上海某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试题

上海南汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若p：=30，贝！1"=----

2.若球的半径为2,则此球的表面积是—.

3.已知而成=（3,0,2）,元=（%0,4），若肠〃为，则苫=-----

4.若直线.〃平面覆，直线6在平面凌上，则直线〃与6的位置关系是——.

5.如图，以长方体44G2的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线

为坐标轴，建立空间直角坐标系，若函的坐标为（4,3,2）,则离的坐标为

6.若正四棱柱百G2的底面边长为2,高为4,则直线2。与平面BfCG所成角

的正切值是一

7.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都

有的选法有一种.（用数字作答）

8.在正方体48cz中，二面角a-48-。的大小为----

9.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为_；

10.从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数％出％为%

（满足%>%>%<%<生），则这样的“五位凹数”的个数为——.（用数字作答）

试卷第11页，共33页

1L若(l+Zxy…+&3》2。24,〃=2(/+/+…+.24)'则正整数"的个

位数为

12.如图，正方体4BCD-44G。]的棱长是4,E是£)2上的动点，P、尸是上、下两底

面上的动点，0是中点，EF=2,则的最小值是___.

二、单选题

13.已知a、尸表示两个不同的平面，机是一条直线且加utz,则〃?，万是a_LQ的

()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.已知乘积(％+%)伯+%+&)(C]+c2+c3H-bc“)(77eN,〃21)展开后共有6。项,则"

的值为()

A.5B.7C.10D.12

15.如图，正六棱柱中，/是一个顶点，耳《=1,2,…,11)是除4外的其余11个顶点，贝1J

亚.亚J1,2,…11)的不同值的个数为()

试卷第21页，共33页

C.7D.4

16.在长方体/BCD-44CQ］中，AAt=AD,AB:AD=A,(A>0)<£是棱/力的中点，

点P是线段QE上的动点，给出以下两个命题：①无论2取何值，都存在点P,使得

PC1BD;②无论4取何值，都不存在点P,使得直线Ng,平面尸BC.贝U().

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

三、解答题

17.3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目.

(1)学生甲不在最左边；

(2)3名男生必须排在一起.

18.已知在(3x2+1］的二项展开式中.

(1)若〃=6,求展开式中含/项的系数；

(2)若展开式含有常数项，求最小的正整数”的值.

19.某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,

试卷第31页，共33页

其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为36兀cm，高为

45cm,圆锥的母线长为30cm.

(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到(Hen?)；

(2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少

元？(结果精确到1元)

20.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究

成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉

三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式

左右

积积

第

本积o行

商积。第1

行

第2

行

四一品立善建第3

行

第4

第

5行

乘

君

售

五㊅-O

第6

行

以

右

命

中

左•

谦

袤

:行

实

藏

袤

第

乘

乃

而

〃

者

乃

商

隅

第

除

皆

积

-1行

〃

方

算

之

廉

数

图

⑴求图2中第11行的各数之和；

(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有

数之和；

(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14?若存在，试求出

这三个数；若不存在，请说明理由.

试卷第41页，共33页

21.如图，在四棱锥「一/台。中，已知产工人平面且四边形NBC。为直角梯形,

-4mAB=BC=\

⑴证明：“5JD；

(2)线段CP上是否存在一点M,使得直线垂直平面PC。，若存在，求出线段工”的长,

若不存在，说明理由；

(3)点。是线段2P上的动点，当直线C。与。尸所成的角最小时，求线段8。的长.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号13141516

答案ACBC

L6

【分析】利用排列数公式额可得出关于〃的等式，即可解得正整数〃的值.

【详解】因为P：="("-1)=30，即/—“-30=(”-6)(“+5)=0，

因为“22且“eN*，故”=6.

故答案为：6.

2-16TT

【分析】利用球的表面积公式直接计算可得结果.

【详解】由球的半径为2,可得此球的表面积是s=4兀22y兀.

故答案为：16兀

3.6

【分析】利用空间向量平行的坐标公式，即可得到结果.

【详解】•.•而//元，.•.而=而

3=A_J_x=6

.♦.<0=4.0，解得：2,

2=A-4

故答案为：6

4.平行或异面

【分析】由直线°与直线6没有公共点可得结论.

【详解】由直线々〃平面a得直线“与平面a没有公共点，

答案第11页，共22页

由直线b在平面«上可知直线°与直线6没有公共点，故直线°与直线6的位置关系为平行

或异面.

故答案为：平行或异面.

5♦(-4,3,2)

【详解】如图所示，以长方体48co一4耳。。1的顶点。为坐标原点，

过。的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,

因为函的坐标为(4,3,2),所以/(4,0,0)C(0,3,2)，

所以范=(-4,3,2).

6.

1

【分析】根据题意，由线面角的定义可知，2c为直线2D与平面2RCG所成角，代入

计算，即可得到结果.

