【北师大版八年级上册】课课练7.5 三角形内角和定理 同步练习4

7.5三角形内角和定理4一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A=，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B间的夹角）就越大，如图所示，你如何证明．四、经典中考题6．（黄冈，3分）如图所示，∠1大于∠2的是（）7．（浙江，3分）如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1图2图3小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．

参考答案一、1．解法一：如图1，延长ED交BC于点F，因为AB∥DE，所以∠BFE=∠B=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠DFC=100°，所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-100°=40°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．图1图2解法二：如图2，过点C作CF∥DE，所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140°=40°（两直线平行，同旁内角互补）．因为AB∥DE，所以AB∥CF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），所以∠BCF=∠ABC=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°．2．解：如答图，延长CD交AB于E．因为∠C=21°，∠A=90°，所以∠BED=∠A+∠C=90°+21°=111°．又因为∠CDB=∠B+∠BED，∠B=32°．所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°，故零件不合格．点拨：本题的巧妙之处在于通过作辅助线，两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，迅速求出∠CDB的值，然后与148°相比较，得出零件不合格．三、3．解：因为∠BDC是△ADC的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD．又因为∠A=62°，∠ACD=35°，所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°．在△BDF中，∠ABE=20°，∠BDC=97°．所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．4．解：因为∠ECD是△BCE的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．因为BE，CE分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD．所以∠ACD=∠ABC+∠E，所以∠ACO=∠ABC+2∠E．又因为∠ACD是△ABC的外角．所以∠ACD=∠A+∠ABC．所以∠A+∠ABC=∠ABC+2∠E．所以∠A=2∠E，所以∠E=∠A=×50°=25°，若∠A=，则∠E=．三、5．证明：如图，延长AD交BC于E，因为∠BEA>∠C，∠ADB>∠BEA，所以∠ADB>∠C．四、6．C7．B点拨：因为AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°，因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以∠E=40°．五、探究学习1．解：（1）三角板旋转的度数为180°-30°=150°．（2）因为CB=BD，所以△CBD为等腰三角形，（3）因为∠DBE为△CBD的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为△CBD为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以2∠BDC=∠DBE=30°，所以∠BDC=15°．点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，要有把现实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．2．解：他们两人的证法都不对，因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能逆过来证明三角形的内角和定理，这是犯了“循环证明”的错误．证明：如图，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，又因为点D，A，E在同一条直线上，所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°．点拨：一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论