上海市闵行区2024-2025学年上学期八年级期中数学试题（含答案解析）

上海市闵行区闵松集团2024-2025学年上学期八年级期中数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如果标与A是同类二次根式，那么加的最小正整数值是（）

A.2B.3C.6D.8

2.在下列各式中，二次根式五+6的有理化因式是（）

A.s[a+4bB.sfa-s/bC.\[a+bD.sja—b

3.一元二次方程（1+3力"-3）=2/+1化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常

数项分别为（）

A.1,8,4B.1,-8,-4C.5,8,4D.5,-8,-4

4.已知方程一一区+°=0,有一个根是大0）,则下列代数式的值恒为常数的是（）.

a

A.abB.—C.a+bD.a-b

b

5.下列命题中，真命题的是（）

A.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

B.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

D.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

6.如图，在VN8C中，ADJ.BC于点、D,BE工AC于点、E,AD、BE交于点、F,且4D=BD,

那么下列结论中错误的是（）

A.DAFE=^ACBB.NCBE=NCADC.FE=FDD.DC=FD

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二、填空题

7.如果代数式运1有意义，那么x的取值范围是.

X—1

8.如果方的整数部分是。，小数部分是6,那么多的值是________

b

11.请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形

式：.

12.一元二次方程/-尤+4=0的根的判别式的值是.

13.在实数范围内分解因式：-X2-4^+7=.

14.如果二次三项式/+（24+3）x+（"l『是完全平方式，那么后的值是.

15.如图，某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线/-B-C表示墙，墙足够高）改建

室外篮球场，已知/8=8米，BC=70米，现计划用总长为136米的围网围建两

个矩形篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示图网，两个篮球场之间用围网

GH隔开），为了充分利用墙体，点下必须在线段3c上，如果围成的篮球场2A好的面积

为1200平方米，设环的长为x米.那么根据题意可列方程为.

%----牛----^-C

A

16.2024年世界互联网大会乌镇峰会将于11月19日至22日在中国乌镇举办.本次峰会将

全面聚焦人工智能，目前人工智能技术涵盖基础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技

术类等几大领域某高校开设了人工智能相关选修课程（一年修满学分），已知2022年和2024

年分别报名学生100人和169人，2022年、2023年和2024年每年的报名人数平均增长率相

同，那么这个年平均增长率是.

17.如图，在V/8C中，力D平分/8/C,29_1/。于点尸,4B=8,BP=6,4C=20.NC=a,

那么443C=（用含。的代数式表示）.

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A

18.如图，已知四边形NBC。中，//2C是锐角，AB=BC=CD=AD=3.过点/作

交3C于点£,将CA沿直线/翻折至45所在直线，对应点分别为。、D，,如果NC=1,

那么8E=.

三、解答题

19.计算：3V18+1V50-4^|LV32

■\/3—V2V3+V2

20.己矢口无=求代数式尤2+3k+必的值.

国ar昨V3-V2

21.用配方法解方程：x2+4x-3=0.

22.解方程：（X-3）2+2（X-3）-24=0.

23.已知关于x的一元二次方程/+（24-l）x+,2-1）=0无实数根.求关于y的一元二次方

程y"-土。根的情况.

24.如图.己知V/8C中，ZACB=90°,点。是边上一点.连结CD,过点。作工CD,

交BC于点、E,且有/C=4D=CE.求证:

⑴NACD=NCED；

Q）CD=2DE.

25.【探究思考】（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常

用的方法.已知，如图1,V48C是等边三角形，CE是V/BC的外角4CF的平分线，点

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。为射线8c上一点，且/4DE=/Z3C,DE与CE相交于点E.我们可以过点。作/C的

平行线，交AB于点、G,构造得到(填两个全等三角形)，来证明=请根

据以上提示在图1中作出相应的图形.

图1

【问题解决】(2)如图2,在V4BC中，AB=BC,在边8c上取一点。，以。为顶点，AD

为一条边在40的右侧作=点尸在BC延长线上，ZECF=ZACB.

