上海市杨浦区2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷（五四学制）带答案

杨浦区2024学年度第一学期初三期中质量调研

数学学科试卷

2024.11

（测试时间：90分钟，满分：100分）

考生注意：

1、本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，

在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计

算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸

的相应位置上】

x_5

1.已知丁3,，。一3那么下列等式不感义的是（）

x+y8%-v2x+55x+35

A.——^=-B.——-=-C.——-=-D.--=-

y3y3y+33y+33

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键.根据比

例的性质对各选项进行判断.

x5

【详解】解：由一=彳得3x=5y,

y3

A、汇匕=?,则8y=3x+3y,

y3

；.3x=5y,故不符合题意；

x—y2

B、-----,则3x—3y=2y,

y3

；.3x=5y,故不符合题意;

x+55__~«一

C、----=—,贝！J3x+15=5y+15,

v+33

；.3x=5y,故不符合题意；

D、》■!=!■,则3x+9=5y+15,

y+33

3x=5y+6,故符合题意，

故选：D.

2.下列图形，一定相似的是（）

A.两个等边三角形B.两个等腰三角形C.两个矩形D.两个菱形

【答案】A

【解析】

【分析】根据相似图形定义，结合图形，对选项一一分析.

【详解】解：A、两个等边三角形的三个角对应相等均为60。，故一定相似，符合题意；

B、两个等腰三角形的顶角不一定相等，不一定相似，不符合题意；

C、两个矩形的边不一定成比例，不一定相似，不符合题意；

D、两个菱形的角不一定对应相等，不一定相似，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解

题的关键.

3.已知在中，ZC=90°,AB=n,那么下列关系式正确的是（）

A.AC=ra-sinAB.AC-n-cosA

C.AC=n-tanAD.AC=n-cotA

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了求角的余弦值，等式的性质等知识点，牢记余弦的定义是解题的关键.

ArAr

根据余弦的定义可得cosA=——=—,然后利用等式的性质即可得出答案.

ABn

【详解】解：如图,

cosA=^=^

ABn

/.AC=ncosA,

故选：B.

4.已知向量°与非零向量Z方向相同，且其长度为c长度的3倍；向量〃与c方向相反，且其长度为c长

度的6倍，那么下列等式中成立的是（）

A.a--B.a=C.a=2bD.a=—2b

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键.

111r1r

根据向量的方向和模的关系可得。r=3。乃=-6c，从而可得。=——b,即可求出结论.

6

【详解】解：由题意可知：a-3c,b——6c»

r]r

c=—b>

6

故选：B.

5.已知VABC的三边都不相等，如果VABC与相似，且那么下列等式一定不成立的

是（）

ABBCABBCABBCABAC

A.-----=B.-----C.------D.------

DE~DFDF~~DEDE~EFDE~EF

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比

例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似，（4）斜边和直角边对应成比例的两直角三角形相

似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.本题中结合题意根据相似三角形的判定定理逐一判断

即可得到答案.

【详解】解:如图,

ABBC

A、----=-----，ZB=ZD，故△BACs△DEF,不符合题意;

DEDF

ABBC

B、----=----，ZB=ZD，故△BACS^DFE,,不符合题意;

DFDE

ABBC

C、=,夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意；

DEEF

ABAC

D、=，若NB="=90°,则Rt/\ABCsRt八EDF,不符合题意,

DEEF

故选：C.

AG3

6.如图，已知在VABC中，点G是中线上一点，且——=—，点。、E分别在边AB、AC上，DE

AH4

经过点G,那么下列结论中，错误的是（）

A.如果40=38。，那么。

B.如果点E与点C重合，那么4。：5。=3:2

ABAC,,,„..

——+——的和是一个定值

ADAE

ADAE...„..

D.—+—的和是一个定值

ABAC

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线、梯形中位线等知识点，灵活运用相似三角

形的判定与性质为解题的关键.

根据平行线分线段成比例定理可判断A；作即〃AH交的延长线于点F,由厂sAGO,

一CGHS/FB得煞=禁箸=黑=3'结合器=4可判断B；把苦+写变形得

2+——+——,作作交ED的延长线于点F,作。交DE的延长线于点M,证明

ADAE

BDFs.AGD,CMEjAGE得"=吧,乌=也，然后证明GH是梯形5cMF的中位

ADAGAEAG

A(Z3

线，结合，＞=2可判断C；由排除法可判断D.

