拓展之泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应

用

目录

高频考点类型..............................................2

类型一：泰勒展开式.......................................2

类型二：利用超越不等式比较大小............................5

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式.....................6

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式.....................8

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在与处具有九阶导数的函数利用关于(x-%0)的"次多项式来逼近函数

的方法.

若函数/(X)在包含X。的某个闭区间3,用上具有"阶导数，且在开区间(。力)上具有

5+1)阶导数，则对闭区间3,切上任意一点X,成立下式：

，2(X

/(x)=/(Xo)+/(Xo)(X-Xo)+^°\x-x0)+---+°\x-x0)"+/?„(x)

2!ni

其中：F")(Xo)表示/(X)在X=Xo处的九阶导数，等号后的多项式称为函数/(X)在/处

的泰勒展开式，剩余的Rg(x)是泰勒公式的余项，是(%-不)"的高阶无穷小量.

2、麦克劳林(Maclaurin)公式

/(X)=/(O)+/\O)x+x24-...+2__+&(x)

2!n\

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取%=0的特殊结果，由于麦克劳

林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.

3,常见函数的麦克劳林展开式:

nex

尤2e

(1)/=1+%+上+…+x上+，一”

2!n\(77+1)!

sinx=x-—+—X~，，+1

(2)+O(/+2)

3!5!(2〃+l)!

尤2尤462n

(3)cosx=l-—+-——-+---+(-l)n^—+o(x2,i)

2!4!6!(2〃)！

2

x尤3.+1

(4)ln(l+x)=x—+--------+(―1)"--+o(”)

23n+1

1

(5)=1+X+x29H---^^“+。(九")

1-X

(6)(1+》)〃=1+依+」(^!1)-12+。(工2)

4、两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)

4.1对数型超越放缩：3WlnxKx—1(x>0)

X

ln(X+x)=x-----x2Hx3—•••+(—1)"1—xnR(x)•••(X)

23nn

上式(1)中等号右边只取第一项得：ln(l+x)<x(x>-l)•…・・结论①

用替换上式结论①中的x得：lnxKx-l(x>。)・…・・结论②

对于结论②左右两边同乘“-T得—InxNl—xnln421—x,用替换“工”得:

XX

1——<lnx(x>0)....结论③

x

4.2指数型超越放缩：x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+7?(x)---(2)

2!n\nI

上式(2)中等号右边只取前2项得：ex>l+x(xe1?)…♦一结论①

用一x替换上式结论①中的x得：ex>1-x(xeR)……结论②

当％<1时，对于上式结论②e-*>l-x^>—>^x・……结

cx1—X

论③

当x>l时，对于上式结论②e~x>1—x=二一>1—x=--—<ex....结

cx1-X

论④

高频考点类型

类型一：泰勒展开式

典型例题

例题1.(2024・陕西汉中•一模)苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著

名的Mac/。”血级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的

其中一个公式：ln（l+尤）=x-=+…+（-1产J+…，试根据此公式估计下面代数

234n

式2白+唯+…+（-1产电?+...（心5）的近似值为（）（可能用到数值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317）

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

例题2.（23-24高三上•湖南永州•阶段练习）苏格兰数学家科林麦克劳林（C。//力Maclaurin）

研究出了著名的Mac/aur/力级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克

劳林建立的其中一个公式：ln（l+x）=x-1+4]+…+（-1广工+试根据此公式估计下面

代数式夜+季+华…+（-1广回+.«>5）的近似值为（）（可能用到数值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

例题3.（多选）（2023・辽宁•二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个

给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

由此可以判断下列各式正确的是（）.

A.e嗔cosx+isinxM是虚数单位）B.=-i（i是虚数单位）

C.2V>l+xln2+^|^-（x>0）D.cosx<1-y+|^-（xe（0,1））

例题4.（2023•辽宁丹东•一模）计算器计算Inx,sinx,cosx等函数的函数值，是通

过写入"泰勒展开式"程序的芯片完成的.”泰勒展开式”是：如果函数/■（%）在含有%的某个

开区间（4力）内可以多次进行求导数运算，则当xe（a,6）,且％W/时，有

其中尸⑺是的导数，/"（力是/㈤的导数,尸"⑺是尸"）的导数.……

取％=。，则sinx的"泰勒展开式”中第三个非零项为—，sinl精确到0.01的近似值为

练透核心考点

1.（2023•宁夏银川・模拟预测）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclauriQ研究出了著

名的加“狈/7•〃级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的

其中一个公式：ln（l+x）=x-《+E-…+（-1）修上+…，试根据此公式估计下面代数

234n

式0+逑+逑一&+…+（-1产逑?+…（葭5）的近似值为（）（可能用至IJ数值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23）

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

2.（2023•全国•模拟预测）科林・麦克劳林（ColinMaclaurin）是18世纪英国最具有影响的

数学家之一.他研究出数学中著名的Maclaurin级数展开式，下面是麦克劳林建立的其中一

个公式：（1+4=1+3］"力+"（"1）（"%3+...+。（-1＞一（"〃+1）—…,

v72!3!n!

