江苏省泰州市2023-2024学年高一上学期1月期末调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省泰州市2023-2024学年高一上学期1月期末调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意集合，，则.故选：B.2.命题“存在，”的否定为（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，【答案】D【解析】由题意命题“存在，”的否定为任意，.故选：D.3.若角终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角终边经过点，则由余弦函数的定义可得故选：B.4.已知是定义域为的奇函数，当时，，则（）A. B. C.4 D.12【答案】C【解析】由题意是定义域为的奇函数，当时，，所以.故选：C.5.函数的减区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意在定义域内单调递增，若要单调递减，只需关于单调递减，所以函数的减区间为.故选：B.6.可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，连接OG，OM，OH，则，又，所以，化为弧度为，所以扇形的面积为.故选：A.7.已知函数，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，所以，所以.故选：C.8.已知，，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由题意，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点中心对称D.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象【答案】AC【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，，故函数的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故D错误.故选：AC.10.已知正数，满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由题意，所以，故A正确；对于B，，因为，所以，所以，故B正确；对于C，令，则，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】当时，单调递增，其值域为，当时，单调递增，其值域为，由题意的值域为，所以，所以，记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：因为，所以，又因为，所以，所以，要使，则，因为，所以，因为，所以，所以，结合选项可知，实数的值可以是，.故选：BD.12.已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（）A.的值为2 B.C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】对于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但这与②若，则矛盾，所以只能，故A正确；对于B，令，结合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正确；对于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正确；对于D，取，则且单调递增，满足，但，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知幂函数的图象过点，则实数______.【答案】【解析】由题意，所以.14.已知，则______.【答案】【解析】由题意有.15.已知二次函数的部分对应值如下：1246014则关于的不等式的解集为______.【答案】【解析】由已知得必过，代入函数中得，，，解得，，，故，令，解得，即关于的不等式的解集为.16.设是正整数，集合.当，集合有______个元素；若集合有100个元素，则______.【答案】2198或199【解析】由题意当，，周期为，所以，经过去重得此时，即此时集合有2个元素；原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，由对称性可知，只需考虑上半圆盘以及，所以如果集合有100个元素，即相应横坐标的所有可能数为100，则可能是，和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时，还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称），也就是，综上所述，若集合有100个元素，则或.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.设集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）时，，解得，故，，故.（2），，解得，故，因为“”是“”的必要不充分条件，所以⫋，故，解得，故实数的取值范围是.19.已知函数，.（1）当时，求在上的值域；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.解：（1）由题意当时，，若，则，所以在上的值域为.（2）由题意，所以时，，且关于单调递增，若在上单调递增，则由复合函数单调性可知在上单调递增，所以，解得，即的取值范围为.20.已知函数，正数，满足，（1）求的取值范围；（2）求的最小值.解：（1）因为正数，满足，所以，所以，当且仅当时等号成立，又函数在定义域上单调递增，所以，即的取值范围为.（2），因为，当且仅当，即或时，等号成立，所以，即的最小值为4.21.已知函数.（1）判断在上的单调性，并证明；（2）若，且，，都为正数，求证：.解：（1）在上单调递增，证明如下：任取，设，，由，则，故，所以在上单调递增.（2）当都是正数时，，当目仅当时等号成立，则；当中只有一个负数时，不妨设，则，且，由，则，由，则，则，，当且仅当时，等号成立，则，，当中有两个负数或三个都是负数时，不合题意.故得证.22.已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.（1）从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1）由题意，解得，①令，有，等号成立当且仅当，而此时，所以此时恒成立，即函数与的图象在区间上没有公共点，不满足题意；②令，则，，即，且此时的图象连续不断，所以由零点存在定理可知此时存