AH4

【详解】解：A.'：AD=3BD,

.AD3

"AB"4

AG3

F屋

.ADAG

'*AB-AH；

DG//BH,

C.DE//BC,即该选项正确，符合题意;

B.如图，作所交。的延长线于点F,

BDF。AGD,.CGHs.CFB,

ADAGGHCH1

BD—BF'BF~BC~2'

BF=2GH.

AG_3

AH-4)

AG=3GH,

ADAG3GH3

BD―BF-2GH~2'

AD:50=3:2,即该选项正确；

ABACAD+BDAE+CE

C.1-------------1-------------

ADAEADAE

,BD、CE~BDCE

=1++1+——=2++——.

ADAEADAE

作作跖〃AH交ED的延长线于点F,作CM〃AH交DE的延长线于点M,

A

BD2_AGD,_CMES_AGE,

.BDBFCECM

"AD~AG'AE~AG'

BDCEBFCMBF+CM

----1--------—I--------------

,ADAEAGAG2AG

:BF〃AH，CM//AH,

•.四边形5QKF是梯形，

.,AH中线，

•.GH是梯形3Q0F的中位线，

BF+CM=2GH.

.AG3

'AH"4'

•.AG=3GH,

ABAC>BDCE>BF+CM。2GH8

--------------1-------------------/—I-----------------1—--------------/—I-------------------------------------/—I-----------------------------

ADAEADAE2AG3GH3

4RA.C'2

—+—上=2为定值，故该选项正确;

ADAE3

An4/7

D.VA,B,C正确，由排除法可知一+——的和是一个定值不正确，符合题意.

ABAC

故选D.

二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7.计算：tan600+cos30°=.

【答案】-V3

2

【解析】

【分析】本题考查了求一个角的余弦值和正切值，根据特殊角的三角函数值进行计算，即可作答.

【详解】解：tan60°+cos30°=-A/3,

22

故答案为：―6

2

8.计算：3（3沙一2。）+2（“一2人）=

【答案】5b—

【解析】

【分析】此题考查了平面向量的运算.直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得.

【详解】解：3（3〃—2a）+2（a—2））

=9b-6a+2a-4b

=5b-4a，

故答案为：5b-4a-

9.已知线段c是线段a、%的比例中项，a-4cm,c=6cm,那么线段6=cm.

【答案】9

【解析】

【分析】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到°2=ab是解答的关键.根据线段的比例中

项定义求解即可.

【详解】解：•.•线段c是线段。、6的比例中项，

c2=ab，

又a=4cm,c=6cm,

b--=-=9（cm].

a4l）

故答案为：9.

10.如果两个相似三角形的相似比是4:9,那么它们的周长比是.

4

【答案】4:9##-

9

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键.

根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

【详解】解：两个相似三角形的相似比是4:9,

.­•这两个相似三角形的周长比是4:9,

故答案为：4:9.

11.己知在VA3C中，点。是边A3的中点，ZACD^ZB,BD=4,那么AC的长是

【答案】4A/2

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出△ACDSAZRC是解题的关键.证明

AACD^AABC,利用对应边成比例即可求解.

【详解】解:如图，

:点。是边AB中点，BD=4,

AD=4,AB=8,

VZACD=ZB,ZA=Z4,

，AACD^AABC,

,ACAD

••二,

ABAC

.AC4

••一,

8AC

解得：AC=472（舍负）,

故答案为：4c.

12.如图，已知/[〃〃4，AB:BC=1:2,如果。尸=10,那么QE=

【答案】当

3

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行

线分线段成比例定理是解题的关键.

由平行线分线段成比例定理可得r>E:EF=AB:5C=l:2,进而可得所=2。石，根据

£m=DE+Eb=10列方程求解，即可求得。E的长.

【详解】解：•.，〃“〃射

：.DE:EF=AB:BC=1:2,

:.EF=2DE，

又・DF^DE+EF=DE+2DE=3DE=10,

解得：DE=—,

3

故答案为：—.