【详解】

D\C,

AB

因为为正四棱柱，则底面48CD为正方形，所以。C_L3C，

答案第21页，共22页

又CC]_L平面N5C£＞，OCu平面N5C£)，所以。C_LCG，

3C,CC]u平面为BCG，BCcCC[=C，所以。C_L平面4BCq，

由线面角的定义可知，/D3C为直线2。与平面4BCG所成角，

r)c

则tan/D8C=—=1.

BC

故答案为：1

7.96

【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解

【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有爆戢=36种选择，

当所选3人中男生2人，女生1人，此时有屋C；=60种选择，

故共有36+60=96种选择♦

故答案为：96

8.-

4

【分析】由线面垂直性质得BqJ_/B，又BCLAB,可得二面角平面角为/弓8。，由

答案第31页，共22页

Q48_L平面2CC4，8cle:平面8cq耳BCX±AB

又BCLAB,8Cu平面48。/C^C即为二面角G-4台一。的平面角

■：ACXBC=-一二面角C「"8一。的大小为生

44

故答案为工

4

【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二

面角的平面角.

9.3

3

【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱

锥的高，然后利用体积公式进行求解.

【详解】

如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4,PA=3,设正四棱锥的高为PO,连接A0,则在直角

三角形尸。,中，PO7P足-Z=加-(2伪2=1,所以

%./BCD[S/BCD•尸0=；*16乂1=与,故答案为

【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质,

属基础题

答案第41页，共22页

10.

126

【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得.

【详解】第一步，从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个，共有C；种方法，

第二步，选出的5个数中，最小的为由，从剩下的4个数中选出2个分给4,％，

由题意可知，选出后“五位凹数而嬴”就确定了，共有c；种方法，

所以满足条件的“五位凹数”共有=126个，

故答案为：126,

11.2

【分析】利用赋值丫7和丫一1求〃，再利用二项式定理的应用，转化为余数问题，即可

求解.

【详解】当x=l时，

6ZQ++Cl2+•••+。2024=3，

当X=-1时，%—%+出+…+。2024=]'

2024

两式相加得2(小+&+...+a20204)=3+l，

„=32024+1=91012+1=(10-1)1012+1

101210111010

=IO-C；012.IO+C^012.IO--10+C；^+1,

由展开式可知，〃的个位数为2.

故答案为：2

12-4V6-1Z-1+4V6

【分析】以48,C,Z＞为顶点，构造棱长为4的正方体-Z'8'C'D'，利用对称性将

答案第51页，共22页

尸4+尸0转化为尸1+尸。，再根据a,四点共线时取最小值完成计算.

【详解】以48,C,O为顶点，构造棱长为4的正方体48。-HB'C'。'，如下图所示:

由对称性可知，PB、=PB'，PB}+PQ=PB'+PQ

又因为E是Z)n上的动点，下是下底面上的动点，所以VZ)1E尸是直角三角形，

又因为。是跖中点，EF=2,所以=g斯=1,

当PB'+PQ取得最小值时，此时Dt,Q,P,B/四点共线，

贝!+==_1=4V6-1，

故答案为：4A/6-1,

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个方面，一方面是找出国关于平面NBCD的

对称点2',从而可将尸耳转化为尸属；另一方面是利用四点共线去分析求解最小值，将线

段和问题转化为两点间距离问题.

13.A

答案第61页，共22页

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可.

【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，机为平面a内的一条直线，如果加J.尸，则

a工/3，故充分性成立；

反过来机为平面a内的一条直线，由a_L^可能有机//尸或％_1_尸或加与尸相交（不垂

直）三种情况，故必要性不成立.

所以“加，。”是“a，0”的充分非必要条件.

故选：A.

14.C

【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有6〃项，即可得力的值.

【详解】易知（%+出）他+8+幻的展开式中共有6项,

则乘积（％+。2）佃+小+.）（6+<2+，34---Fc„）（«GN,«>1）展开后共有6n项,

因此可得6〃=60，解得〃=10.

故选：C

15.B

【分析】利用数量积的定义，分别计算方，在貌上的射影，可以求出亚.数的值，即可

得到答案

【详解】不妨设正六棱柱底面边长为1,高为2.

AP2-API=^AP2|X|^4PI|XCOS30°=A/3xlxgg.

祠.万2=函2=（百）2=3.

亚方3=|珂x府3|xcos3（F=6x2x券=3.

AP2'/尸4=|/乙M4P4|xCOS60°=A/3x6x；=g.

答案第71页，共22页

亚•猊=网x回5kcos90°=V3x1x0=0.

>O

AP2-T!P6=|^4/^|X|^4Z6|XCOS90=V3X2X0=0.

V3

3

亚.不7=网*回7卜COS/,/£=A石x^=

2

*3.

AP2•/尸8=卜闾x14P8|xcos/RAP2=V3XV7

V7

xcosZF^AP,=V3x也

2^-ZP9=|Z^|X|2P9|

G

AP2-APw=^AP2Jx|^Pio|xcosZPl0AP2=y/3xV?x-2^=1-.

