江苏省南京市六校2024-2025学年高一上学期期中联合调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校2024-2025学年高一上学期期中联合调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则与集合A的关系为（）A. B. C. D.1⫋【答案】B【解析】，故，其他选项均错误.故选：B.2.命题：的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由命题否定的概念可知，命题：的否定是：.故选：B.3.已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意是的充分条件，对照选项，当满足时，必满足.故选：C.4.若，且则下列命题正确的是（）A. B.C. D.若，则【答案】C【解析】由于对于A，设则，故A错误；对于B，设则，故B错误；对于C，，由于，则.，则.则，故C正确；对于D，设，则，故D错误.故选：C.5.某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（）A.注入时间在小时以内（含小时），采用方案一B.注入时间恰为小时，不采用方案三C.注入时间恰为小时，采用方案二D.注入时间恰为10小时，采用方案二【答案】D【解析】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意；对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意；对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意；对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，故，故，故.故选：C.7.已知函数，若，则的值为（）A. B.或 C.或或 D.或或【答案】B【解析】依题意，或或，无解，由解得，则.由解得，则故选：B.8.已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（）A B.C.或 D.或【答案】D【解析】记方程的两根为，当时，恰好有三个互不相等的实根，等价于与和共有三个不同的交点，由图可知，此时有，即，得；当时，，恰好有三个互不相等的实根，等价于与有三个不同的交点，由图可知，此时，即，得.综上，实数的取值范围为或.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.下列命题中为真命题的是（）A.对任意实数，均有B.若，则C.设，则“”是“”的必要不充分条件D.若，则【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当，时，，，故B不正确；对于C，当，时，，所以不充分，当时，可知且，所以必要，故C正确；对于D，当时，，，此时，故D不正确.故选：AC.10.如图，已知矩形表示全集，是两个子集，则阴影部分可表示为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；因此阴影部分可表示为，即A正确；且，因此阴影部分可表示为，C正确；易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.故选：AC.11.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为8 B.的最小值为8C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】因为，当且仅当时取等号，结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；由得，所以，当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误；，当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域是______．【答案】【解析】根据题设可得，故或，故函数的定义域为：.13.=______．【答案】【解析】.14.已知函数，，若函数的值域为，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】，则有，，由，，所以，解得，所以实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，，，全集，求：（1）；（2）；（3）如果，求的取值范围.解：（1）依题意，集合，集合，所以.（2）由（1）知，，所以.（3）由（1）知，集合，而或或，又，因此且，所以的取值范围是.16.已知关于的一元二次不等式的解集为．（1）求和的值；（2）求不等式的解集．解：（1）由题意知和是方程的两个根且，由根与系数的关系得，解得.（2）由、，不等式可化为，即，则该不等式对应方程的实数根为和．当时，，解得，即不等式的解集为，当时，，不等式的解集为空集，当时，，解得，即不等式的解集为，综上：当时，解集为，当时，解集为空集，当时，解集为．17.最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？解：（1）当时，，当时，，故（2）时，，当时，取得最大值，当时，，当且仅当即时取到等号，，时，取得最大值，18.已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且.（1）求和的解析式；（2）设关于的不等式的解集为.①若，求实数的取值范围；②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．解：（1）设，由得，所以；由题意设由得；又因为，所以，得；所以，所以.（2）①原不等式化为恒成立.（ⅰ）当时，解得，或，当时，不等式化为，时，解集为；当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；（ⅱ）当时，则；综上所述，实数k的取值范围为．②根据题意，得出解集，，当时，解得，或，时，不等式的解集为，满足条件，时，恒成立，不满足条件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，综上，存在满足条件的的值为．19.已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由；（2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？（3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．解：（1）①集合，不符合定义，不具有性质；②集合具有性质，对应集合，；③集合不是整数集，所以不具有性质．（2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个，由，得，又当时，，则当时，，因此集合的元素个数不超过个，取，则中元素的个数为个，所以中元素的个数最多为.（3）（i）当集合具有性质时，①对于，由定义知：，又集合具有性质，则，若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立，于是，