上海市某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试卷4

上海市顾村中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若直线.//平面二,直线方在平面c内，则直线〃与6的位置关系为.

2.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则其侧面积为.

3.表面积为4兀cn?的球的体积是cm3.

4.一个边长为4的正方形的直观图的面积为.

5.已知长方体48co-HB'C'D的棱长44'=3cN8=4cm，/Z)=4cm，则点A到棱

B'C的距离是cm

6.在45。的二面角的一个半平面内有一点尸，它到另一个半平面的距离等于1,则点尸到

二面角的棱的距离为

7.如图，在正方体力BCD-ZdCQi中，AB=\,4〃中点为己则过尸、4c三点的截面

面积为.

27r

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为二

9.若将一个45。的直角三角形的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为45。，

则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于一.

试卷第11页，共33页

10.己知/同是圆柱的一条母线，N3是圆柱下底面的直径，c是圆柱下底面圆周上异于

43的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥4一/2C外接球体积的最小值为

11.如图，在棱长为1的正方体48co-44QD］中，P、Q、R分别是棱48、BC、BBX

的中点，以APQA为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体

48c481GA的表面上，则这个直三棱柱的体积为___

12.如图，在圆锥$_0中，4C为底面圆0的直径，so=oc=r点3在底面圆周上，

且/8=8。•若E为线段上的动点，贝JsEC的周长最小值为——

二、单选题

13.下列命题中，正确的命题是©

A.任意三点确定一个平面

试卷第21页，共33页

B.三条平行直线最多确定一个平面

C.不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行

D.一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行

14.三棱锥S-4BC中，&4_12。,5。_1/瓦则5在底面48。的投影一定在三角形48。的

A.内心B.外心C.垂心D.重心

15.已知平面a和平面£不重合，直线加和"不重合，则a〃尸的一个充分条件是（）.

A.mucz,"u£且加〃“B.加ua,"u£且加///?,〃//a

C.机〃且加〃〃D.m±a,n-L/35.m//n

16.如图，在正方体/BCD_4AG中，£、尸为正方体内（含边界）不重合的两个动点,

下列结论错误的是（）

A.若EWBDI，FeBD，则防_L/C

B.若EeBDi，FSBD，则平面平面48G

C.若EeAC，FeCDj则跖//平面4gq

D.若Ee/C，FwCD一则E尸〃

三、解答题

如图，已知圆锥的底面半径经过旋转轴。的截面是等边三角形必点为

17.r一乙S15,0

试卷第31页，共33页

半圆弧N5的中点，点P为母线网的中点.

Q

(1)求此圆锥的表面积：

(2)求异面直线PQ与SO所成角的大小.

18.如图，在四棱锥中，尸/_L底面/BCD，点£在线段/D上，且

CEHAB.

⑴求证：CEJ_平面尸40；

(2)若四棱锥尸TCO的体积为9,"=1,"。=3,后，/皿=45。，求二面角

6

P-CE-A的大小.

19.如图，已知圆柱OQ的底面半径为1,正VN3C内接于圆柱的下底面圆0,点«是圆

柱的上底面的圆心，线段441是圆柱的母线.

试卷第41页，共33页

(1)证明：直线和3C是异面直线；

(2)求点C到平面4/8的距离：

(3)在劣弧2c上是否存在一点。，满足OQ〃平面448?若存在，求出乙80。的大小；

若不存在，请说明理由.

20.如图，在直三棱柱45C-481cl中，AB=BC=BAC=AAI=2,且£＞、£分别是

4C、4G的中点•

(1)求直三棱柱的全面积；

(2)求三棱锥n/R9的体积：

D—ADEJ

(3)求直线BD与平面ABE所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

21.已知点尸是边长为2的菱形所在平面外一点，且点尸在底面/Be。上的射影是

试卷第51页，共33页

/C与BD的交点o.已知/BAD=60。，△尸。8是等边三角形.

⑴求证：/C_L尸。；

(2)求点。到平面pBC的距离;

(3)若点后是线段AD上的动点.问：点后在何处时，直线形与平面尸Be所成的角最大?

求出这个最大角，并说明点后此时所在的位置・

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号13141516

答案CCDD

1.平行或异面

【分析】由直线q//平面直线6在平面a内，知。〃“或a与方异面.

【详解】解：•.•直线平面a,直线台在平面a内，

则直线°与平面a内任意直线无交点，

:.a//b＞或。与6异面.

故答案为：平行或异面.

2-4n

【分析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.

【详解】由题意，圆柱的底面半径为1,母线长为2,

根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为$=2nM=2兀xlx2=47r-

【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式,

准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

3,把

3

【分析】利用球的表面积公式求出球的半径〃，再由球的体积公式即可求解.

