江苏省南京市、盐城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市、盐城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1.（）A.5 B. C.1 D.7【答案】D【解析】，故选:D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，解得，即，而，所以.故选：B3.已知，，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，则，但是，不是充分条件，当时，因为，，所以，即，当且仅当等号成立，所以是必要条件，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.下列函数中是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A，令，，，所以是偶函数，故A正确；对于B，令，，，所以是奇函数，故B错误；对于C，令，，，所以是奇函数，故C错误；对于D，令，，，所以是奇函数，故D错误.故选：A.5.从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（）A.140种 B.44种 C.70种 D.252种【答案】C【解析】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.故选：C.6.已知反比例函数（）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为.已知函数的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线和y轴，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在第一象限内，函数的图象位于上方，由于和y轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角，故，不妨将双曲线绕其中心旋转逆时针旋转,则可得到其焦点在轴上的双曲线，且两条渐近线之间的夹角，因此其中一条渐近线的倾斜角为，因此，进而可得故选：C.7.已知直线l与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点（在椭圆外），若，则的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设：（，），设，，联立，得，由题意知，所以，，设的中点为，连接，因为，所以，得，又因为，，所以也是的中点，所以的横坐标为，从而得，因为交在第二象限，解得，设直线倾斜角为，得，得，故A正确.故选：A.8.平面向量，，满足，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，而，因为，所以.故选：B.二、多项选择题9.《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（）A.X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平B.甲村的平均分低于乙村的平均分C.甲村的高度满意率与不满意率相等D.乙村的高度满意率比不满意率大【答案】BCD【解析】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大，因为，所以Y对应正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误；B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确；C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确；D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确.故选：BCD.10.已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（）A.若是正项数列，则是单调递增数列B.，，一定是等比数列C.若存在，使对都成立，则是等差数列D.若存在，使对都成立，则是等差数列【答案】AC【解析】A选项，设公比为，故，解得或，若正项数列，则，，故，故是单调递增数列，A正确；B选项，当且为偶数时，，，均为0，不合要求，B错误：C选项，若，则单调递增，此时不存在，使对都成立，若，此时，故存在，使得对都成立，此时为常数列，为公差为0的等差数列，C正确；D选项，由C选项可知，，故当为偶数时，，当为奇数时，，显然不是等差数列，D错误.故选：AC.11.设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（）A. B.C. D.函数在M，N间的图象上存在点Q，使得【答案】BCD【解析】，而，故，，，A错误、B正确；，（），而，故，C正确；显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确，故选:BCD.12.在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（）A.⊥ B.C. D.点O不可能在平面内【答案】AC【解析】A选项，四棱锥的外接球为为顶点的球，而四点共面，故这四点必共圆，又，故为直径，⊥，A正确：B选项，由A可知，四点共圆，又，为直径，若四边形为正方形，此时，，B错误；C选项，因为平面，所以球心到两点的距离相等，即球心在的垂直平分线上，故到平面距离为到平面距离的一半，故，C正确；D选项，当四边形为正方形时，连接，相交于点，则⊥平面，结合球心在的垂直平分线上，此时为中点，点O在平面上，D错误.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.满足的函数可以为______.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】可令，满足要求.故答案为：.（答案不唯一）14.的值为______.【答案】-2【解析】故答案为：-2.15.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是______.【答案】【解析】当时，，故入射光线经过和，，故入射光线的方程为，化简得，圆心，半径为，所以，而，故，，解得.故答案为：16.若数列满足，（），则______.【答案】3268【解析】由题意可得，作差得，故，故答案为：3268.四、解答题17.设数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求的前50项和.解：（1）由，得（），两式相减得：（），即（），当时，，得，所以（），故是首项为，公比为的等比数列.从而.（2）由（1）得.所以18.在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.（1）证明：因为底面为正方形，所以，又侧面底面，侧面底面，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为，，连接，则为正三角形，取中点，则，由平面及平面，得，又，所以底面，过点作交于，如图以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的法向量，所以令，则，可得平面的法向量.所以，故直线和平面所成角的正弦值为.19.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值.解：（1）因为，由正弦定理得，由得，所以，即.因为，所以.又，所以.因为，所以.（2）由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，从而，当且仅当取等号.则，当且仅当取等号，则长的最大值为3.20.春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖概率是，项目B和C中奖的概率都是.（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率.解：（1）设一位顾客获得元奖券，则的可能取值为100，50，0，，，，所以每位顾客获得奖券金额的期望是（元）（2）设“该顾客中奖”为事件，参加项目A，，分别记为事件，，，则，所以，即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.21.已知函数（）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图象与x轴相切，求证：.（1）解：当时，，，所以，又当时，恒成立所以在上单调递增，所以当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：，设函数的图象与轴相切于点，则即，即所以，设，则在上单调递增且图象不间断，又，，所以，由得，又因为，所以，则，所以，即.而在区间单调递增，所以，即，得证.22.已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是.（1）求双曲线C的方程；（2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标.解：（1）（法一）已知双曲线方程是（，），由顶点得，所以，设点，，，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以，所以，，故双曲线：.（法二）.当且仅当时取等号，故的最小值为，所以，所以，，故双曲线：.（2）（法一）设点，，，则直线：，设直线的方