湖北省市级示范高中智学联盟2025届高三年级12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省市级示范高中智学联盟2025届高三年级12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，,又，所以.故选：B.2.若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（）A.1 B. C.i D.【答案】C【解析】因为复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，所以，所以.故选：C3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是的前项和，则等于（）A.8 B.6 C. D.0【答案】D【解析】，，成等比数列，，，化为，解得，则.故选：D.4.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】因为随机变量，且，可得，.当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选：B.5.已知的三个角的对边分别是，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，因为，所以，所以，即，又，得，所以.故选：D.6.将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，又，，由题可知，，，解得，，又，当时，取得最小值.故选：B7.已知函数，若，则的单调递减区间为（）A.或 B.C.或 D.【答案】C【解析】图象如下，所以，解得，故，，令，解得或，所以在或上单调递减.故选：C8.如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为1的底面圆上，C，D在半径为2的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点O到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设直线AB交大圆于点F，E，连接CE，DF，由，知四边形为等腰梯形，取AB，CD的中点M，N，连接MN，则，因为，所以，因为，所以四边形是矩形，因此四边形为矩形，过O作于，连接OB，OC，OA，OD，从而四边形的面积，当且仅当，即时取等号，此时，如图，在几何体中，连接PQ，PO，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，显然平面平面，在平面内过作于，从而平面，即OR长即为点到平面的距离，在中，，，所以，所以点O到平面的距离是.故选：C二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.函数在上单调递增B.函数的定义域是，则函数的定义域为C.不等式的解集为D.函数关于点中心对称【答案】BD【解析】对于A，函数在上单调递减，故A错误；对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，不等式，当时解集为；当时解集为；当时解集为，故C错误；对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确.故选：BD.10.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（）A.存在点使得B.四棱锥外接球的表面积为C.直线与直线AD所成角为D.当动点到直线BD的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是【答案】BD【解析】如图1，取AD的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则.又因为，所以，又，，平面，所以平面.因为平面，平面，所以不成立，A错误.图1图2图3因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体.如图2，则四棱锥外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确.如图2，直线与直线AD所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C错误.如图1，因为平面，当动点到直线BD的距离最小时，由上推导知，，，，，，，因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点，平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点，故，D正确.故选：BD.11.设函数，，则下列结论正确的是（）A.，在上单调递减B.若且，则C.若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为D.存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数【答案】ACD【解析】，对于A，，当时，，由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确；对于B，若且，则，故B不正确；对于C，若，则，若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；对于D，，可知当时，是奇函数，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为偶函数，则______.【答案】【解析】由题设，，所以，得，得对均成立.所以，解得.经检验，满足要求.故答案为：.13.若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________.【答案】【解析】由，得，于是展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故答案为：14.已知，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值为______.【答案】8【解析】设，又，所以在单调递增，当时，；当时，，由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意知，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是8，故答案为：8四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和.解:（1）因为，当时，得，当时，由，得，两式相减得：，则，检验：满足上式，故；（2）由（1）知，则，故，两式相减可得：，故.16.在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，.（1）若，求面积的最大值；（2）若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.解:（1）由因为，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，可得，所以，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为.（2）设，则，在中，由余弦定理得，由（1）知，且，所以为正三角形，所以，可得，故，因为，所以，可得.17.若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，为OA与OB所成的角，即线面角，为OB与OC所成的角，那么简称为三余弦定理.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，D在上且满足.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解:（1）证明：如图，过点D作交于，连接CE，BE，设，连接，，，∵D在上且满足，∴，∵，，四边形为正方形，，，，，，，为CE的中点，，因为，，平面，平面，又平面，平面平面.（2）在中，，，又，，，，又，，，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，，，，.，，，.设平面的一个法向量为m=x则，令，得，设平面一个法向量为n=x2,令，得，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.解:（1），令，则，故且.当时，f'x>0，故在为增函数；当时，f'x<0，故在为减函数.故的单调增区间为，单调减区间为.（2），因为，故，所以在上为增函数，故，图像的对称轴为，故当时，.因为存在，对任意的，总有成立，故，即，故19.黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率.（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.解:（1）由题意得，随机变量的可能取值为2，3，4，可得，，.所以的分布列如下表所示：X234P所以，数