3

2

13.已知点尸位于第一象限内，OP=6,且0P与％轴正半轴夹角的正弦值为一，那么点尸的坐标是

3

【答案】（2百,4）

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先得

pA2

出sin/POA=—=—，代入。。=6,则/%=4,然后运用勾股定理列式计算，即可作答.

OP3

【详解】解：依题意，如图：过点尸作2轴：

2

VOP与x轴正半轴夹角的正弦值为一，

3

PA2

...sinZPOA=—=-,

OP3

,:OP=6,

；•PA=4,

则OA=4P（f-P曾=V36-16=245，

.-.P（2A/5,4）,

故答案为：（2A/5,4）.

14.如图，在VABC中，正方形内接于VABC,点。、E分别在边AB、AC上，点G、F在边

BC±,如果AB=AC=10,BC=12,那么OE的长是

【解析】

【分析】过点A作交于点,先通过等腰三角形的性质和勾股定理求出=8,

根据正方形的性质确定平行线，继而确定根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式

DEAP、.

---=----计算DE■

BCAH

【详解】解：过点A作交DE,BC于点P,〃

,：AB=AC=10,BC=12,

:•BH=CH=6,

RtAABH中，由勾股定理得A”=7AB2-BH2=8，

:正方形。EFG,

Z.DEFG,DE=DG=FG=EF,ZEDG=ZDGH=90°

：.AADE^ABC,

•/AHLBC,

VAHLDE,四边形DGHP是矩形，

DEAP

：.——=——,DG=HP=DE,

BCAH

.DE3—DE

"12~-8-'

24

解得：DE==

故答案为：y.

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，

勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

15.如图，已知点P在等边三角形ABC的边的延长线上，NPAQ=120。，射线AQ与CB的延长线

交于点。，如果BC=3,CQ=8,那么CP=.

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是

解题的关键.通过等边三角形的性质结合外角证明即可求解.

【详解】解：如图，

AB=AC=BC=3,Z3=Z4=Z5=60°

Z7=Z6=180°-60°=120°,

：NPAQ=120。，

AZl+Z2=ZPAQ-Z3=60°,

•.•N4=N1+NQ=6O。，

N2=NQ,

：.AQBA^AACP,

,QBAB

I*AC-cF

.8-33

>•-----=—，

3CP

9

解得：CP=-,

9

故答案为：—.

16.如图，在VA5C中，DE//BC,连接C。，如果AC=8,那么AE=

【答案】46-4##-4+46

【解析】

【分析】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质和判定得到

ApAT

——=—,是解决本题的关键.

CEAE

AEAC

作即，A3于尸，作CG1_AB于G,设A£=x，则CE=8—x,证明△ADEsAABC,得——=——

CEAE

再解方程即可.

【详解】解：作石尸，AB于凡作CGLAB于G,

设=则CE=8—%,

DE//BC,

ApAD

ADES_ABC,—

CEBD

•：EFCG,

AAFE^AGC,

ACCG

,AE-EF）

S^BCD=S^ADE，

:.-ADEF=-BDCG,

22

ADCG

一而一而‘

.AEAC

"~CE~~AE'

8x

••=f

x8—x

.1.%2+8x—64=0>

；.%=4-\/5—4,X2=-4-\/5—4（舍）,

故答案为4行-4.

17.为了测量校门口路灯A3的高度，小明准备了两根标杆C。、跖和皮尺，按如图的方式放置，己知

CE>=Eb=1.5米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆所留下的影子为G,标杆所在地面上

的影长是经测量得FG=0.5米，。尸=1.5米，FH=3米，那么灯杆的长是米.

【解析】

3

【分析】延长CG交口于小先证明®MW，得出再分别证明.切―和

.耳得出器=£,誓=金，将数值代入，进行计算，即可作答.此题考查相似三角形的

DMCDFHEF

应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答.

【详解】解：如图，延长CG交EH于

ZGMF=ZCMD,ZGFM=ZCDM=90°,

GFMsCDM,

.GFFM

'~CD~~DM

设FM为。米，贝!ja=(a+1.5)x,

3

解得：a=—,

4

设皮)=%米，AB=y米，

/GMF=NCMD,ZABM=ZCDM=9Q0,

:…CMD^AMB,

.BMAB

同理得.跖

.BHAB

*

3

x+（L5+：）

1.5

可得，＜L5+4

x+4.5_y

=—x+

3

整理得:

=—x+

2

9

x=—

解得：j2,

7=2

9

AB=—米.

