湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于抛物线，的准线方程是.故选：B.2.已知数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，所以.故选：C.3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：D.4.九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合二为一．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为（）A.31 B.16 C.14 D.7【答案】A【解析】由可得，，，.最少移动次数为.故选：A.5.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（）A.的标准方程为 B.的离心率等于C.与双曲线的渐近线不相同 D.直线与有且仅有一个公共点【答案】C【解析】对于A，由题意不妨设的方程为，所以有，解得，即的标准方程为，故A不符合题意；对于B，因为，所以，离心率为，故B不符合题意；对于C，令，都可以得到，即与双曲线的渐近线相同，故C符合题意；对于D，联立，消去化简并整理得，，解得，，即直线与有且仅有一个公共点，故D不符合题意.故选：C.6.已知数列前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，两式相减得，即，又，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，若数列递增数列则恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以.故选：B.7.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】抛物线的焦点为，由题意可知：可知直线与抛物线必相交，设，，，，则，设的方程为，联立方程，消去并整理得，根据韦达定理得，即，同理可得，则，可得，设直线为，联立方程，消去并整理得，根据韦达定理得，所以.故选：B.8.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的渐近线为，联立方程组，，解得，，故，联立方程组，，解得，，故，设为的中点，由中点坐标公式得，由题意得，故，则，可得，化简得，即，故渐近线方程为.故选：A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）9.椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由，消得到，由题有，解得，又，，得到，所以，故选：AD.10.已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由已知，又，，所以，，A正确，B错误；，，，所以，C正确，D错误.故选：AC.11.已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（）A. B.C.当直线的斜率为时， D.【答案】ABD【解析】由题意可得，设直线方程为，Ax1,则，，所以，对于A，，故A正确，对于B，，B正确，对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得，所以，所以，故C错误，对于D，，将代入可得，所以,等号成立当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.12.已知数列，满足，，，，则下列选项正确的是（）A. B.C.为递增数列 D.【答案】ABC【解析】因为，，，所以，，，，，，所以，A正确；又因为，，所以，所以，所以数列为常数数列，所以，又明显有，所以，所以，B正确；又因为，所以为递增数列，C正确；因为，D错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列前项的和为，则_________．【答案】【解析】依题意，又，所以，则，所以.故答案为：14.已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________．【答案】7【解析】如图所示：由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点，所以，等号成立当且仅当重合，所以的最小值为7.故答案为：7.15.已知数列满足，，记数列的前项和为，则_________．【答案】56【解析】由递推公式，可得，，……，；而.故答案为：56.16.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为_________．【答案】【解析】设，,则，设椭圆的焦距为，则F-c,0，所以，，因为，所以，化简得，所以即，所以或（舍），，又因为，所以，解得，所以椭圆的离心率.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第题每题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，，故．（2）由（1）可得，则，所以，则数列是等差数列，故．因为，所以，所以，所以或．因为，所以的最小值是11．18.已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．解：（1）由题意得：，令，则，又焦点到渐近线的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为；（2）设，，联立方程组，消去整理得，则，，，所以，又原点到直线的距离，所以．19.为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．（1）如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；（2）海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．解：（1）根据已知条件设Px,y且，O0,0由，有，，，，整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．所以曲线的方程为：．（2），过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线截距式方程为，化为一般式方程为，根据题意，且，解得，所以综上可知的取值范围为．20.已知等比数列前四项和为30，且．（1）求数列的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．①若，求；②若，求．解：（1）设的公比为，则：，则，所以．（2）①在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列，设其公差为，此数列首项为，末项为，则，，则，②，则，，则，故：．21.如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．（1）求证：直线的斜率为定值；（2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围．解：（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线,设，，由，消得，由韦达定理得，又，得到，又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，因此，又，所以为定值．（2）由（1）可知，，，，因此，整理得，所以到直线的距离，因为，得，所