【详解】由s=47rH2=47r，解得R=1，

所以忆=3兀相=竺.

33

故答案为：§

答案第11页，共22页

4-4V2

【分析】根据直观图面积是原图形面积的也，即可得出答案.

4

【详解】解：正方形的面积为4*4=16，

所以直观图的面积为16X"=4A/L

4

故答案为：4^2,

5.5

【分析】利用长方体的结构特征，证得力夕即可得解.

【详解】在长方体ABCD-43'C'D'中，2'。_L平面，而N8'u平面/33W，

因此48'_LBt'，所以点A到棱的距离为筋，=J“+/B2=5cm.

6-6

【分析】尸为二面角a-/-尸的一个面a内一点.PO是它到另一个面£的距离，尸。=1,尸”

是它到棱的距离.得出/TWO为二面角a-/-/5的平面角，在放AZHO中求解即可.

【详解】作图如下：

答案第21页，共22页

尸为二面角二-/-万的一个面a内一点.

尸。是它到另一个面B的距离，

PO=1,

尸”是它到棱的距离.

•••POL/3,

POLI,

又PH工「

:.l1平面POH,

得出/10/T

所以/尸〃0为二面角a-/-万的平面角，

APHO=45°.

在RtAPHO中，

PH=——=V2.

sin45°

故答案为行.

【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质及二面角的平面角的定义;把语言文字转化为数学

图形是求解本题的关键;属于中档题;考查学生的空间想象能力.

答案第31页，共22页

7.-

8

【分析】利用两平行直线确定一个平面的方法，作出截面图形为梯形，根据正方体棱长为

1,求出梯形面积即可.

【详解】取CQi的中点M,连接尸则有〃/C，

又4G//NC，所以PM//4C，梯形/CMP即为所求截面•

MC,

根据正方体的棱长等于1,求出梯形各边长,

ACMP

所以梯形的高为

面积s=3拒9

48

pACQ

所以过、、。三点的截面面积为？

8

故答案为：—

【详解】由面积为■一的半圆面，可得圆的半径为2,即圆锥的母线长为2.圆锥的底面

答案第41页，共22页

171

周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为百.所以该圆锥的体积为6d

-----71

3

9.-

6

【分析】直角三角形/8C中，/4BC=90"4B=8C，8Cu平面a，40_La，交。于。，

448。=45。,此时该三角板的斜边与桌面所成的角为44co，求出//C。即可.

【详解】如图,

直角三角形N8C中，

448c=90。，

AB=BC,

8Cu平面a,

AO.La,

交a于o，

ZABO=45°,

此时该三角板的斜边与桌面所成的角为44cO,

答案第51页，共22页

设/B=BC=r

则AC=B

AO^BO=—

2

sinZACO=—

AC2

:.ZACO^30°.

所以该三角板的斜边与桌面所成角为30。.

故答案为:工

6

【点睛】本题主要考查空间立体几何中已知线面角求线面角；把实际问题转化为数学图形

是求解本题的关键;属于中档题;考查学生理论联系实际的能力.

8a

10.--------71

3

【分析】首先根据题意建立八的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值.

设底面圆半径为『，圆柱高设为”则根据圆柱的侧面积为4兀，可得2兀做=，解得

答案第61页，共22页

泌=2.因为V/3C以及均为直角三角形，根据三棱锥4一N3C外接球的性质可知，

['B的中点°即为球心.则串阡国2包/同48「，则HV/72Hr2,所以外接球

「

„^h2Br244提2

的半径R0一-一.三棱锥一/BC外接球体积为（兀1冷所以要外接球体积

。

取小，只需要代国厂2最小即可，又不等式可知力2）：[2O/zO2ra4MH8，当且仅当

h=2r时，即r宙，h92时成立.故三棱锥4一㈤?。外接球体积的最小值为

4

3-

故答案为：述兀.

3

3

11.—/0.1875

16

【分析】分别取/£»j,£»[C,3Q]的中点用@,尺]，连接尸々,00],应H结合棱柱的结构特征可得几

何体PQR-4。内是三棱柱，再证明BD,_L平面PQR,得到三棱柱PQR-耳。四是直三棱柱

求解.