2

9

故答案为：一.

2

18.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6C=7,点。在边4B上，丝=3,点£在射线3C

BD4

上，将沿着OE翻折，点3落在点尸处，如果点A、E、歹在同一直线上，那么3E=.

c

【答案】16±40

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质等知识，根据三角形的面积公式与

AT)3S3

——=—,可求出L些=;1■，根据翻折与己知可得出=根据角平分线性质定理和

BD4SBDE4

三角形面积公式可求出空==,设BE=4x,则A£=3x,CE=|4x—7],在RtACE中，根据勾股

BE411

定理求出X即可求解，根据题意正确画出图形是解题的关键.

【详解】解：如图，

设E到的距离为人，

BD4

SBDELBD.h

2

由翻折的性质可知，ZBED=/FED,

：A、E、厂在同一直线上，

ZAED=ZFED=ZBED,

...点。到AE、BE距离相等，设此距离为/,

AElae

SADE23

则d=i-=前="

QBDE±BE'IDCj

2

设6E=4x,则AE=3x,CE=|4x-7|,

VZACB=90°,AC=7,

；•AE2^AC2+CE2,即（3x）2=72+14%—7「，

解得x=4土五，

3E=16±4也，

故答案为：16±4行.

三、解答题：（本大题共7题，满分46分）

19.如图，在VABC中，点E为AC中点，点。在边AB上，ZAED=ZB,AB=9,AC=6.

（1）求A£）的长;

（2）设AB=a，BC=b用向量3、b表示向量。E，即。E=

【答案】（1）2（2）—aH—b

182

【解析】

ADAE

【分析】（1）运用NAED=Nfi,/4=//4,证明/\74£06八48。，再把48=9,AE=3代入——=——,

ACAB

进行计算，即可作答.

2

（2）求出AT>=§。，AC=a+b>再利用三角形法则求解.

本题考查相似三角形的判定与性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中

考常考题型.

【小问1详解】

VZAED=ZB，ZA=ZA，

/.AAED^AABC，

,ADAE

••一,

ACAB

:点E为AC中点，AB=9,AC=6.

/.AE=3

解得AD=2.

【小问2详解】

解：由（1）得AO=2，

AD2

••——,

AB9

AD=-AB,

9

,**AB-a，BC-b，

,2

••AD=—a,AC=a+by

•E是AC的中点，

AE=EC=-AC,

2

AC=—ciH—b,

22

则DE—DA+AE——6/+1-uH—b\——aH—b.

9（22J182

故答案为：-^-a+^-b.

Io2

3

20.如图，在VABC中，ZC=120°,BC=4,sinB=-f求AC的长.

［答案］32百+24

13

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作交6。的延长线于点H,则

ZAHB=90°,先求出tanNACH=tan600=-----=J3,进而求出左，可得百左+4=4左，再进一步

CH

求解即可求出结论.

【详解】解：如图，过点A作交6。的延长线于点”，则NAHB=90°.

A

:.ZACH=60°,

AHr-

tanZACH=tan60°=-----=V3,

CH

・・・

•sinBn--A--H-——3,

AB5

设AH=3左，则AB=5左，

:.BH=4k,CH=瓜，

，瓜+4=4左，

解得：4=16+4』,

13

._48+12百

,•AH—3K---------------,

13

.sAH27348+12百32百+24

sin60031313

21.如图，AC与3。相交于点。，将△A。。、ABO、3OC的面积分别记为向、邑、S3,当

">〃3c时，试探究S］、S］、S3有怎样的等量关系，并说明理由.

【答案】S］@=S；,理由见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握三

角形的面积公式及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

S,ODS,OA

根据三角形的面积公式可得消=",=--由可证得一AODs二COB,进而可得

o2OBo3C7C

OAOD工曰折、丁

女=筋，于是得证.

