇函数”，

但/(0)=0,函数/(x)不一定是奇函数，比如

故"/(0)=O"R"/(x)为奇函数”，

因此“/(0)=0"是“/(X)为奇函数”的必要不充分条件，

故选：B.

7.已知不等式分2+加+2>0的解集为{x|T<x<2},则不等式21+fox+a<0的解集为()

或

A.{x|-l<x<1}B.{x|x<-1x>g}C.{x|-2<x<l)D.{x|x<-2或久>1}

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式分2+加+2>0的解集求出。，6,代入不等式2必+乐+。<0中，化简求出不等式

的解集.

【详解】解：因为不等式分2+加+2>0的解集为{x|T<x<2},

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ax?+bx+2=0的两根为一1,2,且。<0,即—1+2=—，(—1)x2=—,解得〃=—1,6=1,

aa

则不等式可化为2/+x-i<o,解得则不等式2必+法+。<0的解集为

2

[T<x</

故选：A.

8.已知J=/(x)是定义在R上的奇函数，对％,丫氏(占5),都有(七一％)(/(西)一/12))<0.若

/(1)=-1,则满足—1W/(X-2)W1的x的取值范围是()

A[1,3]B.[-1,1]C.[0,4]D.[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】先利用奇函数得到/(-1)=1,再从题意可得到歹=/(x)是R上的减函数，即可求出答案

【详解】因为/(1)=-1,y=/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(一1)=1,

因为VX1,%eR,(MNX2),都有(X1-工2)(/(否)一/卜2))<0，

所以y=/(x)是R上的减函数，

因为/⑴=T4/(x-2)Wl=/(-l),

所以——241,解得1WXW3,故x的取值范围是[1,3],

故选：A

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.请将答案填在题中横线上.

9.函数/(x)=+4的定义域为.

X

【答案】(一8,0)U(0,2]

【解析】

【分析】根据题意列关于x的不等式组即可求解.

【详解】由题要使得/(X)有意义，贝“XW0，

故x42且xw0,

从而/(X)的定义域为(一叫0)U(0,2],

故答案为：(-«,0)U(0,2].

11,

10.已知正实数X,V满足一+—=1,则x+4v最小值为

xy

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.

11,

【详解】•.•正数x,V满足：一+—=1,

XJ

...X+4J=(X+4­[-+—=5+—+—>5+2!—­—=9,

7y)xyNxy

4yx3

当且仅当上=—,即x=2y,x=3,>=—时"=”成立，

xy2

故答案为：9.

11.已知哥函数/(x)=(机-2)/',则加=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据幕函数的定义求出参数功的值.

【详解】由/(x)=(机—2)x及为幕函数，

则m-2=1,解得m=3,则/(x)=1,

故答案为：3.

2x2+3,x>0

12.已知函数/(x)=<0,x=0,则/(/(—1))=.

3,x<0

【答案】21

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，先求/(-1)=3,再求/(/(-1)),即可求解.

【详解】由/(—1)=3,则/(/(-1))=/(3)=2X32+3=21,

故答案为：21.

13.调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个

家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg,

则额外奖励无分(尤为正整数).月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.

①当x=10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换元；

②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%,则尤的最大

值为.

【答案】0.13②.36

【解析】

【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；

②设每个家庭每月产生的垃圾为fkg,每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为/(7)元，分04/<100、

72100两种情况讨论，计算/(/)的表达式，结合/«)<0.34/x0.4可求得尤的最大值.

【详解】①若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120+10=130分,

故该家庭该月积分卡能兑换130义0.1=13元；

②设每个家庭每月产生的垃圾为/kg,每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为/«)元.

若0</<100时，f(f)=0.1t<0.34/x0.4=0.136,恒成立；

若,2100时，f(^)=O.k+O.lx<0.34^x0.4,<(0.36Z)mjn=36.

故龙的最大值为36.

故答案为：①13；②36.

14.关于x的不等式办2+办—2<0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.