【详解】连接皿℃目2,分别取其中点,连接尸巳00],欣],如图，

答案第71页，共22页

则比IIBDJIQQ,"RR、,且W==欧=；即，可得几何体PQR~々。内是三棱柱，

又PQ_LBD,PQLBB「且BDcBB\=B，于是PQJ■平面，

而3D]U平面BBQD,则尸同理尸R_LB〃，又PQcPR=P,PQ,PRu平面PQR，

因此8口_L平面PQR,即三棱柱PQR-PXQXRX是直三棱柱，

由正方体ABCD~4MA的棱长为1,得PQ=PR=RQ=母,PP、=QQ、=幽=g,

PQR-PMV33

所以直三棱柱的体积为y=%.PRX-------=——

4l2J216,

故答案为：—

16

【点睛】关键点点睛：根据题中信息，作出几何体，再证明该几何体是直三棱柱是本题的

关键.

⑵V3+V2+1

【分析】将三角形以8和三角形/8C展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案•

【详解】连接08，依题意SO_L平面/BC，而O4O8,OCu平面N8C，

答案第81页，共22页

所以SO_LQ4SO,OB,SOJ_OC,AB=BC，。是NC的中点，则08_L/C，

由于5。=。。=1,所以&4=5。=58=/3=0，

则三角形”8是等边三角形，三角形/8C是等腰直角三角形，

将三角形"8和三角形N8C展开在同一个平面，如下图所示，

连接完父4B于E'在二•角形S/C中，

由余弦定理得SC=^2+4-2x72x2xcos(60°+45°)

=^6-4A/2(cos60°cos45°-sin60°sin45°)

=J4+26=也+1)=V3+1，

所以ASEC的周长最小值为G+0+r

故答案为：V3+V2+1

13.C

【分析】在/中，不共线的三点确定一个平面；在3中，三条平行直线最多确定三个平面;

答案第91页，共22页

在。中，由线面垂直的性质定理得这两条直线平行；在。中，一个平面中的两条相交直线

与另一个平面都平行，则这两个平面平行.

【详解】解：在/中，不共线的三点确定一个平面，故/错误；

在8中，三条平行直线最多确定三个平面，故8错误；

在C中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，

则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C正确；

在。中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，

则这两个平面平行，故。错误.

故选C

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查逻辑推理能力与空间想象能力，是中档题.

14.C

【分析】先画出图形，过S作SOJ,平面/3C，垂足为0，连接40并延长交8c于a，连

接可推出结合szJ_5C，根据线面垂直定理，得证_SCJ_A0，同理可证

AB1CO,从而可得出结论.

【详解】过s作SO_L平面45C，垂足为0，连接40并延长交5C于〃，连接CO

SO1BC

又S/_L8C'S0nS/=S

.•.2C_L平面&40

答案第101页，共22页

又/Ou平面S/。

:.BC±AO>同理AB_LCO

:.O是三角形48c的垂心.

故选C.

【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，

以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在

证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.

15.D

【分析】根据空间中直线、平面的平行关系进行逐项判断即可.

【详解】A.若且m//n，此时和仅可以相交或平行，故错误；

B.若仅ua,"u尸且//6,”//a，此时。和£可以相交或平行，故错误；

C.若加//以,"//£且加〃〃，此时c和£可以相交或平行，故错误；

D.若机_La,〃_L/?且加〃"，则有两个不同平面和同一直线垂直，则两平面平行,

所以以//6，故正确；

故选：D.

16.D

【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正

方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD.

【详解】

答案第111页，共22页

对于A,AC1BD,£)R_L底面A8CD,/Cu底面/BCD,则DR_L/C,

又u平面团》)|，则NC_L平面BO。，EFu平面BDDj所以

EFVAC，A正确;

对于B，4G〃/c，则4G，平面2。〃，又44u平面4(7田，则平面/。田，平面

BDD1>

而平面与平面BEr重合，平面8EF_L平面48G，B正确;

对于C,在正方体N8CD-44G中，ADJ/BC\,A\B//D©，

而/々a平面GBU平面则4)//平面4G2，同理cp〃平面4c田,

又AD,nCD1=。,ADl,CDlu平面AD.C，因此平面ADXC//平面4G2，

由所u平面/OC，得£///平面4c|5，C正确；

答案第121页，共22页

对于D,由于分别为"e上的动点，则隼与三不一定相等，斯与皿不一定

AE

FDt

平行，D错误.

故选：D

17.（1）10

（2）arctan

3

【分析】（1）根据已知利用公式求得底面积和侧面积即可得出结果.

（2）取。/的中点连接又点尸为母线的中点，所以产M//OS，故NKPQ为

P0与S。所成的角，计算即可得出结果.

【详解】（1）...圆锥的底面半径，一o,截面三角形&42是等边三角形，

r一乙

OS=2后&1=4,

底面积S[=nr1=4乃，侧面积S2=%尸,&4=%x2x4=8%,

，圆锥的表面积$=耳+$2=4%+8%=12万・

（2）取O/的中点连接又点尸为母线网的中点，所以尸河//OS,故NMPQ为

P。与S。所成的角.