【详解】解：5・S3=S；,理由如下:

点A到OD、08的距离相等，

c<Lt?。•点芯的距离八八

S

2SABOLOB•点原Jo硼距离OB

2

点3到Q4、OC的距离相等，

<<LOA•点8到。4的距离~

S3SBOCLoc点6到oc的距离OC

2

ADBC,

AOD^COB,

OAOD

女一砺'

.S2=S]

"53"S2,

S]•S3=s；.

22.在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边

形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形也有重心；

②在平面内，图形A与图形3拼成一个图形C,那么图形。的重心一定在图形A的重心与图形3的重心

连接的线段上.根据以上信息，解决下列问题：

如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为ABC,C为直角顶点，cotB=-,将这两个三

2

角形拼成一个四边形，使得斜边重合.

A

（1）请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心G；（不用写作法，保留痕迹，写出结论）

（2）直接写出线段AG与线段之比的比值.

【答案】（1）见解析;

3

（2）1或一.

2

【解析】

【分析】（1）当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边4B的交点就是拼成

的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角

形，ABC与，的重心连接的线段与，与.的重心连接的线段的交点就是四边形

ACBH的重心;

（2）根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况

求出AG与的比值.

【小问1详解】

解：①如下图所示,

直角ABC的重心是直角三角形三条中线的交点，

两个完全相同直角三角形拼成一个矩形，

当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边4B的交点就是四边形的重

心;

②如下图所示,

直角_ABC的重心是直角三角形三条中线的交点M,

直角,AHB的重心是直角三角形三条中线的交点N,

由题意可知一ACH和6cH是等腰三角形且AC=AH,BC=BH,

：._ACH和二3cH的重心都在ZB边上，

四边形AC阳的重心是线段MN与4B的交点；

【小问2详解】

解：当两个直角三角形拼成一个矩形时，

如下图所示，

矩形对角线互相平分,

AG=BG,

AG,

---二1.

BG

当直角三角形拼成如下图所示的四边形时,

A

AM=AN，

.•.AB是MN的垂直平分线，

cotB=—,

2

BC1

••—9

AC2

设5C=2a,则AC=4a,

AB=VAC2+BC2=J(2a『+(4a)2=2小a，

AE=yl(4a)2+a2=后a，BF=小(2a?+(2af=2垃a，

点M是重心，

AMBM2

.AE―BF-3’

：.AM=^-a，BM=3也a,

33

设AG-x，

则有MG?=AA/2—AG?-X2,

MG2=BM2-BG2

-x2,

整理得：4〃2=-20a2+4y/5ax，

解得：x=6非a，

5

BG=AB—AG=2下a—^^a=^^a，

55

6亚

AG_3

"BG~一5.

----a

5

3

综上所述线段AG与线段BG的比值是1或士.

2

【点睛】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理.解决本题的关键是根

据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段

的中点.

23.已知：如图，在VABC中，=点。在边CB的延长线上，点E在线段A。上，

DE=CE.

(1)求证：—EAFs_ECA；

(2)如果CF=3EF,连接座，求证：EBLCD.

【答案】(1)见详解(2)见详解

【解析】

【分析】(1)根据三角形外角性质，得"A5=NAfiC—NE。。,结合等边对等角，得NABC=NACfi,

ZCDE=ZDCE,故NZMB=NACE,因为NA£E=NCE4,所以证明人E4/口_瓦14；

AF1

(2)因为_E4尸s.石口4,所以AE2=EF・EC，结合B=3跖，则AE=2印，—因为“

AC2

是EC的中点，所以EH=CH=gcE,故FH=EF，证明—防4乌HFB，则EH=BH=CH,由

等边对等角以及三角形内角和得出NHEB+/HBE+NHBC+"CB=180°,整理得NCBE=90。，即

可作答.

