江苏省南通市海安市2023-2024学年高一上学期1月期末学业质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市海安市2023-2024学年高一上学期1月期末学业质量监测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意集合是奇数集合，所以.故选：A.2.命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命题：“”为存在量词命题，它的否定是.故选：C.3.若的终边与的终边垂直，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为的终边与的终边垂直，且，所以，则.故选：B.4.已知某种放射性元素在一升液体中的放射量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式且.已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为10时，大约为（）（参考数据：）A.50 B.52 C.54 D.56【答案】B【解析】由题知，，解得，所以，由，得.故选：B.5.函数的最小值为（）A.0 B.1 C. D.2【答案】B【解析】，由于在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，又，即分段处端点值相等，故在处取得最小值，最小值为.故选：B.6.已知函数在上的图象不间断，则“”是“在上是增函数”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，显然满足，，但在上不是增函数；若在上是增函数，则，，所以，是在上是增函数的必要不充分条件.故选：C.7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以，，，所以.故选：D.8.已知函数为偶函数，为奇函数，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由函数为偶函数，得，则，由函数为奇函数，得，因此，所以.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】求函数零点，令，即，分别画出函数与函数的图像，得到两图像有两个公共点，由图像可知，有两个零点，分别在区间和区间上；区间上的零点显而易见，令，，所以，，，所以，所以，根据零点存在性定理，在存在零点.故选：AC.10.已知，则（）A.的最大值为1 B.的最大值为1C.的最小值为2 D.的最小值为3【答案】ABD【解析】对于A，令，由二次函数性质得当时，取得最大值，此时，故A正确；对于B，原式可化为，而，当且仅当时取等号，故的最大值1，即B正确；对于C，令，当且仅当时取等号，但此时不为实数，故无法取等号，即无法取到最小值2，故C错误；对于D，易知，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ABD.11.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.函数的最小正周期为B.在上单调递增C.的图象关于直线对称D.的图象关于点中心对称【答案】ACD【解析】由题意可得，则函数的最小正周期为，A正确；当时，，由于在单调递增，在单调递减，即在上不单调，故在上不单调，B错误；当时，，即函数取到最小值，故的图象关于直线对称，C正确；将代入中，即的图象关于点对称，将的图象向上平移个单位，即得到的图象，故的图象关于点中心对称，D正确.故选：ACD.12.设定义在上的函数满足：①当时，；②，则（）A. B.为减函数C. D.【答案】ACD【解析】对于A，在中，令得，，解得，故A正确；对于B，令，则，此时有，即，即为增函数，故B错误；对于C，令得，，故C正确；对于D，由基本不等式得，等号成立当且仅当，由B选项分析可知为增函数，所以，所以，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13.已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得，所以该扇形的面积为.故答案为：.14.试写出一个实数________，使得函数在上恰有一个零点.【答案】1（答案不唯一）【解析】不妨取，则，则，即得，又图象的对称轴为，则在上单调递增，故在上恰有一个零点.故答案：1.15.设函数与在区间上的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为__________.【答案】【解析】设，令，解得，即点Q纵坐标为，所以线段的长为.故答案为：.16.已知正数满足，则__________.【答案】2【解析】因为正数满足，其中恒成立，故，变形得到，令，，任取，且，则，即，故在上单调递增，故，故.故答案为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.（1）化简：；（2）若，求的值.解：（1）原式，因为，所以，所以原式（2）因为，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.18.设，集合关于的方程无实根，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为无实根，所以，解得，故，当时，，即，解得或，故或，所以.（2）由（1）知，，因为是的充分条件，所以，所以对任意的恒成立，即对任意的，因为，当且仅当即时，取“，所以.19.已知函数的最小正周期为是的图象上的一个最低点.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）依题意，，解得，由点是曲线上的一个最低点，得，此时有，则，即，又，解得，所以，，.（2）由（1）知，，由，得，显然，于是，所以.20.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为（单位：），驾驶员反应时间内汽车所行距离为（单位），刹车距离为（单位），则，其中与刹车时的车速单位，满足与刹车时的车速的部分关系见下表：1530601051.2552061.25（1）在坐标平面内画出的散点图，从①；②③中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式；（2）在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据（1）中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶.解：（1）散点图如下图，最恰当的一个函数模型为②，将点代入，得，解得，所以，经检验，表中其余三点的坐标均满足，所以最恰当的函数模型为②.（2）由（1）知，为的增函数，法1：当时，，因为，所以该车不超速.法2：当时，，即，所以，又，所以，因为，所以该车未超速行驶.21.已知函数，其中.（1）若恒成立，求；（2）若，试