由々R2,QM=1，点。为半圆弧48的中点，知O°_L4B,在MAMOQ中，

MQ=5日

在仆“中，PM、SO=0

2

在放二顶中，,a。”逛=卓二姮,/必。（0,外

PMy/33I2；

答案第131页，共22页

所以NMPQ=arctan'

所以求异面直线尸。与S。所成角的大小为.an第

18.(1)证明见解析

(2)arctan；

【分析】(1)利用线面垂直的性质、判定推理即得.

(2)由(1)的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形

中求出解即可.

【详解】(1)由底面Age。，CEu平面/BCD，得P4工CE，

由ABLAD,CE//4B,得CE_L/D，而尸/c/。=u平面尸，

所以CE_L平面尸•

(2)由(1)知，c£_L平面尸40，而P£u平面尸40，则CE_LPE，又CELAE'

因此NPEN是二面角2_(7£_/的平面角，

在RtAECD中，DE=C£>cos450=\,CE=COsin45°=1，

显然CE=AB=1,AB〃CE,四边形48CE为矩形，于是BC=4E=2,

答案第141页，共22页

p_ii1qPA—i

而四棱锥的体积6>TB8=：S/BC».P/=：X=(2+3)X1.尸/=?,解得小T,

3326

.RIAPAE,PA11

在中，tanZPEA=——二—,m因止ir匕/?E4=arctan—,

AE22

所以二面角P-CF—A的大小为arctanL1

2

19.(1)证明见解析；

⑵之

2

(3)存在，ZBOD=-.

6

【分析】(1)利用异面直线的判定推理即得.

(2)先作出点C到平面的距离CM,再解三角形去求CW的长即可解决.

(3)利用面面平行性质定理去作出点D,再利用等边三角形的性质去求N3QD的大小

【详解】(1)依题意，5Cu平面48C，Ne平面48C，4任直线3C,而4e平面48C，

所以直线AA,和BC是异面直线.

(2)连接C。并延长交N2于〃，

B

由正△N5C内接于圆柱的下底面圆。，得071.%,又44]_L平面N8C，

答案第151页，共22页

CMu平面/BC，则44］_LCM，又441n4s=/，/&u平面//d，/2u平面440,

AA

因此CM'平面『B,所以点c到平面的距离为CM=2OC=2.

22

（3）连接oq,在平面N3C内过点。作OD//43交劣弧死于。，连接0Q,

由OQ///4，OO|U平面4/8，44IU平面44B，得O。"/平面

由。。〃/8，平面/8u平面4/2，得8//平面4/2，

又ODcOOi=O,。。,。。］匚平面。。。］，则平面。0。1//平面44B，

又。Qu平面。OQ,则。0//平面连接。瓦贝50。=//3。=%/2。=_,

26

所以劣弧5c上存在一点己满足物〃平面也，"啖

2°・⑴40+6；

(2)|;

2

(3)arcsiny.

【分析】（1）利用直棱柱的全面积公式计算即得.

答案第161页，共22页

(2)利用等体积法，转化为求的体积即可.

(3)利用上问求出点。到面/BE的距离为"，借助线面角的定义即可求出线面角.

【详解】(1)在直三棱柱NBC-481G中，AB=BC=,AC=AAt=2,

由=4=4。2,ABC=90°>

该棱柱的两底面积为2s“BC=2XLB2=2,侧面积为(N3+8C+/C)必=4四+4,

△TIQJ2

所以直三棱柱/3C-48cl的全面积为4亚+6•

(2)在直三棱柱48C-481G中，由。,E分别是ZC,4G的中点，得ED//A/，

而"八平面"J则皿平面,SC,由⑴知，S"D3"BC=L

t^/iDU22

又DE=A4=2,则喔」$0旧=人：2」，而公鹿=嚷叫

Ci—A.DU3LAADU323

所以三棱锥"一"8"的体积为;.

(3)由(2)知％…£=；，设点"到面”"的距离为"，

,BE中，AB=6AE=BE=V22+l2=V5

由/小='S△界-d=L得d=2,设直线8D与平面RM所成角为则sina=-^―2

U—ADE3匕33BD3

所以直线夕口与平面ABE所成角的大小为arcsi」.

3

21.(1)证明见解析

答案第171页，共22页

（2）亚；

5

（3）arcsing,“在线段上与"点相距;处

【分析】（1）由题可得尸0j_平面/gey），故尸0/c，根据麦形的性质可得8。/c，

再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；

（2）由题干数据结合七咏=VP_BDC即可求解；

（3）由线面平行的判定定理可得