【答案】(—8,0]

【解析】

【分析】分a=0和讨论，a20时根据二次函数开口向下，且与x轴无交点列出不等式即可

【详解】1°若a=0,得-2<0,符合题意

a<0

2°若<7/0,由题知〈人2O八,解得一8<。<0

△=tr+8a<0

综上实数a的取值范围是(-8,0]

故答案为：(-8,0]

三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.

£_________j_

6⑴计算2,(6—2『—+3)°；

(2)已知0<x<l,求y=x(3—3x)的最大值.

53

【答案】(1)--；(2)—.

24

【解析】

【分析】(1)利用指数幕的运算进行化简求解;

(2)利用基本不等式进行求解.

【详解】(1)

U-252%卜82+1

1

=——4+273-122+1

2

=--4+2V3-2V3+l=--.

22

(2)由0<x<l,则l—x>0,

则y=x(3—3x)=3x(1一x)(3="

当且仅当x=l-x,即、=工时，等号成立，

2

1a

所以当％=5时，V=%(3—3x)的最大值为“

16.设全集U=R,集合力={#2+5%>0卜集合5={%卜一时<4卜其中功eR.

(1)当加=2时，求4c8,应“2台；

(2)若8=4,求加的取值范围.

【答案】(1)4cB={司0<%<6),={x卜5Vx<6}

(2){加帆V-9或加24}

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求出集合A,解绝对值不等式求出集合5,再根据集合的运算法则计算可

得；

(2)由8=4,可得加+4W—5或加—420,解得即可.

【小问1详解】

由12+5%>0，即(x+5)x>0,解得x〉0或x<—5,

所以/={%,<一5或x>0},则eZ={H-5<x<。},

由上一加|<4,即一4<%—加<4,解得加一4<、<加+4,

所以5={x|加一4<%<加+4

当加=2时，B=^x\-2<x<6j],

所以Z={x[0<x<6},(Q/N)=3-5<x<6}.

【小问2详解】

因为5={x]掰一4<x<m+4}且

所以加+4<—5或加一420,

解得加W-9或加24,

即功的取值范围为{机|切<一9或m24}.

17.已知a,6都是正实数，

(1)试比较/+人3与仍2+/6的大小，并证明；

(2)当a+Z)=l时，求证：111+()29.

【答案】(1)a3+b3>ab-+a2b，证明见详解

(2)证明见详解

【解析】

【分析】(1)利用做差法可得答案；

(2)利用基本不等式可得答案.

【小问1详解】

结论：ai+bi>ab2+a2b，当且仅当。=6时，等号成立.

证明：(a3+b3^-^ab2+a2b^=(a3-ab2^+(b3-a2b^

=a(a1-b2^+b^b2-a2^=^a+b^[a-b^,

因为a,6都是正数，所以(a+b)(a—bp20,当且仅当。=b时，等号成立,

即当且仅当。=/,时，等号成立;

【小问2详解】

因为a,b,c都是正数，且a+Z?=l,

当且仅当a=b=，时，等号成立.

2

18.已知函数/(切=^^是定义在(-M)上的函数.

(1)判断并证明函数/(X)的奇偶性；

(2)判断函数/(x)的单调性，并用定义法证明；

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)/(%)在(一1,1)上为单调递增函数，证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据奇偶性的定义判断和证明即可；

(2)根据单调性的定义判断和证明即可.

【小问1详解】

函数/(x)为奇函数

证明如下：函数/(x)的定义域为

/(-x)=^-=-/(x).

JT+1

所以函数/(X)为奇函数.

【小问2详解】

/(%)在(-1,1)上为单调递增函数

证明如下：

设一1V'l<%2<1，

则/&)—/(/)=9

X]+1%+1(再+1)(工2+1)

因为一1Vxi，

所以-+1)(^2+1)>0，

则/㈤夕马).

故/(%)在(-1」)上为单调递增函数.

19.已知函数/(%)=4"+