②如图3,当点。在8c的延长线上时，=是否依然成立？请说明理由

26.在V48c中，ZACB=90°,AC=BC,点、D为边BC上一点，连结AD,过点C作CE，AD

于点R交4B于点£,点G是线段4D上一点.

(1)如图1,连结CG,如果N/CG=4B,求证：AG=CE；

(2)如图2,连结8G交CE于点尸，如果点P恰为2G的中点，求证：AG=2FP；

(3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为1：及，在(1)的基础上，连结。£、EG,

当CO=DE=1时，求四边形Q)£G的面积

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参考答案:

题号123456

答案BBBCAC

1.B

【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，首先

得出M=4g,再根据同类二次根式的定义令加=3即可得出结论.

【详解】•.・A=46，

且而与屈是同类二次根式，

"7=3时，成立

，%的最小正整数值是3,

故选：B.

2.B

【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可.

【详解】解：V(Va+yfb\yfa-\[b)-a-b

二夜+新的有理化因式是布-斯，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

3.B

【分析】方程(l+3x)(x-3)=2/+l经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到

二次项系数、一次项系数和常数项.

【详解】解：将(l+3x)(x-3)=2f+i左边展开得：

x-3+3x~—9x=2x?+1,

移项、合并同类项得：X2-SX-4=Q,

..•二次项系数，一次项系数，常数项分别为L-8,-4,

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式办2+bx+c=0(。、6、c为常数，a^O),其特

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征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0,其中办2叫做二次项，〃叫做二次

项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.

4.C

【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可.

【详解】,・•方程V—瓜+〃=0,有一个根是—

••+ab+a=0,

+Z?+1)-0,

；・a+6+1=0,

••a+b=-1,

故选：c.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定

义是解题的关键.

5.A

【分析】本题考查的真命题和假命题判断，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.利用

全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可.

【详解】解：A、如图，AB=A'B'，AC=A'C',AD,4。是中线，且=则

ABCA'B'C.理由：

延长40、A'D,使DE=AD,DE=AW,则

ABDEaCDA,

BE=AC,

同理可证=

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BE=B'E'，

在V48c和A/'B'C'中,

AB=AB,，BE=B'E',AE=AE'<

:.YABE到A'B'E',

ABAD=AB'Ad,

同理可证

ACAD=ACAD',

ABAC=ABAC'，

又AB=A'B'，AC=A'C',

ABC^A'B'C,是真命题；故该选项符合题意;

B、两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图:

,VABC/\ABDAB=AB,AC=AD,第三边上的高都是NX,

两个三角形不全等，是假命题，故该选项不符合题意;

C、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意；

反例：如下图，在V/8'C和VN8C中，AC=AC,BC=眦高AH=AH,NABCABC

不一定全等；

D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也可以全等，如在直角三角形中运用HL,

即可证明两个三角形全等，是假命题，故该选项不符合题意；

故选：A.

6.C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角

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形的判定和性质是解题的关键.根据直角三角形的性质可判断A,B选项，证明

△8。厂部40c(ASA),可判断C,D选项.

【详解】解：：BEVAC,

：.ZADC=ZAEB=90°,

：.ZCAD+ZACB=90°,ZAFE+ZCAD=90°,

ZAFE=ZACB,故选项A正确；

ZBEC=ZADC=90°,

ZCBE+ZACB=ZCAD+ZACB=90°,

ZCBE=ZCAD,故选项B正确；

在A8Z)尸和A4DC中，

-ZCBE=ZDAC

<BD=AD,

NBDF=NADC=9。。

：.ABDF经ADC(ASA),

DF=DC,故选项D正确；

ABDF义ADC,

ABDF和AAEF不可能全等，

；.EF手DF,故选项C错误；

故选：C.

7.x2-3且x/1

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数.

【详解】解：由题意得，x+320且无TwO,

解得x2-3且xW1.

故答案为：》2-3且工工1.