【小问1详解】

解：在△AB。中，ZABC=ZDAB+ZEDC

：.ZDAB=ZABC-ZEDC,

AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

•：DE=CE,

NCDE=/DCE,

•：ZACE=ZBCA-ZDCE,

ZDAB^ZACE,

•：ZAEF=ZCEA,

：._EAF^_ECA；

【小问2详解】

解：连接EB，取EC的中点连接如图:

.AEEFAF

"EC-AE-AC'

AE?=EF-EC，

,：CF=3EF,

/.CE=4EF,

则AE2=4EF2，

：.AE=2EF,

..EFAF

'AE-AC'

.AF_1

"AC"2"

■:AB=AC,

.AF_1

'*AB-2)

：.AF=BF,

：H是EC的中点，

：.EH=CH=-CE,

2

-ZEF=-CE,

4

FH=EH-EF=-CE,

4

:.FH=EF，

,/ZEFA=ZHFB，

:•一EFA^.HFB，

：.AE=BH=2EF=-EC,

2

则EH=BH=CH,

：.ZHEB=ZHBE,ZHBC=ZHCB,

■：ZHEB+ZHBE+ZHBC+ZHCB=180°,

ZHBE+ZHBC=-x180°=90°,

2

即NCBE=90。,

：.EBLCD.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角性质和内角和，等边对等角，全等三角形的判定

与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

24.如图，在锐角VABC中，AD是高，tan/ABC=3,点E是AB的中点.

(1)求NBED的正切值；

(2)点尸在线段矶)的延长线上，且连接由L如果吩=C犷，求段的值.

AC

3

【答案】(1)-

4

⑵—

13

【解析】

【分析】(1)根据正切定义可得——=3,设BD=a,则A。=3a,根据勾股定理求出A3=JI金，根

BD

据直角三角形斜边中线的性质求出£>£=4£=2石=工筋=巫。，根据正切定义得出里=3,在

22BF

Rt△网厅中，根据勾股定理求出2尸=巫°,DF=^-a,进而求出=马何。，然后根据正切定义

10105

求解即可；

(2)过尸作于H,根据等腰三角形的性质可得出3G=CG=L3C,ZFBC=ZFCB,

2

/FAD=/F,DA,根据余角的性质可得出NADE=4CF\则ZEAD=ZEDA=ZFBC=NFCB,证明

AED^BFC,得出NAED=/BFC,根据三角形外角性质可得出NEBB=NEFC=90。，由（1）中可

知tanZB£O="=』，可求出3歹=2叵证明Nfi/7f=/4BC,贝hanNB/归=tan/4BC=3,得出

BE48

BH3995

——=3,在RtZkB/7/中，根据勾股定理求出m=—a,BH=—a,则BC=—a,CD=-a,在

FH8844

13

RJADC中根据勾股定理求出AC=：a,即可求解.

【小问1详解】

解：过。作。FLAB于R

:，AD是IWJ,tanXABC-3,

ATJ

：.tanZABD=—=3,

BD

设BD=Q,则AD-3a,

由勾股定理得AB=Ji6a，

:点E是AB的中点，

，DE=AE=BE=-AB=—a,

22

DF

*.*tanAABD=----=3,

BF

：.DF=3BF,

BD-=BF2+DF^

：.a-=BF-+（3BF）",

.小历

••Dr-a

10

.sn口叩27103M

510

DF3

tan/BED=---二—；

EF4

【小问2详解】

解：如图，过尸作FHLBC于H,

A

BF=CF,

ABG=CG=-BC,NFBC=NFCB,

2

•：CFLED,AD±BC,

：.ZADC=ZEFC=90。,

：.ZADE=90°-Z.CDF=ZBCF,

由（1）知：AE=DE,

:.ZEAD=ZEDA,

Z.ZEAD=NEDA=ZFBC=NFCB,

：.AED^BFC,

ZAED=ZBFC,

•/ZAED=ZEBF+ZBFE,ZBFC=ZEFC+ZBFE,

：.ZEBF=ZEFC=90°,

VtanZB£D=—=BE=­a,

BE42

•_3A/W

••RliFr----a,

8

,/ZBFH=900-ZFBC=ZABCf

tanZBFfZ=tanNABC=3,

・•.明,

FH

CD=-a,

4

AC=yjAD2+CD2=~a,

4

9

.BC4fl_9

AC=13-=13'

—a

4

【点睛】本题考查了正切的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾

股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线,利用数形结合的思想解答是解题的关键.

25.如图1,已知梯形ABC。，AD//BC,AB=AD=CD,AB<BC.

C

（2）作的垂直平分线交射线A3于点E,交于点孔

①如图2,当点E与点B重合时，求/C的余弦值;

AD

②当所经过5c的中点时，求一的值.

BC