湖南省衡阳市2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省衡阳市2024届高三上学期期末数学试题一､选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.2.下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，A项，在中，，，最小正周期为，当单调递增时，，解得：，∴在上不单调递减，A错误；B项，在中，，最小正周期为，当单调递增时，，解得：∴在上不单调递减，B错误；C项，在中，，周期,∴函数在，即上单调递减，∴函数在上单调递减，C正确；D项，在中，，故D错误.故选：C.3.某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（）A.96种 B.84种 C.72种 D.60种【答案】A【解析】因为第一站不去株洲，所以第一站可以从长沙､衡阳､郴州､益阳这4个城市中选择1个，共有4种选择，余下的三站可以从剩下的4个城市中选择3个，所以该旅游团四站的城市安排共有种.故选：A.4.在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（）A.1 B. C.2 D.或2【答案】D【解析】由，得.因为，所以或，当或，；当或，.故选：D.5.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍【答案】D【解析】本题考查对数运算的实际应用，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.当时，，则，则，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正确.故选：D.6.已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（）A.9 B.10 C. D.【答案】A【解析】因为抛物线的准线方程为，所以，因为，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最小值为9，故选：A7.若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】由，得，设，则，所以为R上的增函数，因为，所以.又，则，所以曲线在点A处的切线方程为，令，得，令，得，则所求三角形的面积为.故选：B.8.在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正三棱台中，令的中点分别为，连接，则，于是二面角的平面角为，即，设上底面与下底面的中心分别为，连接，则，过点作，垂足为，则，则，则，所以该三棱台的体积为.故选：B.二､多选题9.已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依题意可设圆的圆心坐标为，则，解得或，所以圆的圆心坐标为或.故选：AC.10.若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（）A.重合 B.相交于一点 C.两两平行 D.恰有两条交线平行【答案】ABC【解析】如图，作出一个长方体.对于A项，可把平面依次取为平面，它们两两相交于共同的交线,故A项正确；对于B项，可把平面依次取为平面，此时，,,,而易得三条交线交于同一点D，故B项正确；对于C项，可把平面依次取为平面,此时，,,,而易得三条交线两两平行，故C项正确；对于D项，可把平面依次取为平面,此时，,,,若只有因平面，而平面，则平面,又平面,而平面平面=，则有,即交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D项错误.故选：ABC.11.已知平行四边形的面积为，且，则（）A.的最小值为2B.当在上的投影向量为时，C.的最小值为D.当在上的投影向量为时，【答案】ACD【解析】因为，所以.设，则，解得，则，当且仅当时，等号成立，A正确.因为，所以，所以,,,，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为,C正确.如图，过点作，垂足为，则在上的投影向量为，当在上的投影向量为时，.因为，所以，得，则,故B错误，D正确.故选：ACD.12.已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对A、B、D：由条件可知，因为，所以，且，可得，所以，所以A、B、D均正确.对C：取，则，此时满足是定义在上的奇函数，，所以未必成立，故C错误.故选：ABD.三､填空题13.若，则__________.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，即.故答案为：.14.已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为__________cm.（取3.14，结果精确到整数）【答案】211【解析】因为，所以,因为长轴长为，所以，故.故答案为：211.15.某中学高一､高二､高三学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.【答案】【解析】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故的取值范围是.故答案为：.16.若为正整数，记集合中的整数元素个数为，则数列的前62项和为__________.【答案】3841【解析】因为，当时，；当时，；当时，，因为，所以，又，所以，则；故数列的前62项和为.四､解答题17.已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.（1）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；（2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.解：（1）依题意可得，则，的可能取值为，，，所以的分布列为0120.250.50.25（2）因为，所以.依题意可得，所以.因为，所以，又为正整数，所以的最大值为199.18.在平面四边形中，平分.（1）证明：与相等或互补.（2）若，求内切圆的半径.（1）证明：在中，，在中，.因为平分，所以.又，所以，为三角形的内角，所以与相等或互补.（2）解：假设与相等，又平分，则，，，故与全等，则，这与已知矛盾.所以假设错误，与不相等，故与互补.在中，，在中，，所以.又，所以，则.所以的面积，设内切圆的半径的，则，故.19.在数列中，且.（1）证明：是等差数列；（2）设的前项和为，证明：.证明：（1）因为，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.（2）因为，所以，由（1）知，则.设数列的前项和为，则，则，所以，则，所以.20.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点.（1）求的长；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设，则.设平面的法向量为，则令，得.依题意可得，解得.所以.（2）因为，所以，所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21.在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.（1）求的方程.（2）已知，过点直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为，所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线的左支.由，得，所以的方程为.（2）由题意可设的方程为，设，联立，得，满足，则.直线，直线，联立与，得，解得，故点在定直线上.因为圆的圆心到直线的距离为，所以的最小值为.22.已知函数.（1）证明：当时，对恒成立.（2）若存在，使得，比较与大小，并说明理由.（1）证明：设函数，则，当时，，所以为增函数，所以，所以，因为，所以，当时，，所以，所以在上