8.2亚+4

【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，分母有理化，能够正确的估算出无理数的大小,

是解答此类题的关键.先对方估算出大小，从而求出其整数部分。和小数部分是6,再进

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一步表示出:分母有理化即可.

b

【详解】解：...万〈石〈正,

2<V5<3;

a=2,b=y/5—2;

j22a+2)

275+4.

~bV5-2(V5-2)(V5+2)

故答案为：2行+4.

9.x6-y&

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和因式分解的方法得到

尤-y=(a+6)(«-6)，再把除法化为乘法，然后约分即可求解，掌握运算法则是解题

的关键.

【详解】解：根据题意得：x>0,y>Q,且XX九

故答案为：Xy[y-y4x.

10.—s/l—x

【分析】根据二次根式的性质确定l-x>0；然后将x-1变形为-(1-x),并将(1-x)平方后移入

根号内，最后进行化简计算即可

【详解】解：由题意可知l-x>0

故答案为：-Jl-x

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【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，移非负因式于根号内时，要将根号外面的非负

因式平方后移入根号内，在移动过程中要特别注意字母的取值范围（隐含条件），从而判断

结果的符号.

11.如果两个角是对顶角，那么它们相等.

【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命

题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简

单.命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在

“那么”的后面.

【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，

故写成“如果…那么...”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；

故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等.

12.-15

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义

求解即可，熟知对于一元二次方程*2+瓜+。=0（°片0）根的判别式A=是解题的关

键.

【详解】解：a-1,b=-\,c=4,

A=（-l）2-4xlx4=-15,

故答案为：-15.

13.-（x+2-2+

【分析】本题考查了利用解一元二次方程分解因式.先解方程-/一八+7=0,然后把已知

的多项式写成。（》-西）卜一工2）的形式即可.

【详解】解：f2-4x+7=0

x2+4x-7=0

x2+4x=7

x2+4x+4=11

（x+2）2=11

x+2=±VH>

解得：=—2+\/n,x2=—2—Vn；

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-x2-4x+7=-[x-(-2+VrT]Jx-(-2-VTl)]=-(jc+2-VrT)(x+2+VH).

故答案为：-(x+2-A/IT)(X+2+J'T).

14.-L-0.25

4

【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用完全平方公

式的特征判断即可得到k的值.

【详解】解：••一+(2左+3)x+("l『是二次三项式，

2'+3卜0且左一1一0,

3

.**k手—且左wl,

2

二次三项式f+(24+3)x+(4-1)2是一个完全平方式，

；.±(2左+3)=2(左一1),

当(2左+3)=2("1)时，方程无解；

当一(2左+3)=2(左一1)时，解得：k=_g.

故答案为：-二.

4

15.x(150-3x)=1200

【分析】此题主要考查的是一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.根

据围成的篮球场8DE尸的面积为1200平方米，列出关于x的一元二次方程即可.

【详解】解：•••跖的长为x米，

/.DE=136+3+3-(3x-8)=150-3x,

由题意可得，x(150-3x)=1200,

故答案为：尤(150-3尤)=1200.

16.30%

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年平均增长率是尤，根据题意列出方程即可，

根据题意列出方程是解题的关键.

【详解】解：设年平均增长率是x,

答案第7页，共18页

°?169

根据题意列方程：100（1+X）2=169,BP（l+x）,

解得：再=-2.3（不合题意，舍去），％=03=30%,

故答案为：30%.

17.3a

【分析诜延长BP交AC于E,根据已知条件、结合ASA易知"BP会"EP，从而有BP=PE,

AE=AB,ZAEB=ZABE,易求=12,4£=8,那么CE=12,可知△£5C为等腰三角形,

那么/£3C=/C=a,结合三角形外角性质可得44EB=2a,最后用

ZABC=/ABE+ZEBC即可求得.

【详解】解：延长5尸交/。于£,

4D平分NBAC

*/BP1AD

：.ZAPB=ZAPE=90°

・••在MB尸与△/£尸中:

ZBAP=ZEAP

<AP=AP

AAPB=ZAPE

：.小ABPWAEP

：.AE=AB=8,BP=PE=6

：.CE=AC-AE=n,BE=PB+PE=n,

：.CE=BE

：.ZEBC=ZC=a

：.ZAEB=ZABE=2a

/ABC=ZABE+ZEBC=a+2a=3a

故答案为：3a.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性

质.关键是作辅助线，求证AEBC是等腰三角形.