4R-T1PII=|^/^|X|^PII|XCOSZ^I^4/^=A/3xV5x0=0.

一共有3类不同结果，故选：B

16.C

【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可.

【详解】

如图所示，假设在长方形中必存在；I使得尸G'BQj

又易知cq1平面4G，B,D,U平面4G，

所以cq_L42，

因为pqcccx=G,Pg、ccxu平面pqc，所以BRI平面pqc,

答案第81页，共22页

又B\DJ/BD，则8。/平面尸。（，

因为PCu平面PC]C，所以2D_LPC，即存在2使得区D_LPC，

但若2=2,如下图所示，不妨设4A=L5x，

过£作CF±交直线于尸，过尸作7WJL"G,

易得4E=4'，幺ER=NERN=45。，所以RN=NP，

又冲口=ZPCtBt=ZC.PN=>2C、N=PN，则QN=x,D、N=NP=2x>D、E=6x，

则尸在Dg延长线上，此时①不成立；

易知*G与BG不垂直，BfJIBC，所以与8c不垂直，

又2Cu平面P5C,所以/G不垂直于平面P5C，即②成立

故选：C

17.（1）4320

（2）720

【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置.

（2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列

【详解】（1）先排最左边，除去甲外有A：种排法，余下的6个位置全排列有A：种排法，

则符合条件的排法共有A；.A：=4320种.

（2）将男生看成一个整体，进行全排列，有A；种排法，与其他元素进行全排列，有A；种

答案第91页，共22页

排法，

则符合条件的排法共有A；.A；=720种・

18.⑴⑵5

⑵5

【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含丁项的系数；

（2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数为°，代入计算，即可得到结

果.

【详解】（1）当"=6时，展开式的通项公式为4M=晨（3/广’

令12=7,解得’=2,所以展开式中含/项的系数为或了力？”

2

（2）展开式的通项公式为T।1]=Cr-3n^rx2"~^r'

令2〃-*r=0,解得厂=3〃，因为，

25

所以当〃=5时，/取得最小值4,此时展开式含有常数项，

所以最小的正整数〃的值为5・

3

19.（1）37661.4cm

（2）625元

【分析】（1）求出外层圆柱体积减去内层圆锥体积即可求得这种“笼具”的体积；

（2）易知纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和，再由“笼具”个数以及每平米的

单价可得总价.

【详解】（1）根据题意可知这种“笼具”的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积；

答案第101页，共22页

由圆柱的底面周长为36兀cm可知，底面圆半径为rfgcm，又高为"=45cm，

所以圆柱体积为jz=直砌=45版4580共cm3

由圆锥的母线长为30cm可知圆锥的高”,=,302—3=24cm，

因此圆锥体积为匕='就物'=必3259知=cm1

233

所以这种“笼具”的体积为匕-%=119887r韶661.4cm3

(2)易知制作1个“笼具”所使用的纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和；

圆柱侧面积为d=36x457t!4207tcm2＞圆柱上底面面积S；=18诙2钿cm2；

圆锥侧面积为$2=18*30兀540兀cm2；

因此制作100个“笼具”需要的网材料面积为100,+5'+$2)=24840031?=24.847tm2,

根据材料的造价为每平方米8元，可知共需24.8471&625元，

20.(1)2048；

(2)166650；

(3)存在,这三个数为45,120,210.

【分析】(1)利用二项式系数的性质求和即可;

(2)利用C：+C：T=C3的性质进行化简求和，得到答案;

(3)设在第“行存在三个相邻的数之比为3:8:14,从而得到方程组，求出答案.

【详解】(1)第11行的各数之和为c：［+C；i+C；i+L+C；；=2"=2048；

(2)杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为

c；+c；+C：+…+C盆=C；+C；+C：+…+C：0c=C：+C；+…+c；oo=c：oi

答案第111页，共22页

""—=16665。

3x2x1

(3)存在，理由如下：

设在第〃行存在三个相邻的数C.1,C：,C：+1，其中左,〃EN*，且左+lw〃，n>2f

C；i,C：,C：+i之比为3:8:14,

k化简得一二=3k+1_8

痂ffi—C"2T—-3-------C---2-

t+ln-k14

dn8'cn14〃一人+18

8左=3〃一3无+3,解得k=3

即

14左+14=8〃一8左n=10

所以这三个数为C；o=45,C：o=12O,C：o=21O-

21.⑴证明见解析.

⑵存在，线段,的长为I技

(3)拽

5

【分析】(1)通过定义法证明线面垂直,即可证出两线垂直.

(2)通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线与

而和丽都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段的长.

(3)通过向量关系表达出的，再表达出而，列出直线CQ与DP所成的角的表达式,

求出最值和最值成立的条件，进而求出线段2。的长.

【详解】(1)由题意，

在四棱锥尸-ABCD中，

PN_L面ABCD,ABu面/BCD，ADu面A8CD，

答案第121页，共2