其中〃eN*,〃!=1X2X3X4X…x"，例如：1!=1,2!=2,3!=6.贝I］：的

近似值为（参考数据：皿=1.414,结果精确到0.01）（）

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

3.（23-24高二下•四川成都•阶段练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级

数和泰勒展开式而闻名于世.计算器在计算e*,Inx,sin%,cosx等函数的函数值时，是

通过写入"泰勒展开式”程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/（尤）在含有吃的某

个开区间（。,6）内可以多次进行求导数运算，则当xe（a,b）,且XW/时，有

〃月=肾（­毛）。+上（尸修）+曾（万一不『+^^（尸％）3+一.其中（（无）

是“X）的导数，是⑺是尸⑺的导数,是（x）是一（X）的导数,阶乘0!=1,

〃!=〃x（〃—l）x（〃-2）x—x2xl.Wxo=。力（］sinx的〃泰勒展开式〃中第三个非零项为,

sin1精确到0.01的近似值为.

4.（2023高三•全国•专题练习）计算器计算e3Inx,sinx,cosx等函数的函数值，是通

过写入"泰勒展开式"程序的芯片完成的."泰勒展开式”是：如果函数/（X）在含有％的某个

开区间（a,6）内可以多次进行求导数运算，则当xe（°力），且时，有

x~xo）+--（f升丁…『+粤（f）、•

其中广（X）是“X）的导数，尸（X）是尸（X）的导数,尸⑺是尸⑺的导数….…

取X。=。，则Sin%的"泰勒展开式"中第三个非零项为—，sinl精确到0.01的近似值为

类型二：利用超越不等式比较大小

典型例题

例题1.（23-24高二下•北京丰台•阶段练习）己知。=[,6=&-l,c=lng,则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

4i「

例题2.（23-24高三下•海南省直辖县级单位•开学考试）若。=111二6=二,0=庭-1,则a,0,c

34

的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2022I

例题3.（2024•全国•模拟预测）已知-袍，b=ln2024-ln2023,c=sin-,则（）

a—c2023

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

练透核心考点

1.（23-24高三下•全国•阶段练习）已知。=，5=lng,c=（log67-l）ln5,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2024•甘肃陇南•一模）若〃=2，b=7°」,c=e°2,贝|（）

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

i7074-J-

3.（23-24高二下•浙江•开学考试）已知〃=—L-,b=ln丝=c=e2024—1,则（）

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式

典型例题

例题1.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数〃x)=or-lnr-l的最小值为0.

(1)求。.

(2)证明：(z)ex-e2lnx>0；

5)对于任意〃eN*,(l+gmi+

例题2.(2024•云南昆明•模拟预测)已知函数〃x)=[l-7卜'-a.

⑴若〃x)..0,求。的取值范围；

(2)证明：若/(%)有两个零点七则玉+々>2.

例题3.(2024,黑龙江齐齐哈尔,二模)已知函数/(%)=alnxd-------GR.

(1)当4=2时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)当兀20时，证明：exln(x+1)+e-x-cosx>0.

练透核心考点

1.(23-24高二下•浙江嘉兴•阶段练习)已知函数f(x)=xinx-x+l.

⑴求函数“X)的最小值;

⑵若直线y="x+人是曲线_y=/'(x)+ex的切线，求a+b的最小值;

⑶证明：lnV2+lnV3+---+ln,,2^Vn>---—(»eN*,n>2

2n+1v

2.(23-24高三上•宁夏石嘴山•期末)设函数/(%)=%-aln(l+x).

⑴讨论了(x)的单调性；

⑵证明：VnGN\l+^+-+--«+->ln(n+l).

23n

3.(2022•全国•模拟预测)已知函数/(%)=2.足%+。85%+兀，4ZGR.

(1)当。=2时，研究/(九)在(-兀㈤上的单调性；

(2)①求证：lnx<x-l；

②当1=0,时，求证：/(x)>21nx+4.

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式

典型例题

例题1.（23-24高三下•江西・开学考试）已知函数〃尤）=2.1

-lnx-1•

（l）5ga=-log2e,Z?=0,求的极值;

⑵若a,6e（O,l）,设玉=1,匕+1=〃匕）.证明：

（i）相<乙+|

...、4伍—1)

(II)%-％+2<:,.I