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18.2

【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，正确补图是解

决本题的关键.记直线/与CC',。。'的交点分别为G,"，连接8。，证明出A/BE学△C8U,

则8。=8后，即可求解.

【详解】解：记直线/与CC',。。'的交点分别为G,",连接5。

*.*AB=BC=CD=AD=3,BD=DB,

・・・八ABD知CDB,

Z1=Z2,

・・・AB//CD,

由翻折得：N3=90。,

・・・N4=/3=90。，

AEYBC,

：.Z5=90°,

・•・Z4=Z5,

■:NABE=NCBC',BA=BC

AABE^ACBCr,

：.BC=BE,

AC=\,

：.BC=3-1=2,

：.BE=2.

故答案为：2.

19.2

【分析】先化简二次根式，能合并的合并，再做除法.

【详解】解：原式=（9行+亚-2后）+4行，

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=8拒+4&，

=2.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握二次根式的运算，注意运算顺序是解题的关键.

20.101

【分析】分母有理化得，尤=5-2而y=5+26,x2+3xy+y2=(x+y)2+xy,代值求

解即可.

【详解】解：

百-"匠也磨_6]=，+这一回内田Q&

一6+亚一(6+@便-五)一'-djcj(/#j

x2+3xy+y2-(x+y+xy-(5-26+5+26)+,-2+2101，

，代数式f+3xy+yi的值为101.

【点睛】本题考查了分母有理化，完全平方公式,二次根式的混合运算，代数式求值等知识.熟

练掌握分母有理化，完全平方公式，二次根式的混合运算，代数式求值是解题的关键.

21.X]=—2+y/7,尤2=-2—s/l

【分析】用配方法解一元二次方程即可.

【详解】解：⑴X2+4X-3=0,

移项得，x2+4%=3>

两边力口4得，x2+4x+4=7,

配方得(尤+2)2=7,

两边开平方得，x+2=±S",

尤+2=x+2=-

玉=-2+,X]=-2-y/1

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是明确配方法的步骤，熟练运用配方

法解方程.

22.X1=-3,x2=7.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

答案第10页，共18页

【详解】解：(X-3)2+2(X-3)-24=0,

(x-3+6)(x-3-4)=0,

x—3+6=0,x—3—4=0,

X］——3,x2=7.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解

一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法.

23.一元二次方程/+2了-］左=0有两个不相等的实数根

4

【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况.熟记相关结论即可，对于一元二

次方程尔+foc+c=0（aw0）,\=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根；若

A=Z>2-4«C=0,则方程有两个相等的实数根；若△=/一4ac<0,则方程没有实数根.据

此即可求左的取值范围.根据k的取值范围可得方程y+2y-9左=0根的情况.

【详解】解：••・关于X的一元二次方程/+（2左-l）x+（『-l）=0无实数根，

A=（2左一l）2—4x（左2_i）<0,即一4左+5<0,

解得：上

4

在关于y的一元二次方程式+2y-；左=0中，

A=22_4x1_；左］=4+左,

•：k>~,

4

：.4+/c>—>0,

4

一元二次方程y2+2y-h=0有两个不相等的实数根.

4

24.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识

点的掌握是正确解题的关键.

（1）由垂直的定义得到/CD£=90。，再根据乙4c8=90。，结合直角三角形的性质即可证

明结论；

答案第11页，共18页

(2)取CD的中点R连结/尸，贝IJC尸=。尸=!。，由等腰三角形的性质得到

2

ZAFC=ZCDE=90°,由(1)知44CD=NCEO；证明A/CF丝ACEO(AAS),即可证明结

论.

