江苏省苏州市常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角，，因为直线，所以直线的斜率为1，所以，所以倾斜角为.故选：.2.等比数列中，，，则的值为（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，则，因为，所以，所以.故选：B3.直线与圆位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以直线l与圆C相交.故选:4.在数列中，，，则等于（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】由题意知，，当时，；当时，；当时，；当时，；…，所以数列an是周期为3的周期数列，故．故选：B5.若直线和直线平行，则m的值为（）A.1 B.-2 C.1或-2 D.【答案】A【解析】由于和直线平行，所以，解得，故选：A6.等差数列的前n项和为Sn，当为定值时，也是定值，则k的值为（）A.11 B.13 C.15 D.不能确定【答案】B【解析】因为，当为定值时，即为定值，即为定值，，所以，解得故选：B.7.已知点在直线上运动,是圆上的动点,是圆上的动点，则的最小值为（）A.13 B.11 C.9 D.8【答案】D【解析】如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.已知数列的前项和为，且，则的值为（）A.300 B. C.210 D.【答案】A【解析】若为奇数，则是偶数，是奇数，则

，

①，

②①②得：，所以an奇数项是首项为

，公差为3的等差数列；所以.故选:A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（）A.若，则数列的前5项和最大B.若等比数列是递减数列，则公比q满足C.已知等差数列的前n项和为Sn，若，则D.已知为等差数列，则数列也是等差数列【答案】ACD【解析】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故A正确；选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误；选项C，，若，则，故C正确；选项D，若为等差数列，则，，则为常数)，数列也是等差数列，故D正确.故选：ACD10.下列结论中正确的是（）A.已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为B.已知圆，圆，则圆和圆有条公切线C.若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为D.已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误；对于B，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则圆心距，又，由，可知，两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确；对于C，连接，，，如图，则易知四边形为正方形，，点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，圆心到直线的距离，，实数的取值范围为，故C正确；对于D，取AB中点，连接CD，如图所示：则，点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径r=1，，，即，，的取值范围是，故D正确.故选：BCD.11.如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（）A.数列是等比数列 B.C.存在正数，使得恒成立 D.恒成立【答案】BD【解析】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，其中，故．而，∴，故，而也符合该式，故，此时，，故不是等比数列，故A错误．而，故D正确．而，故，故B正确．对任意给定的正数，当时，必有，故C错误．故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线和直线垂直，则实数m的值为__________.【答案】1【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得故答案为：13.已知直线与直线平行，且两条直线之间距离为，则直线的方程为__________.【答案】或【解析】设与直线平行的直线的方程为，所以解得或.所以所求直线的方程为或.故答案为：或.14.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．【答案】440【解析】由题意可知：第一项，第二项，第三项，，第项，根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，，总共的项数为，所有项数的和为由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可，则①，解得：，总共有，不满足，②，解得：，总共有，不满足，③，解得：，总共有，不满足，④，解得：，总共有，满足，该款软件的激活码440．故答案为：440.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知点的坐标为，直线的方程为，求：（1）点关于直线的对称点的坐标；（2）直线关于点的对称直线的方程．解：（1）设，由题意可得，解得，所以点的坐标为.（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，则，解得，由于在直线上，则，即，故直线关于点的对称直线的方程为.16.已知数列an和数列bn，为数列an的前项和，，，.（1）求数列an和数列b（2）若数列满足，求数列的前项和解：（1）已知①，当时，，得，当时，②，①-②得：，即，又，，则，所以an是首项为，公比为的等比数列，则因为，所以，又由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，则，即（2）由（1）得，则17.已知圆C过两点，，圆心在直线上.（1）求圆C方程；（2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程；（3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程.解：（1）依题意，设圆心，半径为r，则，即，解得，所以，，得圆（2）设圆C到直线的距离为d，由，得，若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意，若直线的斜率存在，设，即，由圆心C到直线的距离为1，即，得，所以直线方程为，综上，所求直线的方程为或（3）依题意设，由两圆外切，可知，所以，解得或，所以或，所以圆D的方程为或18.设数列an的前项和为，若对任意的，都有（为常数)，则称数列an为“和等比数列”，其中为和公比.已知bn是首项为，公差不为的等差数列，且bn是“和等比数列”，设，数列的前项和为（1）求数列bn（2）若不等式对任意的成立，求实数的取值范围.解：（1）设等差数列bn的公差为，前项和为，则，所以.因为bn是“和等比数列”所以，即，对任意的都成立，所以，解得，所以bn的和公比为（2）可知，则，所以，所以，所以，即，所以.设，.不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立.当为奇数时，，则；当为偶数时，，则.综上，的取值范围是19.已知圆和点（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；（3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.解：（1）当切线斜率不存在时，显然x=