【详解】(1)证明：•••N/C8=90°,

ZACD+ZBCD=90°,

,：DELCD,

：.NCDE=90°,

：.ZCED+ZBCD=90°,

：.ZACD=ZCED；

(2)证明：取CD的中点凡连结4F,则C尸=。尸=!。),

2

ZAFC=ZCDE=90°,

由(1)知44cD=/CED；

•••AC=CE,

:.AACFACED(AAS),

CF=ED,

:.CD=2DE.

25.(1)ADCE=AAGD

(2)①证明见解析；②4。=DE依然成立，理由见解析

【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判

定是解决问题的关键.

(1)按照要求作图，根据等边三角形的性质，并用ASA证明AZ)CE="G。即可.

(2)①过点。作NC的平行线，交N8于点G〃，同(1)问，根据等腰三角形的性质，平

答案第12页，共18页

ZAG'D=ZDCE

行线的性质得出与"G'D中，有卜G'=CD,用ASA证ADCEMA/GE）即可

ABAD=ZEDC

得出结论.

②过点。作NC的平行线，交于点G",同（2）问，根据等腰三角形的性质，平行线的

'AAG"D=NDCE

性质得出△OCE与A/GZ>中，有,用ASA证=即可得出结

/BAD=ZEDC

论.

【详解】（1）如图所示，过点。作/C的平行线，交4B于点G,

NBDG=ZACB,NBGD=ABAC,ASA证明^DCE=^AGD即可.

・••V48c为等边三角形，

NABC=NACB=ZCAB=60°,

ZBGD=ZBDG=60°,

/.BD=BG,

BC-BD=AB-BG

/.AG=CD,

ABAD+ZABC=ZEDC+ZADE,

又丁ZADE=ZABC

・・./BAD=/EDC,

•・•ZBGD=60°,

AAGD=120°,

•・・是V/5C的外角N4c厂的平分线，

又•.•ZC5=60。，

:.ZACE=60°,^DCE=60°+60°=120°,

ZAGD=ZDCE,

在△OCE与△4G。中，

ZGD=/DCE

<AG=CD,

/BAD=/EDC

答案第13页，共18页

ADCE=AAGD(ASA),

AD=DE.

(2)①如图所示，过点。作/C的平行线，交45于点G"

/./BDG=ZACB,/BGD=ABAC,

•••AB=BC,

NBAC=NACB,

/BGD=ZBDGr,

;.BD=BGf,

BC-BD=AB-BG'

/.AG'=CD,

•・•ZBAD+ZABC=NEDC+ZADE,

又丁ZADE=ZABC

・・./BAD=ZEDC,

/.ZECF=ZACB=ZBGT),

/.ZAGD=ZDCE,

在△口?£'与中，

/AGD=ADCE

<AG=CD,

/BAD=ZEDC

/.^DCE=^AG'D(ASA),

②=依然成立，如图所示，过点。作4。的平行线，交AB于点、G",

答案第14页，共18页

/./BDG"=ZACB,/BG〃D=ABAC,

AB=BC,

NCAB=ZACB,

/BG”D=ABDG",

BD=BG",

:.BD-BC=BGn-AB

:.AG'=CD,

ZBAD-ZABC=ZEDC-ZADE,

又丁ZADE=ZABC

丁./BAD=ZEDC,

/.ZECF=ZACB=ZBG'D,

ZAG,fD=ZDCE,

在△DCE与△4G。中，

AAGnD=ZDCE

<AGr,=CD,

/BAD=/EDC

QCE=^AGD(ASA),

AD=DE.

26.⑴见解析

⑵见解析

⑶当

2

【分析】(1)根据直角三角形的性质易证NG4D=/BCE,根据ASA证明ANGC0ACEB,

进而可证AG=CE；

(2)延长CP至使FP=PH,连接58,证明AGEPGA班9,得到G尸=8”,

ZBHP=ZGFP=90°,再证明A/CF0ACB”,得到4F=/G+GF,CH^CF+FH,即可

得出结论；

答案第15页，共18页

(3)延长CG交于点P,连接GE,DE,由题意易证ACDE是等腰三角形，根据等腰三角

形三线合一易得=,CG=CE,证明ANDC丝“。E（SAS）,得到

ZAED=ZAC